1. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ КОНКУРЕНЦИЯ 7.1.1. ЛИНЕЙНЫЙ ГОРОД

Вначале рассмотрим модель, предложенную Хотеллингом [36], в которой ?линейный город» протяженностью 1 расположен на абсциссе и потребители равномерно распределены на этом интервале с плотностью 1.

Мы также рассмотрим вариант этой модели, в котором транспортные затраты не линейны, а квадратичны. В этом случае затраты потребителя на посещение магазина 1 из пункта х составляют tx2 и магазина 2 — ?(1 — я)2. В такой версии предельные транспортные затраты увеличиваются по мере удаления от магазина. Как мы увидим в дальнейшем, квадратичные модели иногда легче поддаются обработке, чем линейные. 7.1.1.1.

ЦЕНОВАЯ КОНКУРЕНЦИЯ

В этом разделе мы принимаем размещение фирм как заданное и займемся изучением ценового равновесия Нэша. Полагая, что фирмы назначают свои цены pi и р2 одновременно,423 мы выведем функцию спроса для квадратичных транспортных затрат. Предположим, что цены двух фирм отличаются ненамного, спрос на продукцию одной из фирм отсутствует, цены не слишком велики относительно s (так что все потребители делают покупки — т. е. рынок насыщен). Первое условие должно, очевидно, выполняться в равновесии, так как одна из фирм при отсутствии спроса на продукцию не получает прибыли и, следовательно, у нее есть стимул снизить цену и приобрести долю рынка.

Потребитель, безразличный к одной и другой фирме, расположен в х = = Di(pi,p2), где х задано уравнением обобщенных затрат, т. е.

Рх +tx2 - р2 + <(1 - х)2.

Спрос на продукцию этих фирм составляет соответственно

rw- N Р2 - Р\ + t Di{Pi,P2) = х = - п г л 1 Р\ - п + 1 ЩРиР2) = 1 X — - ’

Когда фирмы расположены в двух противоположных концах города, функции спроса одинаковы как для линейных затрат, так и для квадратичных. (Это условие соблюдается не строго. Оно не соблюдается, если рынок не насыщен и, как мы вскоре увидим, зависит от расположения двух противоположных точек города). В обоих случаях прибыль фирмы г составляет

П — {pi с)

Товары, которые производят две фирмы, являются стратегически дополняющими по ценам (П^ > 0). Это важное свойство будет сохраняться для всех моделей в этой главе, за исключением модели монополистической конкуренции, в которой взаимодействие отсутствует. Его роль будет разъяснена в следующей главе.

Как при линейных, так и при квадратичных транспортных затратах фирма г выбирает цену р* так, чтобы максимизировать прибыль при данной цене установленной соперником, т. е.

Пг = тах[1Г(р;,р,)].

Р1

Условие первого порядка для фирмы г,

Pj + С + 1, - 2рг = 0,

и условие второго порядка выполняются. Используя симметричность задачи, мы получим конкурентные цены и прибыли при продуктовой дифференциации:

РЧ = Рс2 = с + г (7Л)

и

П1 = П2 = г-. (7.2)

Речь идет о дифференцированных продуктах, даже если они физически идентичны. Товары имеют тем большие различия для потребителей, чем выше транспортные затраты. С возрастанием I оба магазина менее энергично борются за «тех же самых потребителей*; на самом же деле клиенты магазина, проживающие в непосредственной близости от него, попадают в большую от него зависимость, придавая ему некоторую «монопольную власть* (которая в свою очередь позволяет ему повышать цену).

Поскольку мы тоже интересуемся выбором фирмой товарной дифференциации, нам нужно узнать, как изменяются равновесные цены в зависимости от местоположения фирм. Мы рассмотрели один крайний случай — когда фирмы располагаются на максимально возможном удалении друг от друга (максимальная дифференциация). Другой крайний случай имеет место, когда фирмы производят один и тот же продукт — т. е. они расположены в одной точке (скажем, zo) и их товары являются совершенными субститутами. Сравнение обобщенных затрат pi + t\x — яо| (или в квадратичном случае pi + t(x — х0)2) для покупателя, расположенного В произвольной точке ?, СВОДИТСЯ просто К сравнению цен Pi и р2. Следовательно, вывод Бертрана действителен для идентичного местоположения:

Pi = v\ = о (7.3)

и

П1 = П2 = 0. ? (7.4)

Предположим для большей общности, что фирма X находится в точке а > О, а фирма 2 — в точке 1 — 6, где Ь > 0, и (без потери общности) 1 — а — Ь > О (фирма 1 находится «слева» от фирмы 2; а = 6 = 0 соответствует максимальной дифференциации, а а + 6 = 1 соответствует минимальной дифференциации, т. е. совершенной замещаемости). Модель линейных затрат не очень пригодна в ситуации, когда фирмы расположены внутри интервала, так как если какая-либо фирма снижает цену до некоторого уровня, привлекательного для потребителей, расположенных между двумя фирмами, она также привлечет и потребителей, которые находятся по другую сторону соперника.424 Функции спроса этих фирм прерывные. Функции прибыли прерывны и невогнуты. Следовательно, задача ценовой конкуренции решается неоднозначно. Действительно, Д’Аспремон, Габ- зевич и Тисс [16] показали, что, если фирмы расположены ближе к центру сегмента (но не в одной точке), ценового равновесия с чистыми стратегиями не существует.425

Модель квадратичных затрат позволяет обойти эти технические вопросы.

