ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ

Начните с розничного торговца:

та х(р-р*)?(р) р

означает

0(р) + (р-р„)0'(р) = О, (1)

это определяет функцию р*(руу) (ПРИ условии, что целевая функция вогнута).

[2?>'(р) + (р - р*)0"{р)]с1р* - 0'(р)с1р„ = 0.

Следовательно, используя уравнение (1), получим

dp* 1

dp„ 2- D(p)D"(p)/D'2(p)'

Значит, dp*/dpv, больше или меньше, чем 1/2, если функция спроса выпукла или вогнута.

Производитель максимизирует (ру, — с)?(р*(р,у)):

0{р) + (р. - с)О'(р)^ = 0. (3)

dpw

Уравнения (1)-(3) дают желаемый результат.

Упражнение 4.2 1.

Чтобы получить эквивалентность, пусть фирма 1 будет производителем, а фирма 2 розничным торговцем. р\ обозначает оптовую цену р*,; р2 = р — р„; р — цена конечного товара; с\ — удельные производственные затраты; с2 — удельные затраты розничной торговли (нуль в тексте). 2.

Вертикально интегрированная цена составит

г г - ?/e

(см. главу 1). 3.

Фирма 2, зная Р\> выбирает р2 (или соответственно р = р\ +р2) так, чтобы максимизировать

(р2 - C2)D(P) = [p - (pi + c2)]D(p).

Таким образом, все происходит так, как будто фирма 2 имеет предельные затраты pi + с2 (здесь следует вспомнить случай с вертикальной структурой). Из главы 1 мы знаем, что фирма 2 выбирает

Р\ + с2

Пусть p(pi) обозначает конечную цену. ( с2 и е константы, поэтому мы не включаем их в эту функцию). Получаем

, dp 1 р =

dpl 1 - 1/г’

всякое возрастание первой цены увеличивается искажением второй. Фирма 1 максимизирует

(Р1 - С1)Я(р(р1)).

Следовательно, по цепному правилу дифференцирования

(Рг ~ с\)0'р' + Б = 0.

Простые вычисления приводят к

Р=(1-1 /еГ 4.

В случае одновременного выбора фирма г выбирает р; так, чтобы максимизировать

(Р* ~ С1)0[р{ + р>), где принимается как данное ф г).

(р* - Сг)Л' + О = 0.

Суммирование этих уравнений для двух фирм дает

(р — с)01 + 2В — 0

ИЛИ с

Р~ 1-2/е'

Заметим, что р > с/( 1 — 1/е)2- Объяснение.

Рассмотрим цену, назначенную фирмой 1 при одновременном выборе. Если при последующем выборе фирма 1 назначает ту же цену, фирма 2 также назначит ту же цену при одновременном выборе (так как ее цена оптимальна, если известен выбор фирмы 1). Теперь рассмотрим небольшое уменьшение цены фирмы 1. Если бы фирма 2 не назначила свою цену, прибыль фирмы 1 изменилась бы только до второго порядка (так как цена фирмы 1 оптимальна при наличии цены фирмы 2). Но это также влияет на цену фирмы 2, которая снижается (см. 3). Это влияние увеличивает спрос и, таким образом, повышает прибыль фирмы 1, так как р\ — С\ >0. Следовательно, небольшое снижение цены прибыльно для фирмы 1. Этот тип доказательства будет рассматриваться более систематично в главах 5 и 8.

Упражнение 4.3

Ясно, что производитель должен установить минимальное количество: д - = <7т. Розничный торговец максимизирует

[p-pw - Ф($)]?>(р,5)

Ъри ограничении 0(р, $) > «ут. Для того чтобы производителю получить вертикально интегрированную прибыль, нужно принять следующее решение: р = рт И5 = 5т (так что прибыль вертикально интегрированной структуры максимизируется), а также р*, должно быть равно р — Ф(й) = рт — Ф(5т) (так что прибыль розничного торговца присваивается производителем). Наоборот, предположим, что розничный торговец максимизирует при ограничении > <ут. При отсутствии ограничения розничный тор

говец выберет р и,5 так, что В(р, в) < дт, потому что он тратит на промежуточный товар рт — Ф(бт), а это превышает предельные затраты вертикальной структуры, с. Следовательно, при отсутствии ограничения розничный торговец вызовет спрос меньший, чем <7т. (Доказательство этого почти такое же, как и того, что монопольная цена растет при увеличении предельных затрат, см.

О многосторонней моральной угрозе и роли третьих сторон см. [26]. 1.

Производитель, который выбирает правильный объем услуг 5т, при том что розничный торговец выбирает рт и й"1, получает предельную выручку, рт~Ф(зт). Розничный торговец покупает промежуточный товар по предельным затратам. Следовательно, ему следует выбрать рт и зт. Присутствие третьей стороны дает право и производителю, и розничному торговцу быть претендентами на остаток. (Роль третьей стороны состоит в том, чтобы нарушить баланс платежей между двумя сторонами, что особенно подчеркивалось в [24, 26]). Чтобы присвоить прибыль розничного торговца, производителю нужно устано- ?

