4.5 Процедура Гровса-Кларка
30Arrow, K.J. (1951) Social Choice and Individual Values. Доказательство рассматривалось в курсе мат. экономики.
40
В нашем конкретном примере с общественным благом и тремя участниками, казалось бы, можно воспользоваться однопиковостью функций Ui по аргументу у1 и применить процедуру голосования простым большинством. Однако по всей совокупности аргументов однопиковости нет, поэтому голосование за конкретные варианты состояния экономики в целом (y1,ti,t2,t3) ничем не кончится: налицо парадокс Кондорсе (бесконечность процедуры переголосования).
Все же, оказывается, в частном случае, когда целевые функции, квазилинейны по единственному частному благу (деньгам), тогда можно построить процедуру, корректную выявляющую предпочтения и гарантированно приводящую к наилучшему выбору уровня общественного блага у1 из допустимого множества Y (неважно, дискретного Y или непрерывного, типа ]R+). Это процедура ГровсаКларка.
Определение 4.5.1 Будем называть целевые функции потребителей квазилинейными по благу I, если они имеют вид щ = tdi(yl,x^,...,xli 1) + х\, и переменные х\ входят в единственное ограничение вида ^х\ = xl 31.
Если в экономике существует такое благо, то экономика обладает следующим удобным для ее исследования свойством:
Утверждение 4.5.1 Пусть целевые функции квазилинейны по благу I, тогда Парето граница совпадает с множеством, решений задачи максимизации суммы полезностей YJjMi на множестве физически допустимых состояний. Если, кроме того, I = 2 (частное благо одно) и функции fy строго вогнуты, то существует единственный оптимальный уровень общественного блага у1 (одинаковый во всех точках Парето границы).
Докажем это утверждения для экономики (52) с дифференцируемыми и вогнутыми (или приводимыми к вогнутым) функциями Ui и д.
Подставим в лагранжиан (49) выражение для щ. Производные по х\ для всех г должны быть равны нулю: dL/dx\ = АІ — (г1 = 0. Отсюда получаем, что все AJ равны; можно считать, что АІ = 1 (і Є I). Таким образом, задача нахождения Парето оптимума сводится к нахождению седловой точки следующей концентрированной функции Лагранжа:), (Щ
і k=2 j і і
а это то же самое, что нахождение максимума суммы функций полезности при соответствующих ограничениях.
Уравнение Самуэльсона в случае квазилинейности по / примет вид
(71)
Доказательство единственности оптимального уровня общественного блага тривиально.
Процедура ГровсаКларка.
1) Координатор априори назначает функции сДу1) финансирования каждым участником общих издержек с(у1) производства общественного блага, в сумме равные
31 Очевидно, что для любого обычного частного блага такой вид имеет материальный баланс.
41
^ІС(УІ}І = с(у1}, например, задав (априорные, по своєму усмотрению) доли финансирования 8і.
Участники сообщают свои чистые полезности при данной схеме финансиро вания от каждого уровня блага — Vi(yl) = ^(у1) — с^у1).
Выбирается уровень блага, максимизирующий суммарную чистую объявленную полезность:
у1 := G(v) := argmax^Xy1), (72)
у
а
а также уровни, которые были бы выбраны без учета мнения гто участника;
4) Определяется налог Кларка на каждого участника за изменение общественного выбора, равный убытку прочих участников:
он, очевидно, неотрицательный и нулевой при (у}^ = у1).
5) Каждый участник в результате будет иметь полезность Vi(yl) — Ті = ^(у1) — СІ(УІ) — ТІ. Налог Кларка не перераспределяется, а должен быть выброшен из системы (сообщества) данных участников.
Утверждение 4.5.2 Если все участники правдиво сообщили vir то (I) уровень определенный в этой процедуре Парето оптимален (у1 = (у1), а если все налоги Кларка равны нулю (ті = 0, г Є I), mo и состояние в целом, включая платежи, Парето оптимально. (II) Если к тому же финансирование долевое: сДу1) = 8iplyl и доли соответствуют отношению предельных полезностей в оптимуме (Si = I&i(yl)/Y,jei'&j(y1)), целевые функции строго вогнуты и у1 > 0, то налоги Кларка равны нулю.
