ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ

Существуют три информационных множества. 2.

Это очевидно. *

Упражнение 11.2

1%Пусть Ь — тах^у,- bj; изменения Ь\ в (6i + 00) не влияют на благосостояние г-го ценопредлагателя; он в любом случае получает продукт и платит 6.

Очевидно. 3.

Объяснение в ответе 1 не зависело от уровня Ь, так что назначение b{ = vt является оптимальным для любого 6. Следовательно, предложение действительной ценности всегда оптимально (и является доминирующей стратегией) на аукционе второй предлагаемой цены.

Упражнение 11.3 1.

Общественное благосостояние составит

+ $^0»(М«) = —С(а) + + constant,

tit t

как следует из бюджетного ограничения правительства. 2.

С этими трансфертами и при любых объявленных другими потребителями оценках _ _ _ _ _

(^1 э • • *>0|-ь0|+ъ • - • >^п) = ^-«

платежная функция потребителя г

ti{eiy6-i + gi(a* {OiJd-i),!)^ =

= Ki + +«(»*(*.-.- С(а*(ё,

JV»

Но из определения а* мы имеем для всех а

?sj(a*(9j,«-i)A-) + Л(о*(в,-,«-<),«() - C(a*(9j, «_,•)) >

JV*

^ + - С(а).

j*

Это значит, что а*(0,,0_,) оптимально для профиля предпочтений Не-

равенство выполняется, в частности, для любого а = a*(0t, в-i), которое может навязать г-й потребитель, обманывая и объявляя в{ вместо 0t. Следовательно, объявление 9i оптимально, независимо от того, каковы объявления других потребителей.

Плановик может поэтому осуществить первое наилучшее размещение, если денежные трансферты ничего ие стоят обществу.

В общем правительственный бюджет,

У! i* — C(a), t

не сбалансирован. В [29] показано, что не существует механизма доминирующей стратегии, который включает первое наилучшее размещение и балансирует бюджет. Наилучшее размещение и сбалансированный бюджет можно получить, ] если согласиться принять более слабое понятие равновесия: концепция Байесова равновесия развита в разделе 11.4 (см. [2, 15]).

Упражнение 11.4

Равновесиями чистых стратегий Нэша являются

{а* = L, а\(L) = 1,а.г(М, R) = I или г}

и

{aj = ?, aJ(L) = г, а?(М, R) = г}.

Упражнение 11.5 1.

Если местоположения различаются, приближение к сопернику увеличивает рыночную долю (равную прибыли при отсутствии ценовой конкуренции). Поэтому местоположение должно быть идентично. Если общее местоположение не является серединой сегмента, незначительное движение к центру увеличивает рыночную долю. 2.

Предположим, что три фирмы не расположены в одной точке. Фирма, расположенная слева или справа, получила бы рыночную долю, двигаясь по направлению к сопернику. Поэтому фирмы должны располагаться идентично и получить каждая треть рынка. Однако, двигаясь незначительно либо вправо, либо влево от этого общего пункта, фирма может получить приблизительно половину рынка или больше. Поэтому не существует равновесия чистых стратегий. Проблему существования равновесия смешанных стратегий см. в [13, 14].

Упражнение 11.6

Пусть P-i = Потребитель г максимизирует

g(P-i+Pi)~Pi,

что дает

g'(P-i + Pi) = 1.

Условие первого порядка является достаточным и определяет единственный оптимум, так как функция строго вогнута и д^О) > 1, ^'(-Ьсю) < 1. Общий выигрыш Р = P_j + рг задан

АП = 1-

Очевидно, что общественные расходы слишком малы (благодаря проблеме свободного наездника). Оптимальные общественные расходы, Р*, максимизируют {пд(Р) — Р}, так что дг(Р*) = 1/п, подразумевая Р* > Р. Хотя общие расходы Р определены, индивидуальные — нет.

Множественность равновесий, подобно одному равновесию в этом упражнении, возникает, когда размер общественного блага фиксирован (к примеру,

проект внедряется только тогда, когда Р > Р). Однако множественность возникает не во всех моделях, касающихся частного обеспечения общественным благом.682

Упражнение 11.7

Пусть Т = 2. Игрок 2 делает последнее предложение: он предлагает х2 = О, что является наименьшей долей, принимаемой игроком 1. Поэтому игрок 2 получает 1. Он согласится дать х\ игроку 1 в первом периоде, только если 1

— х\ >6(1). Таким образом, игрок 1 предлагает XI = 1 — 6.

Пусть Т = 3. Нам известно, что, если игрок 2 делает предложение во втором периоде, он получает 1 — #, так как осталось ровно два периода. Итак, игрок 1 должен дать ему по крайней мере 1 — Яг > #(1 — ?).

