ПРИМЕРЫ

Рассмотрим следующую игру [65]: игрок 1 (рабочий) выбирает уровень образования е и затем требует от игрока 2 (фирмы) заработную плату и;. Таким образом,

Аг - {(е,ш)} С А2.

Игрок 2 тогда либо соглашается нанять рабочего за заработную плату ш, либо нет; итак,

А2 = { да, нет }.

Пассивность фирмы в этой игре должна показать заинтересованность одновременно нескольких фирм в данном рабочем.

У рабочего может быть два типа, связанных с производительностью (выраженной в долларах) в рамках любой фирмы: Ь < Н (так, что ^ = Ь или ^ = Н), где Ь > 0.

М = а? + (1 - а)Н

будет означать среднюю производительность, вычисленную по первоначальным убеждениям. Последующие убеждения обозначаются

рхЩах) = Т}(а,1)

и

Р1{н\а\) = 1 - чМ-

Рабочий инвестирует в образование е > 0. Для простоты допустим, что уровень образования рабочего не влияет на его производительность. Стоимость образования для рабочего, однако, зависит от типа рабочего. Более производительный рабочий обучается при более низких затратах. (Это условие часто называют простым переходом (single crossing), сортировкой (sorting) или условием Спенса—Мирлиса). К примеру, допустим, что стоимость образования —

e/ti. Выигрыш игрока 1 типа t\, получающего ID заработную плату ги, равен

П1 = w- —.

*1

Кривые безразличия для двух типов' представлены на рис. 11.8. Кривая безразличия типа L круче, чем кривая безразличия типа Я, так как данное повышение образования дороже обходится типу L и, следовательно, требует большего повышения заработной платы для того, чтобы этот тип остался на том же уровне полезности.

6 Фирма принимает предложение, только ес

ли w < E(ti\ai).

Сначала рассмотрим совершенное Байесово равновесие этой игры. Посмотрим на два потенциальных типа равновесия чистых стратегий (разделяющее и объединяющее) и исследуем, удовлетворяют ли эти состояния равновесия двум выше обсужденным критериям или нет.

Разделяющее равновесие. Два типа рабочих выбирают два разных уровня образования. Тип t\ получает заработную плату t\.676 Тип с низкой производительностью, L, обязательно выбирает e(L) — 0 (если бы он инвестировал е > О, то его полезность, равная L — ef L, была бы ниже полученной без образования, которая по крайней мере составляет L). Тип с высокой производительностью выбирает е > 0. Определим уровни образования 0<5<гс помощью

L-H-

I л н-

Вербально — типу с низкой производительностью все равно, не инвестировать в образование и быть узнанным (получить зарплату Ь) или инвестировать ? в образование и оказаться в ряду типа с высокой производительностью (способного затребовать заработную плату Н). Чтобы быть узнанным, тип с высокой производительностью не захотел бы инвестировать больше, чем г (в то время как не инвестируя, он мог бы получить заработную плату по крайней мере равную Ь). Понятно, что разделяющее СБР дает уровень образования е в интервале [з, г], так кцк оно должно удовлетворять ограничению Ь > Н — е/ЬиН — е/Н > 1>. И наоборот, любое е в [5, г] является частью СБР. Достаточно определить, что для внеравновесных уровней образования е1 не принадлежит (0, е}, чтобы фирма рассчитывала на тип с низкой производительностью г}(е') = 1. Поэтому рабочий с уровнем образования е1 не может требовать больше, чем ?, и, что легко проверяется, тип L предпочитает образование О, а тип Я выбирает образование е. Таким образом, получаем континуум разделяющих состояний равновесия.

Однако, когда мы устраняем слабо доминируемую стратегию и формируем внеравновесное убеждение, сохраняется только одно разделяющее равновесие.