Доказательство.
Часть I данного утверждения непосредственно следует из Утверждения 4.5.1.Для доказательства II заметим, что для внутреннего в смысле (у1, w — t) > 0 равно весия по долевому финансированию мы выше доказали единогласие при правильно выбранных долях (то есть то что любая г Є / задача максимизации индивидуаль ной чистой полезности Vi(yl) дает одинаковое решение у1). Решение в данном случае единственно по строгой вогнутости УІ. Поэтому и максимизация суммы любого набо ра/С / таких целевых функций имеет то же решение у1, откуда следует отсутствие ключевого участника и равенство нулю налога. ц
Утверждение 4.5.3 Стратегия каждого участника сообщать правдиво чистую полезность Vi — доминирующая стратегия.
Доказательство. Предположим, участник г = 1 сообщил неверную целевую функцию г>І т^ vi и добился этим решения по общественному благу у1 вместо у1. Выиграл ли он? Сопоставим его полезности, учитывающие налог Кларка, в оптимальной у1 и в ложной точках, доказывая что:
«І (у) = vl (у ) Y. (Щ (У (і) }v](y1}} < vl (у ) Y. (vj (У (і) ) Vj (у 1 ) ).
42
Сокращая Vj(y^) справа и слева приходим к эквивалентному неравенству Y,j?iVj(yl) < Y,j?iVj(yl), очевидно верному по условиям максимизации (72). ц
Итак, по переменной у1 — общественному благу эта процедура всегда дает хороший результат, но возможны потери в деньгах. Эта процедура, в сущности, реализуется, когда несколько поразному заинтересованных в чемто сторон подкупают государственного чиновника, от которого зависит решение вопроса. Проблема выбора блага решится в пользу тех, кому больше надо, будет заплачена сумма равная налогу Кларка. Альтернатива — договоренность (из ядра) заинтересованных сторон, если они способны достичь ее.
Об убывании (относительном и абсолютном) потерь денег в процедуре с возрастанием числа участников говорит следующее. Рассмотрим ряд t = 2,3,... ситуаций, являющихся репликами исходной; то есть для каждой следующей ситуации t + 1 в экономике присутствует ровно в t раз больше таких же участников каждого типа по сравнению с предыдущей.
Соответственно, доли Si на каждом шаге все делятся на t.Утверждение 4.5.4 В ситуации с дискретным общественным благом регулируемым по ГровсуКларку, каковы бы ни были доли Si, найдется номер реплики і такой, что для всех последующих t налоги Кларка нулевые. (Без доказательства)
Пример 4.1 (продолжение) Поскольку в рассматриваемом примере целевые функции квазилинейны по деньгам, то Паретооптимум можно найти из решения задачи
In(y1) + 21ri(y1) + 31ri(y1) у1 ^тах. Отсюда получим, что в оптимуме у1 = 6.
Применим к рассматриваемому примеру процедуру ГровсаКларка. Пусть, например, издержки приобретения общественного блага покрываются за счет равных налогов на соседей: Si = 1/3(\/г). Если каждый сообщит истинную функцию чистой полезности, то Vi = i\n(yl) — у1 /3. В результате будет выбран Парето оптимальный уровень производства общественного блага: у1 = arg maxyi (vi + г>2 + г>3) = argmax^Glnfj/1) у1) = 6.
Аналогично установим объем общественного блага, который был бы выбран без іго участника (г = 1,2,3J:
у1 = arg тш^ (5 My1) 2у1/3) = 7.5, у1 = argmaxyi(41n(y1) 2у1/3) = 6, у1 = argmaxyi(31n(y1) 2yl/3) = 4.5.
Отсюда вычислим налоги Кларка: т\ = (51п(7.5) — 7.52/3) — (51п(6) — 62/3) РЬ 0.12. Аналогично г2 = 0 и г3 ~ 0.14