ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ

Пусть Ф{(р) = (р — с*).0(р). Заметим, что Ф* (по предположению) вогнутая, возрастает до значения монопольной цены р™ и затем снижается. После подстановки 51 получаем

П^шахФ.СрК!-^).

Условие первого порядка:

Это предполагает, что и Ф^ имеют противоположные знаки.

*»Гп)П - 4. *>(р)П2ф?(р) _ 2Ф,(р)Пг(Ф;(р))г 2ф;(р)пгф;(р)

л> ф г(ру Ф|(р) Ф?0>) Ф|(р)

Первые три члена этого выражения отрицательны. Четвертый отрицателен в том случае, если выполняется условие первого порядка. Следовательно, целевая функция квазивыпуклая, и мы получаем оптимум. 2.

Это очевидно.

—2 3.

Возьмите производную условия первого порядка по р и П . Если записать

*2 = ~(Р ~ сг)т-^гЖр)

(С2 - С1)

и взять производную, будет ясно, что 52 — возрастающая функция р и, следо-

—2

вательно, П . Если для фирмы 2 целевая прибыль равна нулю, максимальной

прибылью для фирмы 1 является ее монопольная прибыль, которую можно по-

—2 — 4.

Из теоремы об огибающей

сШ1 __ Ф1(р) сШ2 _ ф2(р)’

Используя цепное правило, получим

лучить при р = рт(с\) и $2 = 0. Наоборот, чтобы получить П = П (сз), цена должна быть р = рт(с2) и фирма 2 должна обслуживать весь рынок. Обобщая — существует компромисс между совокупной эффективностью (при р = рт(с!) и $2 = 0) и распределением прибыли. Чем выше целевая прибыль для фирмы 2, тем выше рыночная цена и тем выше рыночная доля фирмы 2 (рис. 6.5).

так как

Ф[(р) < 0 < Ф2Ы,

а из вопроса 3

<1р

_7 > 0. <т

Шмалензи [74] использует аксиоматическую теорию торга, чтобы выбрать точку на этой выпуклой Парето-границе. Он показывает, что, если преимущество в затратах ведущей фирмы существенно, ее предполагаемый выигрыш от сговора относительно невелик.

Вопрос 4 предполагает, что наше ?эффективное распределение рыночных долей» оптимально только в классе детерминированных распределений. Фирмы могли бы получить наибольшие ожидаемые выигрыши с помощью «подбрасывания монеты» для того, чтобы решить, кто будет монополистом. Более формально — фирмы могли бы занять любую точку на прямой линии между А и В на рис. 6.5, если бы допустили, чтобы одна из них стала монополистом, в зависимости от значения случайной переменной. Противоположная ситуация возникает в контексте повторяемой игры с небольшим нетерпением (так что целевая функция фирм приблизительно равна средней их прибыли — см. раздел 6.3), и фирмы могли бы чередоваться в том, чтобы быть монополистом. 6.

Предположим, что фирма 1 продает по цене р\ < рг- При эффективном рационировании остаточный спрос фирмы 2 составляет ?>(рг) — <71* ^та величина спроса осталась бы без изменений, если бы фирма 1 повысила цену. Отсюда — фирма 1 могла бы и впредь продавать по цене, превышающей р\, без нанесения ущерба фирме 2.

Упражнение 6.2

Мы показали, что любой выигрыш (П1, П2) может быть аппроксимирован настолько близко, насколько это нужно для />, близкой к 1. Выберем цену р в интервале [с,рт] такую, чтобы П(р) = П1 -+ П2, и пусть П1 = аП(р) и П2 = (1 — а)П(р). Рассмотрим соотношение а/(1 — а). Мы знаем, что любое действительное число может быть приближено, насколько необходимо, к рациональному числу. Пусть т/п обозначает рациональное приближение а/{\ - о). Предположим следующие стратегии: «В течение первых т периодов фирма 1 назначает цену р, а фирма 2 назначает цену, строго превышающую р; для п последующих периодов фирма 2 назначает цену р, а фирма 1 назначает цену, строго превышающую р; в течение т последующих периодов наступает очередь фирмы 1 забирать долю рынка по цене р, и т.

