СТАТИЧЕСКИЕ ИГРЫ С НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ

Мы предполагаем, что г-й игрок делает некоторый ход а» в (как и раньше, А,- можно расширить, чтобы включить смешанные стратегии) и получает ех post выплату

П , ап, ?1,..., ?п).

Решение г-го игрока, естественно, зависит от его информации Пусть а«(^) будет обозначать это действие. Согласно Харшаньи, Байесово равновесие — естественное обобщение равновесия Нэша для игр с неполной информацией. Это предполагает, что каждый г-й игрок правильно предвидит ходы, которые выберет игрок 3 ф г. Так как такие действия зависят от типов, он правильно вычисляет функции {а^(?7)}^у,-.

Определение. Байесово равновесие — это набор стратегий, зависимых от типа таких, что каждый игрок максимизирует ожидаемую полез

ность своего типа, предполагая стратегии, зависимые от типа других игроков, заданными: а, = а*(?,) максимизирует

^ (Д1 (^1)? • • ?» • • ч ^1» • • ч • • ч ^п)*

Другими словами, г-й игрок предвидит, что j-й игрок сыграет а*(^), если его тип — tj \ однако, не зная 1], первый должен вычислить свой выигрыш в ожиданиях. Можно также подумать, что г-й игрок имеет несколько воплощений: как г-й игрок типа и другой г-й игрок типа Какое воплощение играет против других игроков, выясняют с помощью предварительного распределения.

Пример 1. Начнем с простого примера. В игре одновременного хода с двумя игроками (табл. 11.5) игрок 1 имеет только один тип (игрок 2 обладает полной информацией об игроке 1). У игрока 2 есть два возможных типа: <2 и 1'2.

Таблица 11.5 В то время как игрок 2 знает Игра 4 свой тип, игрок 1 придает

равные вероятности обоим типам. У каждого игрока есть два возможных хода (вверх или вниз для игрока 1, вправо или влево для игрока 2). Каждая клетка представляет выигрыши игроков 1 и 2. К примеру, в левой верхней клетке ВИДНО, ЧТО, если игрок 1 играет {/, а игрок 2 имеет ТИП <2 и играет X, они получают 3 и 1 соответственно. Заметьте, что выигрыш игрока 1

зависит только от выбранного хода, а не от того, кем является игрок 2. Решение для Байесова равновесия здесь очень простое. Каждый тип игрока 2 имеет доминирующую стратегию. Независимо от того, что делает игрок 1, выбирает Ь, а <2 выбирает R (т. е. = Ь и = #)• Теперь все обстоит так, как если бы игрок 1 столкнулся с оппонентом, который играет Ь и Я с равной вероятностью, поскольку *2 и одинаково возможны. Таким образом, играя Л (соответственно О), игрок 1 получает 1/2 (3 + 2) (соответственно 1/2 (0 + 4)). Следовательно, а* = и.

Пример 2. Рассмотрим дуополию с конкуренцией (количественной) по Курно. Пусть прибыль г-й фирмы будет квадратичной: П* = qi(ti — qi — qj)f где Ц — разность между свободным членом линейной кривой спроса и постоянными удельными затратами (г = 1,2) г-й фирмы, а — количество, выбранное г-й фирмой (а; = о своих удельных затратах. Фирма 1 знает только, что г2 =3/4 или ?2 =5/4 с равными вероятностями. Таким образом, у фирмы 2 есть два потенциальных типа, которые мы будем называть «тип низких затрат» = 5/4) и «тип высоких затрат» (?г = 3/4).

q2{t2) € argmax[g2(*2 - Ч2 - 4i)] ==>? ^(*2) =

9 2

где arg max обозначает набор оценок, максимизирующих целевую функцию. Теперь рассмотрим фирму 1, которая не знает, с каким типом ей предстоит столкнуться:

-9i(l - Qi ~ q2H) + ^9i(l ~ Qi ~ «2)] =Mi = ~

где E(-) обозначает ожидание по типам фирмы 2. Однако

1 ы I„L _ ?*2 ~ qi _ 1 ~ gi 2

“ 2

Получаем, следовательно, = 1/3, <72 = 11/24,92* = 5/24} как (возможно, единственное) Байесово равновесие. Этот простой пример показывает, как можно вычислить Байесово равновесие, вычислив равновесие Нэша для игры с тремя участниками.665

Пример 3. Допустим, что два игрока одновременно претендуют на неделимый объект (а; = 6;). Игрок, предложивший самую высокую цену, получает объект и платит. (Следовательно, если b{ > bj, г получает объект и платит Ь{ продавцу. Если b{ = bj, объект продан за общую цену наугад — спецификация аукциона в данном случае не имеет значения, так как назначение одинаковой цены будет иметь вероятность, равную 0). Тип игрока <г — это оценка им объекта; таким образом, г-й игрок получает t, — 6j, если он выигрывает, и 0, если проигрывает. Типы t; получены независимо из обычного распределения на [О, 1]. Теперь посмотрим на Байесово равновесие, в котором цена, предложенная игроком, — это строго возрастающая и дифференцируемая функция его оценки товара. И так как игра симметрична, получим стратегии симметричного равновесия: 6 = b*(t). Выигрыш г-го игрока, если он типа t и предлагает цену 6, следующий:

П* = (? - 6)Prob{6j < 6}, где Prob обозначает «вероятность». Так как стратегии строго возрастающие,

Prob{6j < Ь} = Prob{6j < 6}.