вить

Р ^ Л = [рт-С~Ф(5т)]1)(рт,5т,5'т).

Я Третья сторона получает нулевую прибыль:

В —\рт — Ф(бт)]щ 2. Так как третья сторона является предельным источником, увеличение ?

выпуска на единицу приносит ей

I с+ Ф^"1) - рт < 0.

I (Маржа третьей стороны равна минус вертикально интегрированной марже, что I неудивительно). Производитель и розничный торговец, если они заключают I тайный сговор, получают общую маржу прибыли

1 [р- с- Ф(л)]+ [рт - с- Ф(5т)],

I которая превышает общую маржу прибыли в отсутствие источника: I

р — С — ф(5). ?

Следовательно, тайное соглашение между этими двумя сторонами позволяет им ?

получить выпуск больший, чем дт, а также — из-за того что предельные еди- ?

ницы дороги для источника — дает отрицательную прибыль источнику.

1 Упражнение 4.5

« Другое объяснение было дано в главе 3: связывание запасных частей или I

технического обслуживания может использоваться как счетное средство для

дискриминации между потребителями, приносящими большую выгоду, и потребителями, приносящими меньшую выгоду.

Содержательно: затраты на аренду капитала (реактивный самолет) равны проценту на долговечный товар, гр„, плюс произведение вероятности выхода товара из строя, а(х'), и затрат на его замену, р*. К этому следует добавить затраты за техническое обслуживание, с'х'. Таким образом, предельные затраты одной единицы выпуска равны

ти^с'х' + рж[г + а(х/)]}.

X*

Более формально: если последующая отрасль покупает долговечный товар, ожидаемые общие затраты (валовые затраты технического обслуживания), связанные с тем, что она владеет этим долговечным товаром, постоянны и равны

С = pw + / ае~а е~ Cdt.

Теперь владелец должен платить рж. Вероятность того, что долговечный товар выйдет из строя между I и ? + тС - pw(r + а).

Таким образом, затраты на единицу времени составят pw(r + а) + с’х1. 2.

Монополист продает по цене pw > с. Условие первого порядка для последующей отрасли есть

с + pw<*'(x') = О, а для вертикально интегрированной структуры

*

с' + са'(х') — 0.

Так как а" > 0, х' ниже при вертикальной интеграции. (То, что минимиза* ция затрат нарушается при излишнем последующем техническом обслуживании, было получено в [61]. В противоположность политике продажи политика аренды приводит к минимизации затрат и предпочтительнее для монополиста). Достаточные ограничения включают связанные продажи и роялти. 3.

Введите фиктивную переменную

х = с + а(х').

•

(Заметьте, что dx/dx' < 0 и d2x/dx'2 > 0). Таким образом, последующая отрасль минимизирует

сх + pwx(x').

В модели замещения вводимых ресурсов в тексте последующая отрасль минимизирует с'х' -f pwx при условии /(х,х') = const (программа минимизации затрат). Ограничение может быть записано следующим образом: х — х(х') при йх/йх1 < 0 (вводимые ресурсы являются субститутами) и d2x/dx,2 > 0 (производственная функция вогнута).

Упражнение 4.6 1.

Плата за франшизу недостаточна. Независимо от предельной оптовой цены р„ при конкуренции не достигается вертикально интегрированный уровень услуг. (Действительно, Л = О, так как при конкуренции прибыль розничного торговца равна нулю). 2.

ИРМ достаточно. Выбор р и р„ фиксирует конкурентный уровень услуг: Ф(й) = р — р„. Следовательно, нужно установить р = рт и назначить оптовую цену р„ = рт — Ф(вт). Фиксирование количества также является достаточным инструментом.

Упражнение 4.7

Пусть рт(рч, + 7, ^) обозначает цену монополии при спросе d и общей цене вводимого ресурса р„ + 7, где р„ — оптовая цена при исключительных территориях. Прибыль производителя при существовании исключительных территорий составляет

Е[(р„ - с)?>(рт(р„ + 7,<*М)1 + [ртО* + 1А) - Р* - т\&(рт(рчг +

Второе слагаемое в этой функции прибыли является суммой плат за франшизу всех розничных торговцев. (Так как розничные торговцы бесконечно не расположены к риску, их полезность равна их прибыли в худшем состоянии природы минус плата за франшизу; эта полезность должна быть неотрицательна).

Ввиду нашего предположения, что монопольная цена не полностью соответствует изменениям затрат,

рт{р* +7,4) ~ рт(р* + 7,Ю <7-7, и она не снижается вместе с параметром спроса

рт{р» + 7>Ю < Рт{Р* + 7>с0>

мы получаем •

0{рт(р„ + 7><*М) < В{рт{р* + 7>Ю ~ 7 + 7,<0.

Прибыль производителя при существовании исключительных территорий ограничена сверху прибылью при альтернативном конкурентном устройстве, которая равна

Е[й{рт(р„ + 7,4) - 7 + 7,d)(pm{pw + 7, й) - 7 - с)].