Объединяющие равновесия. Существует также много объединяющих СВР. Предположим, что оба типа выбирают уровень образования е. Соответствующая зарплата, которую можно потребовать, — это М. Чтобы навязать такое равновесие, лучше всего выбирать внеравновесные убеждения ^(е1) = 1 для е* ф е (так, что заработная плата равна L, следующей из е1). Это, как и раньше, дает наименьший повод отклоняться от е. Теперь при таких убеждениях самым прибыльным отклонением будет выбор е' = 0. Таким образом, чтобы е было объединяющим равновесием, нужно, чтобы М — е/L > L и М — е/Я > L. Следовательно, любой уровень образования е, удовлетворяющий М — е/L > L, определяет объединяющее равновесие. Итак, имеем континуум объединяющих равновесий с уровнями образования в интервале [0, v], где 0 < v < s.

Это простое устранение слабо доминируемых стратегий не уменьшает множества объединяющих равновесий. В противном случае интуитивный критерий устраняет их все. Чтобы это увидеть, см. рис. 11.8. Предположим, что оба типа объединяются в точке А = {e,w}. Предположим, что игрок 1 отклоняется и выбирает

В = {е -f 6е, w + 6w}.

Точка В включает больше образования и повышение зарплаты, которое более чем компенсирует повышение образования для типа с высокой производительностью, но не для типа с низкой производительностью.

Следовательно, в этой игре интуитивный критерий отбирает единственное равновесие чистых стратегий.33 Интуитивный критерий распоряжается также равновесиями смешанных стратегий (или гибридами, или полуразделя- ющими).34

Представим теперь пример очень похожей структуры из промышленной организации. Он прямо следует из примера с сигнализированием рынка рабочих мест.

Пример 2.

Рассмотрим игру Курно с асимметричной информацией, используемую в тексте для объяснения понятия Байесова равновесия, в которую, однако, играют последовательно, а не одновременно [27]. Имеются две фирмы (г = 1,2). Фирма или игрок 1 выбирает выпуск = <71. Фирма или игрок 2, увидев ^, выбирает выпуск а2 = 42* Выигрыши равны

п1 = [*1 - (?1 + ?2)к|,

где — свободный член линейной кривой спроса (за вычетом общих удельных затрат). Если ?1 общеизвестно (случай с полной информацией), то функция реагирования фирмы 2

52 = #2(91) = '1 2 »

а фирма 1 максимизирует

[*1 ~ 41 ~ &2{Я1)]91*

Это ведет к ^ /2 и д2 = ^/4. Прибыли составят П1 = (^)678/8 и П2 = = (*1)2/16.

Теперь допустим, что фирма 1 (укоренившаяся) имеет большую информацию о спросе. Перед тем как выбрать <71, она узнаёт ^. Этот параметр или тип может иметь оценку Ь или Я при 0 < Ь < Я. Фирма 2 имеет первоначальные вероятности Р\(Ь) — а и р\(Н) = 1 — а. Перед тем как выбрать дг» она рассматривает только д\ и корректирует свои убеждения:

Р1ЩЧ1) = П(91),

Р1(ЯЫ = 1 - чЫ)-

Очевидно, что фирма 2 реагирует оптимально при своих последующих убеждениях; итак, она максимизирует

$2({»?(?i)? + [1 - - qi - g2).

Оптимальная реакция,

T? ( rr ? + [1 - - 91 92 — Я2КЯ1) — »

растет вместе с убеждениями фирмы 2, что спрос высок. Поэтому у фирмы 1 есть стимулы убедить фирму 2 в том, что спрос низкий. Выведем сначала «монотонность» из ограничений совместимости стимулов. Грубо говоря, фирма X выбирает большее количество, когда спрос высок.679 Пусть qi и q[ обозначают оптимальные действия для типов L и Я соответственно. (Мы допускаем возможность существования нескольких таких действий). Оптимальность требует, чтобы

?i(I - ?i - Kj(?i)) > q[(L - q[ - H2() > ?i(# " ?i - Д*Ы)-

Сложение этих двух неравенств дает

(g; - gi)(H - L) > О,

что ведет к желаемой монотонности.