В1(риР2) = х = а + 1^ + ф11Т) (7.5) гы»,*)=г -х=6+™

(до тех пор, пока они неотрицательны и не превышают 1 и пока s достаточно велико, рынок будет насыщен).

Согласно теореме об огибающей, фирма 1 максимизирует по цене во втором периоде, так что дН1 /др\ — 0. Таким образом, нам необходимо только посмотреть на прямой эффект влияния а на П1 (эффект спроса) и на косвенное влияние изменения цены фирмы 2 (стратегический эффект). А именно

Используя уравнения (7.5), (7.7) и (7.8), получаем

dD 1 1 р\ - р\ 3 - 5а - 6

"ГГ“ = « + : гтт - г

да 2 2?(1 — а — Ь)2 6(1—а —6)

и, используя уравнения (7.5) и (7.8), получаем

Суммируя уравнения (7.10) и (7.11) и используя тот факт, что наценка (Рг ~ с) положительна, мы можем легко показать, что < 0. Следо

вательно, фирма 1 всегда желает передвинуться влево, если она расположена слева от фирмы 2, и аналогично фирма 2. Следовательно, равновесие в местоположении представляет максимальную дифференциацию.

Использование теоремы об огибающей (которая будет повторена в следующей главе) также поучительно. Она демонстрирует конфликт между двумя эффектами. Во-первых, равенство (7.10) показывает, что, если а не слишком велико (в частности, если оно не превышает 1/2 при I — Ь > а), фирма 1 предпочтет передвинуться ближе к центру с целью увеличения доли рынка при заданной структуре цен. А это является частью более общего вывода о том, что при заданных ценах обе фирмы предпочитают занять место в центре или поблизости от него (см. раздел 7.1.3). Тем не менее фирма 1 также допускает, что общее снижение товарной дифференциации оказывает давление на фирму 2 в сторону снижения цены. Расчеты показывают, что этот стратегический эффект доминирует эффект рыночной доли.

Интересно сравнить местоположения, определенные рынком, с социально оптимальными. Предположим, что общественный плановик выбирает местоположение двух фирм. Поскольку потребление фиксировано, социальный плановик будет минимизировать среднюю величину транспортных затрат потребителей (это предположение имеет силу и в том случае, если фирмы, как и ранее, используют свою рыночную власть или будут вынуждены назначать цену в соответствии с предельными затратами; для заданного местоположения, пока рынок Насыщен, структура ценообразования не повлияет на сумму излишка потребителей и прибыли в этой модели с неэластичным спросом). В связи с симметричностью задачи социальный плановик расположит обе фирмы равноудаленно от середины сегмента, так что при равных ценах фирма обслуживает левую или правую половину рынка. Следовательно, местоположение, которое минимизирует средние транспортные затраты некоторого сегмента рынка, — это середина этого сегмента, когда плотность расположения потребителей единообразна. Таким образом, социально оптимальное местоположение есть 1/4 и 3/4. В этом примере рыночный исход дает слишком большую с общественной точки зрения продуктовую дифференциацию.

Упражнение 7.2**. Рассмотрим линейную модель дифференциации. Задано неизменное местоположение двух фирм, представляющее два противоположных конца сегмента. Транспортные затраты линейны по расстоянию. Предельные затраты фирм с\ и с2 неизменны, но не обязательно равны (для простоты предположим, что они различаются ненамного, так что при равновесии каждая фирма имеет положительную долю рынка). 1.

Рассчитайте функции реагирования р, = Ri(pj). Выведите цены равновесия Нэша Pi(Ci,Cj) и редуцированную форму прибыли П1(с;,с7) как функции предельных затрат двух фирм. 2.

Покажите, что д2Лгfdcidcj < 0. 3.

Проверьте предположение о том, что перед ценовой конкуренцией фирмы в первом периоде ведут игру, в которой они одновременно выбирают свои предельные затраты. (Подумайте об инвестиционных затратах ф(с) выбора предельных затрат с, при этом ф' < 0 и ф" > 0). Покажите, что, как и в предыдущей игре с выбором местоположения, такая инвестиционная игра увеличивает прямой, а также стратегический эффект.