СОВЕРШЕННОЕ БАЙЕСОВО РАВНОВЕСИЕ
Чтобы объяснить понятие равновесия, мы начнем с простой игры с несовершенной информацией, изображенной на рис. 11.5. В игре участвуют три игрока, она продолжается три «периода». В периоде 1 игрок 1 может выбирать из трех вариантов действия — Ь\, М\ («Средний») или Я\. Если игрок 1 выбирает один из двух последних, игроку 2 остается выбирать между 1/2 и #2* хотя ему и неизвестен выбор игрока 1 (он только знает, что игрок 1 не предпочел Ь\). Несовершенная информация игрока 2 представлена информационным множеством
{МхтИх}, характеризуемым овалом, очерченным вокруг двух соответствующих узлов (п2 и п3). При такой информации игрок 2 сталкивается с такими же вариантами в узлах тг2 и 713. Наконец, для того чтобы сделать ход {Л/1,Д2} или {#1,?2}, игрок 3 должен выбирать между и Д3 в третьем периоде, не зная, каких узлов (714 или П5) достигла игра. Оценки целевой функции выписаны внизу на рисунке, изображающем дерево. Например, за ходы М\,Ь2,Дз игрок 1 получает 3, игрок 2 — 2, а игрок 3 получает 0.
Следующее рассуждение должно оказаться полезным для восприятия понятия равновесия. Предположим, что экономисту нужно решить игру 5,
и, не зная, что делать, он обращается к двум людям, обладающим весьма специальными способностями.
Первый консультант — специалист по теории игр.
Он хорошо знает метод решения совершенного равновесия динамических игр, как он описан в разделе 11.3. С другой стороны, он достаточно хорошо знаком с теорией принятия решений, чтобы понять концепцию ожидаемой полезности (выигрыша). Однако он не знаком с законом Байеса для расчета последующих распределений вероятности. Взглянув на задачу, как она изображена на рис. 11.5, он сначала пытается разрешить проблему принятия решения для игрока 3. К сожалению, он осознает, что может сформулировать эту проблему как классическую проблему принятия решения, только пока игрок 3 приписывает некую субъективную вероятность (скажем, /х3) игре в узле 714 (таким образом, условная вероятность п$ — это 1 — /*з). Точно так же проблема принятия решения для игрока 2 зависит от вероятности (/х2), которую он приписывает игре, находясь в узле п2. Затем специалист по теории игр ведет себя в сугубо научной манере. Признавая свое незнание вероятностей, приписанных каждому информационному множеству (здесь /х = (/42?/4з))» он Делает следующее замечание: «Если мне даны субъективные вероятности /х, игра идентична игре с совершенной информацией, которую я могу решить». На самом деле при данном /г3 игрок 3 предпочитает ход, который максимизирует его ожидаемый выигрыш. Игроку 2известна оптимальная стратегия игрока 3, и он также максимизирует свою ожидаемую полезность при субъективной вероятности /42* В конце концов при оптимальных стратегиях других игроков игрок 1 производит выбор исходя из своих интересов. Следовательно, специалист по теории игр сообщает экономисту о соответствии между субъективными вероятностями /х и оптимальными стратегиями, полученном с помощью обратной индукции:
а*(м) = {а*(м)>а2(м)»азМ}>
где а* может быть смешанной стратегией.
Второй консультант — специалист по Байесовой статистике. Расчет последующих распределений вероятности — его вторая натура; однако он не знаком ни с теорией игр, ни с теорией принятия решений. Обладая научным складом ума, он делает следующее замечание: «Если у меня есть набор стратегий
о = {а1,а2,аз}, я могу подсчитать вероятности, которые игрок припишет различным узлам».
