Х. ЦЕНОВАЯ ИГРА

Анализ будет следующим. Сначала мы рассмотрим существование равновесия чистых стратегий (т. е. фирмы не выбирают цены случайно). Мы покажем, что подобное равновесие имеет место только тогда, когда мощности «не слишком высоки» (т. е. принадлежат области, расположенной чуть выше начала координат в пространстве мощностей). Равновесие в этой области состоит в том, что обе фирмы назначают цену, при которой спрос равен совокупным мощностям. Таким образом, обе фирмы сбрасывают свои объемы выпуска на рынке способом, аналогичным поведению Курно (единственное отличие состоит в том, что фирмы, а не аукционист, назначают рыночную цену). Следующей ступенью анализа является характеристика равновесия (обязательно при смешанных стратегиях) «высоких» мощностей. Это достаточно сложно, но лемма показывает, что прибыль фирмы с самыми высокими мощностями равна прибыли последователя (follower) Штакельберга (т. е. прибыли, получаемой этой фирмой, когда она оптимально реагирует на выпуск другой фирмы, который, как предполагается, равен мощностям последней). Анализ предварительного выбора мощностей в таком случае оказывается простым. Легко заметить, что мощности или количества Курно приводят к ценовому равновесию в области чистых стратегий и что если фирма определяет для себя мощности Курно, то и для другой фирмы лучший выбор — мощности Курно.

Лемма 1. В равновесии чистых стратегий р\ = р2 = Р(Я\ + 92)* Фирмы продают в соответствии со своими мощностями.

Доказательство.

Следующая простая лемма связана с конкуренцией Курно. Пусть Я;(д^) — оптимальная реакция фирмы г на выпуск в одновременной однопериодной количественной игре при отсутствии затрат накопления мощностей: Я,-(<^-) максимизирует Яг^(Яг + Так как кривая спроса вогнута, Я* однозначная и убывающая (см. раздел 5.4).

Лемма 2. В равновесии чистых стратегий фирма г никогда не назначит цену ниже Р(я^ 4- Я,-^)) в ценовой игре с ограничением мощности.

Это значит, что нет смысла назначать (низкую) цену, которая побудит фирму производить больше, чем при оптимальной реакции на мощности другой фирмы (если она может это сделать).

Доказательство. Пусть р{ — цена, назначаемая фирмой г. Если фирма 3 назначает цену pj > р,, то фирма г назначает свою монопольную цену и фирма j не получит прибыли (тогда как она могла бы получить прибыль, назначив цену П ~ О- При

Рг = Р1 < Р(я^ +

фирма г может несколько увеличить свою цену и получить прибыль

(Р* + ?)Ч{ > РгЯ{,

если ее мощности ограничены. Если мощности фирмы i не ограничены, то у фирмы $ они должны быть ограничены; по крайней мере одна фирма должна быть ограничена, так как в противном случае они снизили бы цены.

Рг(ЩРг) - Ч}) = 9*^(9» + 9/) < + Ц3),

где неравенство следует из определения функции реагирования. Если фирма 3 назначает цену р^ < р,, прибыль фирмы г будет

Р*(^(Рг) - Я>)

(или р(я^ если <7; < Б(р{) - д^; но, как отмечено выше, для фирмы со строго ограниченными мощностями выгоднее несколько увеличить свою цену, поэтому наг* не следует рассматривать этот случай). Так как мощности фирмы г не ограничены, мы можем переписать ее прибыль как

9*Р(91 + )•

Но это есть прибыль Курно для выпуска д •, итак

согласно определению функции реагирования. Следовательно, р{ = Р(Ч} + Лемма доказана.

Леммы 1 и 2 подразумевают, что равновесие чистых стратегий имеет место, только если для всех г

Ь < #*(?;)•

Чтобы увидеть это, положим <7; > Д,(д7), но допустим, что равновесие чистых стратегий существует. Согласно лемме 1,

Р» = Р(Ч 1 + Чг)'

Тогда

Рг < Р(Ъ +

что противоречит лемме 2; следовательно, от противного, равновесие чистых стратегий не может существовать. Выше любой кривой реагирования может быть только равновесие «смешанных стратегий» (рис. 5.12). И наоборот, если мощности находятся ниже обеих кривых реагирования, р = р\ = Р2 = Р{4\ +^2) есть равновесие. Снижение цены бессмысленно, так как фирмы не могут продать больше. Повышение цены подразумевает, что продаваемое количество ниже оптимальной реакции:

щ Р(МР) - 9>) = ЧгР{Чх + Чз)

и

Чi < Ч{ <

В частности, если мощности есть мощности Курно (Последняя особенность неприложима к пропорциональному рационированию. Предположим, ЧТО МОЩНОСТИ есть МОЩНОСТИ Курно ((?*, ^2 ) и что обе фирмы назначают цену р* ~ Р(д* + Прибыль фирмы 1 при р > р* есть

р Н (^)1 = ^(р)! (* + *)'

Отсюда для фирмы 1 выгоднее всего назначить монопольную цену (максимизирующую рЪ(р)), которая, как следует из раздела 5.4, превышает цену Курно р*.

За пределами области чистых стратегий можно наблюдать равновесие смешанных стратегий. (Выводы относительно равновесий смешанных стратегий при прерывных функциях выигрыша см. в [14, 15]). Мы не будем воспроизводить конструкцию равновесия Крепса и Шейнкмана, мы просто охарактеризуем равновесное поведение с тем, чтобы показать, что инвестиции в мощности выше области чистых стратегий на первом этапе не в интересах фирмы.