Следовательно, Хх = 1 — 6 + 62.

Пусть Т = 4. Из трехпериодной игры мы знаем, что, если игрок 2 отвергает предложение в момент 1, он получает 1 — 6 4- 62. Поэтому

1 - X! = <5(1 - 6 + 62) => X! = 1 - 6 + 62 - 63.

Распространяя на все периоды, мы получаем в пределе

I! = 1 - 6 + 62 - 63 +... = ^4- = -Ц. 1 - г2 1 + 6

Упражнение 11.8

Следующая замечательно простая версия доказательства Рубинстейном единственности взята из [64]. Предположим, игрок 1 делает предложение. Поскольку игрок 2 получает в следующем периоде самое большое V2 (совершенство требует, чтобы равновесие также поддерживалось^со следующего периода), принимается предложение такое, что 1 — х\ = 8У2. Следовательно,

У.1 > *1 = 1 - 6У2. (11.24)

Точно так же самое большее, что теперь может получить игрок 1, это V! < <

1 — Ш_2, НО ]У_2 > $?-2 * так как игРок 2 всегда может отклонить предложение и ждать своей очереди. Следовательно,

VI <1 -6У2. (11.25)

Похожие уравнения выполняются, когда предложение делает игрок 2: •

У2>1- 67и (11.26)

У2<1-6У1. (11.27) Теперь (11.24) и (11.27) дают

(11.28) а (11.25) и (11.26) дают

V! < 1 - 6 + 62Уг =!• У1 < —-

Так как, по определению, < V

WЛ = Wx^Wl = -4т.

1 + 0

Такие же уравнения выполняются для игрока 2.

Упражнение 11.9 1.

На дереве игры есть три узла, которые также являются информационными множествами. Используем алгоритм обратной индукции Куна: власти начинают расследование, если и только если они наблюдают хищническую политику. Следовательно, фирма не ведет хищническую политику в состоянии равновесия. 2.

Игровое дерево такое же, как и в вопросе 1, за исключением того, что два узла, следующие за решением фирмы, образуют одно информационное множество. Если фирма ведет хищническую политику в состоянии равновесия, власти узнают это и фирме приходится прекратить такую политику. Если она не ведет эту политику, расследование не начинается, так что хищническая политика была бы выгодной. Следовательно, равновесия чистых стратегий не существует. Предположим, фирма ведет хищническую политику с вероятностью х, а власти проводят расследование с вероятностью у. Так как обе стороны безразличны к их двум чистым стратегиям, х и у заданы уравнениями

х(5 — с) — (1 — х)с — 0 хс = с

и

~у{р ~д) + {1-у)д = 0<^ур = д.

Упражнение 11.10

Участник торгов с оценкой ? максимизирует

(< - Ф(6)).

После упрощения условие первого порядка имеет вид

пт)

(п - 1)/(Ф((.))

Это условие не должно выполняться при t — Ф(6), что приводит к дифференциальному уравнению первой степени в Ф(6).

Для Р(х) = ха получаем Ф(6) = кЬ, где

* = 1+ 1

а(п — 1)

Предлагаемая цена стремится к истинной оценке (т. е. к стремится к 1), когда количество участников торгов стремится к бесконечности.

Упражнение 11.11 1,

2. Выигрыш ex post победителя составляет

Xi + E(xj|a:j < Ф(6,)).

Так как Ф(-) — неубывающая функция,683

< Ф(Ь»)) < E(*j) = і

Это намного более общий результат; см. [46]. 3.

Допустим Ф(6) = kb. Записав условие первого порядка и введя Ф(б^) = получим к = 2 — 1/А;, или к = 1. Каждый участник торгов предлагает личную информацию.

Упражнение 11.12 1.

Решить с помощью обратной индукции. Если на рынок вступает единственный новичок, укоренившейся фирме лучше пойти на уступки. Следовательно, новичок не входит на рынок. При множестве новичков укоренившаяся фирма соглашается на вход в последнем периоде; следовательно, последний новичок входит на рынок. Поскольку исход последнего периода не зависит от хода предыдущих периодов, укоренившаяся фирма уступает к моменту п— 1; так что новичок входит в момент п — 1. И т. д. 2.