Но, согласно стратегии j-го игрока,

Prob{6j < 6} = Prob{&*(?j) < 6} = Prob{?j < b* X(6) = Ф(&)} = Ф(6),

где Ф(Ь) — обратная функция b* (вербально Ф(Ь) — это оценка j-го игрока, когда он предлагает цену b) и используется равномерное распределение типов (если в распределяется равномерно на [0, 1] и к 6 [0,1], тогда Prob{0 < к} = к).

П* = (t — ЬЩЬ), что дает условие первого порядка

-Ф(Ь) + (*-Ь)Ф'(Ь) = 0.

Теперь для того, чтобы &*(•) также было оптимальной стратегией г-го игрока, последний должен быть типа t = Ф(&) при предложении цены Ь. Следовательно,

Ф(&) = [Ф(&) - 6]Ф;(6).

Это дифференциальное уравнение имеет очевидное решение Ф(&) = 2Ь. Поэтому при *Байесовом равновесии каждый игрок назначает цену, равную половине своей оценки: b*(t) = tj2.666

Аналогичные приемы используются при решении игр борьбы на истощение, см. раздел 9.9.

Упражнение 11.10**. Рассмотрим аукцион с п участниками. Оценка каждого участника появляется независимо от совокупного распределения F(t) = t. Покажите, что в состоянии равновесия функция предлагаемой цены линейна по оценке покупателя. Что происходит, если п стремится к бесконечности?

Упражнение 11.11**. Предположим, что оценка ценности объекта покупателем влияет на оценку этого предмета другими покупателями. Крайним случаем такой ситуации является аукцион с одинаковой общей ценностью, на котором ex post оценка объекта (например, аренда нефтепромысла) одинакова для всех выступающих на торгах покупателей, а каждый из них имеет личную и несовершенную оценку общей ценности. Победа поэтому приносит плохие известия выигравшему, который узнает, что другие участники аукциона дали низкую оценку товару. Рациональный покупатель должен предвидеть неудачу победившего. Рассмотрите аукцион первого предложения, на котором общая ценность товара в — хi -f хг* Параметры х\ и х-i выведены независимо из равномерного распределения на [0, 1]. Имеются два покупателя, г = 1,2. г-й покупатель знает Xi, но не Xj. 1.

Докажите неформально, что выигрыш г-го покупателя, если он выиграет, обязательно меньше, чем +1/2 — Ь{ (где 6j — выигрышное предложение цены). 2.

Найдите симметричное состояние равновесия. Пусть х = Ф(&) обозначает обратную функцию предложения цены. Докажите, что при данном ж,- 6j(= Ф“1(х^)) максимизирует

{ач + E[xj\xj < Ф(Ь*)] - 6»}Ф(6*). 3.

Вычислите равновесную функцию предложения цены (указание: она линейна).

Пример 4. Игры с полной информацией с одновременным ходом часто допускают равновесия смешанных стратегий. Некоторые исследователи отвергают эту идею, утверждая, что «люди, принимающие решения, в действительности не подбрасывают монеты». Однако, как показал Харшаньи [34], часто можно отстоять равновесия смешанных стратегий игр с полной информацией как пределы равновесий чистых стратегий в немного возмущенных играх с неполной информацией. В самом деле, мы уже заметили, что в игре Байеса, когда подсчитаны возможные стратегии игроков разных типов, каждый игрок ведет себя так, будто бы он сталкивается со смешанными стратегиями своих противников. (Природа порождает неопределенность, выбирая скорее типы, чем стороны монеты). Чтобы показать механизм этой конструкции, давайте рассмотрим однопериодную версию игры «Присвой доллар», представленную в табл. 11.6.

У каждого игрока есть два возможных варианта действий: инвестирование или никакого инвестирования. В каждой версии игры с полной информацией фирма получает 1 (т. е. выигрывает), если лишь она инвестирует; теряет 1» если обе фирмы инвестируют, и даже разоряется, если не инвестирует (мы можем рассматривать эту игру как крайне грубое представление рынка естественной монополии). Лишь симметричное равновесие включает смешанные стратегии: каждая фирма инвестирует с вероятностью 1/2. Ясно, что это — состояние равновесия: каждая фирма зарабатывает 0, если она не инвестирует, и зарабатывает 1/2(1) + 1 /2( — 1) = 0, если инвестирует. Теперь рассмотрим такую же игру со следующей неполной информацией: структура выигрыша каждой фирмы одинакова, исключая тот случай, когда она выигрывает, — тогда она получает 1 -М, где ? равномерно распределено на [—?, 4-е]. Каждая фирма знает только свой тип t, но не тип другой фирмы. Теперь хорошо видно, что симметричные чистые стратегии «а(? < 0) = не инвестировать, а(? > 0) = инвестировать» образуют Байесово равновесие. С точки зрения каждой фирмы другая фирма инвестирует с вероятностью 1/2. Следовательно, фирме следует инвестировать, если и только если 1/2(1 4* 0 + 1/2( —1) > 0, т. е. ? > 0. Так как для данного типа у игрока есть единственный лучший ход, нет проблем с его сопротивлением установке чередовать с данной вероятностью (1/2). Когда е сходится к нулю, Байесово равновесие чистых стратегий сходится к равновесию смешанных стратегий Нэша для игр полной информации.

Так как игры с полной информацией являются идеализацией (на практике каждый обладает хотя бы небольшим количеством неполной информации о целях других игроков), утверждение Харшаньи показывает, что сложно привести сильные аргументы против равновесия смешанных стратегий на том основании, что для этого необходим механизм случайного выбора.667 11.5.