Смешанные стратегии для фирмы г представляет кумулятивное распределение цен в некотором интервале [р,,р^.30 Чтобы эта стратегия была оптимальной для фирмы г, она должна представлять собой случай, когда фирма г выбирает только ту цену, которая максимизирует ожидаемую прибыль фирмы (т. е. все выбираемые цены приносят один и тот же — оптимальный — выигрыш). Описание смешанных стратегий см. в главе 11.

Лемма 3. В области смешанных стратегий (qi > по крайней мере для

некоторой фирмы г) фирма, имеющая самые высокие мощности (скажем, г), получает прибыль, равную прибыли последователя Штакельберга:

П' = Пг(5у) = Я, %)Р% + Я, (?,)).

Доказательство леммы 3 (схема которого представлена ниже) слишком длинно и запутанно; его следует пропустить при первом прочтении.

Доказательство (схема). Пусть р. и р1 обозначают верхний и нижний пределы поддержки оптимальной стратегии фирмы i. Во-первых, покажем, что р^ = р2 = р и при цене р каждая фирма продает в соответствии с мощностями или ее оппонент назначает цену р с вероятностью 0. Если pi < р., нам ясно из предыдущих аргументов, что р. должно быть монопольной ценой фирмы г. Так как монопольная прибыль самая большая, которую может получить фирма г, она назначает цену р. с вероятностью 1, а фирма 3 никогда не получит прибыли;

30Отметим, что Рх возрастает. Технически требуется, чтобы /*’*(•) была непрерывна справа, т. е. для всех р,

Ж?») = 11т Я(р).

р—р?

Элемент р,- определяется

Г,(р;) > иш_^(р). р—р,

Равновесные распределения фактически имеют плотности при возможном положении элемента на верхней границе поддержки. однако фирма ] могла бы получить строго положительную прибыль, снизив цену дор. -?, что противоречит утверждению о том, что р. — самая низкая граница поддержки оптимальной стратегии для фирмы j. Во-вторых, если фирма назначает цену р с положительной вероятностью, для фирмы г будет выгоднее назначить цену р — ?, если при цене р она не может продавать в соответствии со своими мощностями. Таким образом, назначая цену р, каждая фирма i может продать с вероятностью 1. Так как р — оптимальная цена,31 прибыль

фирмы г будет Отметим, что р > Р(Ч\ +Я2)-

Теперь рассмотрим самые высокие цены: рх и р2. Предположим, что р{ > р^ или что р± = р? и что фирма 1 назначает цену pj с вероятностью О. Прибыль фирмы г есть _ _ _ _

Л(Я(Р.) “ Чз) = Чip{Чi + 7,), где $ — количество, продаваемое по цене р±. Отсюда д, = /2г(П (5,-) = Ъ(ъ)Р(Ъ + Я,(?,-)).

(Верхний индекс Г означает, что фирма г — последователь Штакельберга, т. е. то, что она реагирует на выбор фирмой j См. главу 8). Но при равновесии смешанных стратегий все оптимальные стратегии должны приносить фирме одинаковую прибыль, в частности

П = РЯг- (5-16)

С другой стороны, предположим, что <7; > Тогда, назначая Р( Rj(qi), и так как что33

Р(Ш + д;(9г)) > Р(Ч] + ^(9>))- Таким образом, мы имеем

?57>ПГ(5,). (5.17)

Исключая р, получаем Посредством простых алгебраиче

ских преобразований34 мы получаем тогда, что д, > — противоречие.

31 По условию непрерывности, если р — инфимум (инфимум — наименьшее значение. — Прим. ред.) скорее, чем минимум.

32Если <7, > Ri(qj), фирма г могла бы повысить свою цену до

Р(5,- + Д,^))

и получить большую прибыль. Если <7, < д,- = <7, и р± = Р(я\ + <72) = Р» 70

равновесие чистых стратегий — противоречие.

33Следующее неравенство имеет место благодаря тому факту, что кривые реагирования идентичны и имеют наклон < 1, что может быть легко продемонстрировано путем дифференцирования условий первого порядка для равновесия Курно.

34Предположим, qi < д-; это подразумевает, что д - > Rj(qi), и рассмотрим

д = пр0г, )?; - = Г’ ^-{ЧЩ)Р(Ч + я(?))]<*? =

Ля

ь {Н(я)Р(я + Д(,)) + дЯ(я)Р'(я + Щч))]Ля, Или каждая фирма играет изолированно при р = р{ — Ру Однако при равновесии смешанных стратегий р > р\ и из нашего предыдущего анализа р > Р(ц{ + Яз)' Таким образом, при цене р каждая фирма не может продавать в соответствии со своими мощностями со строго положительной вероятностью. Следовательно, каждой фирме было бы выгоднее назначить цену более низкую, чем р, а не р.

Таким образом, мы можем заключить, что фирма с самыми высокими мощностями — скажем г(<^ > — получит прибыль ПГ(^).

Чтобы построить равновесие при смешанных стратегиях, обратим внимание на возрастающую вероятность распределения для каждой фирмы в (совпадающем) интервале [р,р], такого, что каждая фирма безразлична к ценам в этом интервале. (См. 135]). Нам не понадобится этого делать. Принимая во внимание предыдущую характеристику, нам следует только знать, что равновесие существует и не нужно обращать внимания на его конкретную форму.