(1 - *)П(р)[(1 + 6 + ... + <5т-1) + (<5т+п + ... + 62т+п~1) + ...] = _ —+_^т_.1 п(р) ~ ? Ш П(р) ~ аЩр)

1 -М + ... + ^п+т~1 т + п КР)

для 6, близкой к 1.

Упражнение 6.3420

Максимально возможная прибыль каждого периода П одинакова для обеих фирм (так как игра симметрична, множество достижимых прибылей за каждый период также симметрично). Предположим, что это равновесие, в котором фирма 1, скажем, получает в каждом периоде прибыль П —_е (где е — положительно и мало), и предположим цену р, такую, что П(р) > П — ?, цена р— наименьшая цена, назначенная в некотором периоде 2, ив каждом периоде фирма 1 получает прибыль Щр) > П — 6. (Такая цена и период должны существовать; в противном случае фирма 1 не смогла бы получить прибыль П — е «в среднем*). В момент I фирма 2, вероятно, отклонится и назначит цену, ненамного меньшую р. В результате этого она получит прибыль 31Щр)/2 в момент ? (так как она захватит весь рынок). Однако потери от будущего сговора составят самое большее

П(А + *2 + ...)= П-^-г < П-?.

1—0

Достаточно выбрать такое ?, при котором

П -е 6 >

П 1-6'

чтобы получить противоречие.

Упражнение 6.4

Монопольная цена будет поддерживаться, если п — 1 пт

Пт < (6/1 + 62ц2 + ...).

п п

(В левой части выигрыш от отклонения; в правой — долгосрочные потери). Значит,

6/1 > 1 — —.

п

Для заданной 6 это условие удовлетворяется намного легче, если рынок расширяется. (Предположение состоит в том, что при таких условиях будущее является намного более значимым).

Упражнение 6.5

Пусть {р*,з*} обозначает эффективное распределение рыночных долей и пусть

П'-н^р'Хр'-с,)

П2* = (1-4)0(р*)(р'гс2)

обозначают соответствующие попериодные прибыли. Предположим следующие стратегии: «Каждая фирма г назначает цену р* и производит столько

же времени, сколько она подчинялась данному правилу в предыдущем периоде.

Рассмотрим наиболее прибыльное отклонение от равновесия. Для фирмы 1 оно состоит в снижении цены до монопольной. Таким образом, фирма 1 получает краткосрочную прибыль, равную П1т - П1*, где П1т = тах[?)(р)(р — сг)]. Долгосрочный убыток составит

^'»-(сг-с^ДСсз))

1 -6

где (сг — с\)0(с2) — прибыль фирмы 1 в равновесии Бертрана. Таким образом, распределение рыночных долей должно удовлетворять

П1ш Д,. ^6(П"-(сг-сх)Р(сг))

1 — 6

Отметим, что для заданной 6 это удовлетворяется в том и только в том случае, если П1* превышает некоторый заданный уровень или э* > 51(^) > 0, где определено неравенством (1). (Напомним, что П1* — это линейная функция зр.

Для фирмы 2 оптимальным отклонением от р* является небольшое снижение цены и завоевание посредством этого всего рынка (так как р* < рт(с2)). В этом случае она получит краткосрочную прибыль, почти равную [)(р*)(Р* - —С2). Долгосрочный убыток составит П2*/(1 — 5), так как при равновесии Бертрана фирмы вообще не получат прибыли.

Таким образом, мы должны получить

что значит

1 - 4 ~ 1 - <Г

или

«,* <

Отсюда эффективное распределение рыночных долей может поддерживаться в состояние равновесия, если -^(<5) < з* < ?.421 А это, естественно, означает, что эффективное соглашение о разделении рынка может сохраняться только в том случае, если это лне слишком несправедливо» для какой-либо из фирм.