Теперь найдем объединяющие и разделяющие равновесия (чистых стратегий). Введем ряд условий. Эти условия выполняются при Я = 4, L = 3 и а = 0.8. (Эти количественные оценки облегчают вычисления).

Разделяющие равновесия. В разделяющих равновесиях тип фирмы распознается по ее выпуску. Тип Я, следовательно, играет своим количеством (при полной информации) Я/2.680 Ограничения совместимости стимулов требуют, чтобы тип t\ не захотел выбрать количество, выбранное tПонятно, что тип L не хочет выбирать Я/2. Во-первых, Я/2 не максимизирует прибыль для типа L при полной информации об L. Во-вторых, игра Я/2 несет информацию о том, что спрос высок, и ведет к большему, чем при полной информации, выпуску фирмы 2. Важное ограничение стимула состоит в том, что тип с высоким спросом не хочет играть количеством ф! типа с низким спросом; так что

> «1 (н - 91 - ^у^)- (11.18)

Для разнообразия допустим, что условие (11.18) нарушается при выпуске с полной информацией типа (дх = Х/2):

Я2 X / ЗХ\

т<2(я-т)- (11Л9)

Легко проверяется, что (11.19) удовлетворяется, если X достаточно близко к Я. (Дело в том, что при X ~ Я изменение в выпуске типа Я, с целью заявить, что он является типом X, имеет только прямой эффект второго порядка на его прибыль, но ведет к снижению первого порядка в выпуске фирмы 2 и, следовательно, к косвенному увеличению первого порядка прибыли фирмы 1). Неравенство (11.19), монотонность выпуска по типу и вогнутость правой части (11.18) означают, что разделяющий выпуск q не должен превышать 5 < Х/2, где з — меньший корень (11.18) (к примеру, для Я = 4иХ = Зз = 1). С другой стороны, ф! не может быть слишком малым (иначе тип X не захотел бы выбрать ^1, даже если это дает информацию о том, что спрос низок); так что обязательным условием является

(г ь-яА ^ (т

Ч\ I X - 91 -— 1 > шах X I X - X — 1

где правая часть вычисляется при самых пессимистических допущениях, что выпуск х несет информацию о высоком спросе. Легко видеть — (11.20) и предыдущий анализ предполагают, что должно принадлежать некоторому интервалу [г, б], где г — меньший корень (11.20) (при Я = 4и Х = 3 г принадлежит (ОД)).

И наоборот, любое 91 в [г, б] является выпуском типа X при разделяющем СБР. Чтобы получить этот результат, достаточно определить, что при внерав- новесных количествах q[3 не принадлежащих {91, Я/2}, фирма 2 полагает, что спрос высок. Исходя из (11.20) тип X предпочитает играть Из определения Я/2 видно, что тип Я предпочитает играть Я/2. Таким образом, существует непрерывный ряд разделяющих СБР.

Как и в примере 1, устранение слабо доминируемых стратегий ведет к единственному разделяющему равновесию: разделяющему равновесию с наименьшими удельными затратами в 5. Это следует из того, что игра < в доминируете^ игрой Я/2 для типа Я (из определения 5). Таким образом, при 91 < 5 фирме 2 следует считать, что спрос низкий. В свою очередь типу X не нужно выбирать выпуск меньший з, чтобы показать, что спрос низкий.

Объединяющие равновесия. Пусть q обозначает объединяющее количество (оба типа играют q в состоянии равновесия). Последующие убеждения фирмы 2

о свободном члене, следующем за д\, остаются неизменными:

М = аХ + (1-а)Я.

Таким образом, прибыль типа ^ составляет

( М - _ ( М qy\

91 (^1 - «1 2 ) = * VН~Т ~ Т) ?