Например, если игрок 1 совершает каждое свое действие с вероятностью 1/3, игрок 2 должен приписать вероятность /а2 = 1/2 узлу П2, если игра доходит до его информационного множества. Более того, если а2 = J?2* игрок 3 определяет вероятность //з = 1 для узла тц. Что происходит, когда игрок 1 играет а\ = L\ (с вероятностью 1)? Тогда игрок 2 может приписать любую вероятность //2 узлу п2» так как каждая вероятность совместима с законом Байеса (потому что событие «игра доходит до информационного множества игрока 2» имеет нулевую вероятность).21 Статистик для каждого набора стратегий сообщает набор утверждений, совместимых с этими стратегиями в Байесовом смысле: /tBay(a).Вывод из этого рассуждения легко угадать. Экономист созывает двух своих консультантов. Статистик предлагает, чтобы стратегии, которые он использует для расчета вероятности, были выбранными игроками стратегиями, которые ему должен дать специалист по теории игр. В свою очередь специалист по теории игр предполагает, что субъективные вероятности игроков должны базироваться на изучении поведения других игроков, и призывает статистика обеспечить его этими вероятностями. Затем оба соглашаются, что понятие равновесия должно объяснить эти два типа совместимости. Следовательно, они определяют совершенное Байесово равновесие как набор стратегий а, которые удовлетворяют
аео*(^В*у(о)), (11.1)
и связывают с этими стратегиями систему утверждений, поддерживающих состояние равновесия, удовлетворяя
ц € л»)). (11.2)
Итак, оптимальные стратегии (и связанные с ними утверждения) удовлетворяют условию постоянной точки:
(Р) стратегии — это оптимальные данные утверждения.
(В) утверждения получаются из стратегий и наблюдаемых действий с помощью правила Байеса.
Понятие совершенного Байесова равновесия было введено в формальную литературу по теории игр Селтеном [62] как «совершенное равновесие» и Крепсом и Уилсоном [39] как «последовательное (sequential) равновесие».22 Хотя Сел- тен первый определил это понятие, Крепсу и Уилсону должно быть зачтено то, что они больше значения придали утверждениям,23 делая концепцию более применимой и подготавливая почву для усовершенствования, основанного на
Ш
21 Однако мы, следуя [39], можем потребовать, чтобы согласовывалось с • К примеру, если ^2=1 /2, а игрок 2 играет L2 с вероятностью 2/3, то /л3 = 1 /3 (см.
ниже),22Крепс и Уилсон показали, что совершенные и последовательные состояния равновесия совпадают почти для всех игр.
23Селтен определил свою концепцию совершенного равновесия «дрожащей руки» на нормальной форме. Убеждения, что их легко подсчитать, скорее подразумеваемы, чем очевидны.
ограничениях на утверждения для событий с нулевой вероятностью (пример см. в разделе 11.6).
Замечание. Мы очень неформально определили значение Байесовой корректировки. По крайней мере информационные множества, достигнутые с положительной вероятностью на траектории равновесия, должны быть установленными утверждениями, согласующимися с правилом Байеса. Это приводит к очень слабому определению СБР, которое совпадает с последовательным равновесием только в некоторых играх (например, игра сигнализации из раздела 11.6). Чтобы создать наиболее сильное и разумное СБР, в более сложных играх должны быть добавлены дополнительные ограничения на согласованность утверждений вне траектории равновесия. Требование согласованности Крепса и Уилсона (см. раздел 11.6.1) — одно из таких ограничений.
Как мы вычисляем совершенное Байесово равновесие игры? Характеристика СБР как постоянной точки соответствия подсказывает способ вычисления. Однако вычисление фиксированной точки крайне утомительно. Довольно часто
интуиция позволяет нам решить проблему сразу, если хорошо понять определение. Общего метода не существует, однако есть несколько приемов, используемых при решении этих игр. Игра, изображенная на рис. 11.5, в действительности тривиальна. У игрока 3 есть доминирующая стратегия, содержащая ход ?3; следовательно, независимо от /х3 аз = Ь$. Поэтому мы можем обратить эту игру в двухпериодную игру с двумя игроками, представленную на рис. 11.6 (так как игрок 3 не участвует в этой игре, мы опускаем оценки его целевой функции).
Мы видим, что у игрока 2 есть доминирующая стратегия — 1,2 • Следовательно, оптимальное действие игрока 1 — это М\. Соответственно единственное СБР представлено а = (М\,Ь2,Ьз), и оно связало с этим набор утверждений (М2 = 1» Мз € [0,1]).
Эта игра в самом деле тривиальна. Благодаря существованию доминирующих стратегий теоретик находит траекторию равновесия без помощи статистика.
Теперь мы решим четыре простые, но не тривиальные игры, которые важны для организации промышленности. В этих играх (в противоположность предыдущей игре) нет взаимодействия между обратной индукцией и готовым Байесовым выводом. Две первые — это игры с неполной информацией, в которых неинформированная партия может выявить информацию, выбирая между двумя вариантами действий. В третьей игре личная информация игрока может быть выяснена с помощью сложного (двухмерного) действия. В этой игре простое экономическое объяснение показывает, каким должен быть экономный путь. Четвертая игра дает пример игры с несовершенной информацией. 11.5.1.