Как отмечалось в разделе 6.2, фирмы могли бы оказать еще более благоприятное влияние на исход событий, если бы по очереди занимали монопольное положение, так как Парето-граница на пространстве выигрышей выпукла. Например, фирма 1 могла бы покрыть весь спрос при р™ по четным периодам, а фирма 2 — весь спрос при цене р™ по нечетным периодам. (В случае отклонения от данной стратегии фирмы возвратились бы к конкурентному поведению). Тогда величина прибыли за каждый период составила бы приблизительно П7*/2 иП™/^ соответственно для фирм 1 и 2 при 6, близкой к 1.

Упражнение 6.6 1.

Подразумеваемый дисконтирующий множитель на рынке 2 составляет Ь2 — фирма может отклоняться в течение двух последовательных периодов, при этом данное отклонение не обнаруживается. 2.

Оптимальным отклонением является вначале отклонение на рынке 2, затем отклонение на двух рынках сразу в течение последующего периода (отклонение на рынке 1 вызовет наказание в следующем периоде). Таким образом, максимальная прибыль при отклонении составит

Пт(1 +2<5)

Убыток составит

62Пт

1-6'

поскольку отклонение обнаруживается с отставанием на два периода, а прибыль от сговора составит Пт/2 в каждом периоде.

Упражнение 6.7

Устанавливая цены, общество уменьшает масштабы взяточничества и фаворитизма. Однако, предоставляя отраслевую информацию о снижении цен, оно может способствовать тому, что фирмы-участники вступят в тайный сговор. По крайней мере, как гласит здравый смысл, «было бы довольно сложно найти лучшее средство для поощрения открытой и агрессивной конкуренции между олигополистами (продавцами)» [33] (см. также [73, р. 224]).

На самом деле все не так просто. Теория, рассмотренная в этом разделе и в разделе 6.7.1, предполагает случайный и ненаблюдаемый спрос, тогда как в случае назначения цены государством информация о спросе становится общедоступной (таким образом, фирмы могут узнать о том, что имело место снижение , цены у той фирмы, положение которой изменилось к лучшему, даже если сама информация о цене хранится в тайне).

Упражнение 6.8

См. раздел 6.7. Для а = 1/4 Т — наименьшее время, такое, что 36 — б'Г+1 > > 2. Отсюда 6 > 2/3, если это условие будет удовлетворяться некоторое время Г. Для Т — 1 оно не удовлетворяется до тех пор, пока 6 = 1.

Упражнение 6.9 См. [44].

Упражнение 6.10

(Все выигрыши умножены на 36). *

= * = * = 9-М^ = 4.5(^),

Уз = ГГ7 = т’

У2 = 5 + НУг,

V, = У0 = -г——74.5 = П'6 = Н'Ь = Н'4 = 1

— 0

62

т = —4.5,

т = а (5 + у4г4-5) + (! - а) (2-5 + г~74-5) •

Вероятность а такова, что VI == 2.5 + 8\?\. (Для каждой из фирм не имеет значения, сохранять ли цену р\ или устанавливать монопольную цену). Таким образом,

4(5 + 9<52 - 5

5(5 + 9<52

(при этом а ~ 4/7 при 8, близкой 1).

Проверять, образуют ли эти стратегии равновесие, здесь не имеет смысла. В тексте МЫ видели, ЧТО снижение цены ОТ Рз ДО Р2 не принесет прибыли. Давайте просто покажем, что при р2 фирма скорее предпочтет снизить цену до р\, чем возвратиться к монопольной цене. При снижении цены она получает

Ь 6 •

5 + ЬУУх = 5 + - 2.5) = 2.5 + = 2.5 + -4.5 > г4.5,

1—0 1—0

и это именно то, что она получила бы при установлении монопольной цены.

Упражнение 6.11 См. [52].