Лучший способ сохранить 91 как объединяющий выпуск СВР — это допустить, что фирма 2 полагает, будто спрос высок, когда она видит ф 91. Таким образом, дх будет в самом деле объединяющим равновесным выпуском, если и только если

51 (1 - Т ' I) - “?* [*(* “1 “ (11'21)

и

91 (Я “ Т ~ - Ш^Х Iх (я “ х ~ ~2~~)] = я2/8. (11.22)

Как легко проверяется, (11.22) определяет интервал допустимых который вмещает Я/2. Неравенство (11.21) также определяет интервал, расположенный справа от г. В самом деле, при наших числовых оценках (Я = 4, Ь = 3, а = 0.8) этот интервал также содержит Я/2. Поэтому множеством объединяющих выпусков является интервал, содержащий Я/2.

Чтобы устранить этот континуум объединяющих равновесий, мы можем использовать интуитивный критерий. Пусть ^1 будет объединяющим равновесием. Определим ^1 < 91 с помощью наименьшего корня уравнения

=?1 (я (и.23)

Теперь игра 91 — е (е положительно и мало) есть равновесие, доминируемое для типа Я, но не для типа Ь. Таким образом, последующие убеждения фирмы 2 должны основываться на всех весах типа X, вытекающих из выпуска — е. Но исходя из (11.23) тип Ь предпочитает игру ? игре 91. Поэтому 91 больше не является объединяющим выпуском.

Упражнение 11.13**. Рассмотрим игру Штакельберга, исключив, что непрерывно распределено на интервале [?, Я], вместо того чтобы иметь два значения в Ь и Я. Найдем разделяющее равновесие. Тип выбирает выпуск 91

= ). где (^1 строго возрастающая и дифференцируемая; обратной функцией ф1 является Т. Таким образом, Т(9х) — это тип, выбирающий выпуск ?1* 1.

Покажите, что Т удовлетворяет дифференциальному уравнению •

Я\Т\ч\) = Т(я 1) - 291. 2.

Каково граничное условие? Проверьте, что решением является

ГЫ= 2 + 2 1п 3.

Докажите, что T(s) > L, где s есть разделяющий выпуск с наименьшими затратами в дискретном случае.

Упражнение 11.14**.681 В главе 4 мы видели, что в отсутствие неопределенности монопольный производитель становится монопольным розничным (или оптовым) торговцем — окончательным претендентом на его продажи. Это означает, что производитель назначает промежуточную цену, равную его предельным затратам, и захватывает прибыль розничного торговца посредством платежа в твердой сумме (платы за франшизу). Это упражнение показывает, что когда у производителя есть частная информация о спросе на его продукт, он может назначить цену, превышающую его предельные затраты (и уменьшить плату за франшизу), в целях сигнализации. Монопольный производитель с предельными затратами с назначает двухставочный тариф монопольному розничному торговцу: T(q) = А + PwfZ, где q — количество, купленное и перепроданное розничным торговцем; — промежуточная цена; А — плата за франшизу. Окончательным спросом на продукт будет q = t\ — р, где р — потребительская цена, выбранная продавцом. Для простоты примем, что затраты розничного торговца равны нулю. Игрок 1 (производитель) ходит первым и предлагает контракт ai = {A,pw}. Игрок 2 (розничный торговец) принимает либо отклоняет контракт, и если принимает — выбирает цену для потребителей. Таким образом, а2 = { да или нет, р}. Он принимает контракт, если и только если его прибыль не отрицательна. 1.

Вновь получить результат, показывающий, что при полной информации 0

t\ равновесный контракт есть pw = с и А = (ti — с)2/4. 2.

Допустим, что только производителю известно ti. Этот параметр (тип) может принять оценки L или Н (0 < L < Н). Розничный торговец узнает ti, уже подписав контракт, но еще не выбрав р. Проанализируйте еще раз примеры 1

и 2, чтобы показать, что тип L назначает промежуточную цену, равную с, а тип Н назначает промежуточную цену, строго превышающую с. (Докажите, что промежуточная цена — это неубывающая функция Найдите разделяющее и объединяющее равновесия. Используйте устранение доминирующих стратегий и интуитивный критерий).