ИГРЫ С СОВЕРШЕННОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ

Пример 1. Рассмотрим алгебраический пример двухпериодной структуры игры 1. Для этого рассмотрим такую же ценовую игру, как в разделе 11.2, исключив то, что фирма 2 наблюдает за ценой фирмы 1, еще не выбрав своей. Логика обратной индукции требует, чтобы фирма 1 предвидела то, что фирма 2 будет оптимально реагировать на любой выбор р\.

(р2 - с)( 1 - Ьр2 + dpx)\

таким образом,

1 -f dpi + be

где R2 обозначает (оптимальную) реакцию фирмы 2. Итак» фирма 1 максимизирует

(Pi - с)[ 1 - bpi + d?2(pi)].

Заметьте, что она учитывает влияние pi на р2. Решением тогда является

„ _ (26 + d)(l + be) - d2c Pl ~ 462 - 2d?

vl = MvD-

(Цены выше в последовательной игре, чем в одновременной. Объяснения в терминах стратегических дополнений см. в главе 8).

Пример 2. Рассмотрим игру-торг (bargaining game) Рубинстайна [58], где два игрока, которые должны разделить пирог размера 1, делают последовательные различные предложения. В момент 1 игрок 1 делает предложение хг в [0, 1]; игрок 2 принимает или отвергает х\. Если принимает, он получает 1 — x\t оставляя х\ игроку 1. Если отвергает, то делает предложение х2 в [0, 1] в момент 2. Если предложение принято, он получает 1 — х2 во втором периоде, а игрок 1 получает х2; если игрок 1 отвергает это предложение, ему приходится сделать предложение Хз в момент 3, и т. д. Игроки делают предложения поочередно до тех пор, пока один не примет предложения своего оппонента. Выплаты равняются Stxt для игрока 1 и <5<(1 — xt) для игрока 2, если они остановятся в момент t на доле xt для игрока 1. Дисконтирующий множитель ? принадлежит (0, 1). Нетерпение явится той движущей силой, которая приведет к соглашению в данной модели. Это игра с совершенной информацией. Каждый игрок, делающий предложение или отвечающий на него, знает все действия, предпринятые до его хода. Предположите, что есть Т периодов. Для определения совершенного равновесия посмотрите сначала на последний период. Ясно, что игрок, делающий предложение в период Т, требует весь пирог, так как другой игрок не сможет сделать большей ставки. Таким образом, xj< = 0, если Т — четное, и хт = 1» если Т — нечетное. В период Т — 1 игрок, делающий предложение, дает другому игроку такую долю пирога, что тому все равно, что получить: эту долю в Т — 1 или целый пирог в Т и т.

Упражнение 11.7**. Решите предыдущую игру для Т = 2,3,... Покажите, что х\ стремится к 1/(1 + ?) при Т, стремящемся к бесконечности.

Вместо того чтобы рассматривать случай с конечным горизонтом (см. упражнение 11.7), мы остановимся на случае бесконечного горизонта, для того чтобы показать, как непосредственную обратную индукцию можно заменить использованием функций оценки. Предположим, что горизонт бесконечен. Давайте поищем «стационарные стратегии»: когда игрок 1 делает предложение, он всегда предлагает х\\ когда игрок 2 делает предложение, он всегда предлагает Z2. Эти предложения и любые, более предпочтительные для отвечающего игрока всегда принимаются; отвергаются те, которые для отвечающего игрока менее предпочтительны.

Пусть обозначает оценку г-го игрока, когда подошла его очередь делать предложение. Это означает, что V{ — выплата, ожидаемая г-м игроком, когда

он делает (оптимальное) предложение. Пусть 1У, обозначает оценку г-го игрока, когда подошла очередь другого игрока делать предложение. Заметьте, что, поскольку стратегии стационарны, эти оценки не зависят от времени. Заметьте также, что из определения х\ я х2 следует

У\ = х 1, \У2 = I - хг; У2 = I — х2, \У2 = х2

и что

У1 + \У2 = У2 + \У! = 1.

Теперь, когда игрок 1 делает предложение, он предлагает игроку 2 такую долю, что последнему все равно, принять ли сейчас или подождать следующего периода (предлагать больше было бы бесполезно). Следовательно, 1

— х2 = <5(1 — х2)

или

И'г = 6У2.

И точно так же, когда игрок 2 делает предложение,

х2 = $11

или

= 6Уг.

Так как игра симметрична, У\ — У2 = У и = \У2 = \У. Следовательно, ЦТ = ЬУ и V + IV — 1 приводят к У — 1/(1 + ?) и IV = <5/(1 + ?). Итак, игрок, делающий предложение, получает 1/(1 + 6), другой получает остаток пирога: ?/(1 + ?). Равновесные стратегии таковы: предлагающий игрок предлагает долю 6/(1 + ?) отвечающему игроку; последний принимает любую долю, равную по крайней мере ?/(1 + ?), и отклоняет меньшую долю.

Заметьте, что это равновесие является пределом равновесия при конечном горизонте, когда Т стремится к бесконечности (см.

Упражнение 11.8***. Покажите, что равновесие_бесконечного горизонта единственно. Указание: введите следующие оценки: V, (соответственно У_г) — высшая (соответственно низшая) возможная выплата для г-го игрока в наборе совершенных равновесий, когда подошла его очередь делать предложение. Определите и соответственно И^. Каково соотношение между этими числами? Сделайте вывод, что V, = V • = 1/(1 + ?) и = 6/( 1 + 6).

Упражнение 11.9*. Рассмотрим следующую задачу. Фирма может сделать или не сделать антиконкурентный ход (например, обмануть). Такой ход дает ч

Гша И

ей (дополнительную) денежную выплату д > 0. Антимонопольные власти могут заняться или не заняться выяснением. Затраты этого расследования равны с > 0. Если фирма сделала антиконкурентный ход и возбуждается следствие, она платит штраф р > д\ власти тогда получают 5 — с > 0. Если фирма не сделала такого хода и следствие возбуждено или если оно не возбуждено, штраф не выплачивается и платеж властям равен —с или 0 соответственно. 1.

Предположим, что антимонопольный орган выясняет, был ли совершен обман до возбуждения следствия. Нарисуйте дерево этой игры. Каково совершенное равновесие? 2.

Предположим, что до возбуждения следствия не выяснили, был ли обман. Нарисуйте дерево игры. Докажите, что здесь существует равновесие чистых стратегий. Подсчитайте равновесие смешанных стратегий. Как изменение размера штрафа повлияет на это равновесие? 11.3.2.