Единственный новичок. Понятно, что новичок остается вне рынка, если х > 1/2, и входит, если х < 1/2. Если х = 1/2, ему безразлично — вступать или оставаться вне рынка. Множество новичков. Рассмотрим момент п — 1; предположим, что новичок вступает на рынок. Далее предположим, что «мягкая» укоренившаяся фирма (с выигрышем —1в случае хищнической политики) идет на уступки с вероятностью 1. Затем хищническая политика соблазняет укоренившуюся фирму, которая всегда склонна к такой политике и ведет ее. Новичок п остается за пределами рынка, тогда как, если бы он увидел уступки в момент п — 1, он вступил бы. Ведя хищническую политику, мягкая укоренившаяся фирма получает —1 + 3/4 = —1/4 вместо 0 + 0 = 0. Таким образом, мягкая укоренившаяся фирма не ведет хищническую политику, а новичок входит на рынок, если хп-\ < 1/2, и остается за пределами рынка, если хп_і > 1/2 (он безразличен при жп_і = 1/2). Картина изменяется в момент п — 2. Предположим, что мягкая укоренившаяся фирма ведет благоприятную политику с вероятностью 1. Тогда она получает 0 + 0 + 0 = 0. Ведя хищническую политику, она сдерживает будущий вход (так как тогда жп_і = 1) и получает 1+ +3/4 + 3/4 > 0. Может ли мягкая укоренившаяся фирма вести хищническую политику с вероятностью 1? Тогда после хищничества в момент п — 2 имеем жп_1 = хп-2• Вспомните, что новичок остается за пределами рынка в момент п— 1, если хп~\ > 1/2. Таким образом, если хп—г > 1/2. укоренившаяся фирма ведет хищническую политику с вероятностью 1. Если хп-2 < 1/2, мягкая укоренившаяся фирма должна делать случайный выбор между благоприятной и хищнической политикой, так что хп-і = 1/2. Пусть т/п 2 обозначает вероятность ведения хищнической политики мягкой укоренившейся фирмой. По правилу Байеса 1

_ (1 - Хп—2 )Уп—2 2

(1 - ХП-2)УП-2 + Яп-2 ’

Новичок в момент п — 2 желает войти на рынок, если

(-1)[*„_2 + (1 ~ Хп-2)Уп-2] + (1)[(1 ~ *п-2)(1 - Уп—2 )] > 0.

Используя предыдущее правило Байесовой корректировки, это неравенство можно записать как

хп-2 < 7.

4

(При 2 = 1/4 новичок выбирает случайно. В более общем смысле новичок остается за пределами рынка, если х > 1/2п-1, и входит на рынок, если х < <

1/2"-1.

Упражнение 11.13 1.

Фирма 2 отвечает на

„ _ Т(ді) - ді 42- 2

поскольку выявляет, что тип фирмы 1 есть Т(<71). Следовательно, тип максимизирует

„ Л „ тМ-чЛ

«1 ^1-91 2 )?

Условие первого порядка по ^ должно удовлетворяться при типе Ц — Т(д 1), чтобы у фирмы 2 были рациональные ожидания. Это приводит к дифференциальному уравнению. Легко проверить (используя условие первого порядка как тождество), что условие второго порядка выполняется. 2.

Тип Я, скорее всего, выберет выпуск с полной информацией Я/2, так что Т(Н/2) = Я. 3.

Например, при Я = 4 и i = 3 s = 1 и Т(1) = 2 + 2 In 2 > X. С множеством типов существует больше ограничений стимула, чем только с двумя типами: тип Я не должен выбирать выпуск типа (Я — ?), последний не должен выбирать выпуск типа (Я - 2е) и т. д. Типу L нужен более низкий выпуск, чтобы, например, обособиться от типа Я.

Упражнение 11.14 1.

Розничный торговец максимизирует

(p-p»)(h -р)-^; таким образом, наибольшая франшиза, которую можно потребовать, равна

(*1 - Pw)*

4

и розничная цена составит

( \ ^1 “Ь Pw

HPw) = —2—*

Производитель затем максимизирует

4(Pw) + (Pw ~ C)---- Pw' . 2.

Чтобы получить монотонность, выпишите два ограничения на совмести- мость стимулов. В равновесии выявляется тип с низким спросом, так что эффективность требует, чтобы pw = с. Но тип с высоким спросом «доказывает», что спрос высок, выбирая pw > с. Это происходит потому, что положительная маржа более важна при высоком спросе, чем при низком. Таким образом, тип с низким спросом имеет меньшее искушение отказаться от снижения платы за франшизу, призванного показать, что спрос высок, в обмен на положительную маржу.

Чтобы устранить объединяющие равновесия, используя интуитивный критерий, начните с объединяющего контракта {pw, А} и рассмотрите новый контракт с немного более высокой промежуточной ценой и немного более низким платежом за франшизу, которому тип Я (но не тип L) предпочитает объединяющий контракт.