5.7.2.2. ВЫБОР МОЩНОСТЕЙ

Рассмотрим теперь предварительный и одновременный выбор мощностей; пусть со > 0 обозначает предельные затраты ввода мощностей. Покажем, что исход Курно

когда я** максимизирует

есть равновесие (здесь с = 0).

На рис.

где R обозначает функцию реагирования и используется теорема об огибающей (Я(д) — максимизирующая прибыль фирмы, которая реагирует на q). Используя условие первого порядка для равновесия Курно, мы получаем

ч,

Если д, > Д(д,-), тогда для всех д > мы имеем R(g) < #( R~l(gi).

Ж?) <4i < R l(4i) < Я-

-RP'{R - g)dg < R 1 (д{)д{Р(д{ + R 1(gi)) - Д(д,)д,Р(^ + Я(д,-)) < 0;

поскольку R(gj) является наилучшей реакцией на д{, тогда R 1 (

первым и вторым периодом. В частности, й(д**) > д**, где й обозначает функцию реагирования второго периода.

Предположим, что фирма г выбирает д**. Фирма j, если она выбирает д < <

Я(д**), получает

я1Р(Ч+ «**) - со] < д**[Р(2?**) - ос],

где Д все еще обозначает функцию реагирования второго периода. Если д > >

#(Пг(,**) = Я(?**){Р[Д(«**) + ?**] - со}.

Но, по определению, <7**, д**(< #(<7**)) — самое удачное реагирование в первом периоде на д**. Поэтому

пг(«**) <«"№")-со].

Мы можем заключить, что равновесие Курно при затратах со является равновесием первого периода в игре с мощностями.

Чтобы доказать единственность выбора мощностей, потребуются несколько большие усилия (см. [35]).

5.7.2.З. ОБСУЖДЕНИЕ ПРАВИЛА РАЦИОНИРОВАНИЯ

Дэвидсон и Денекер [17] доказывают, что практически для любого правила рационирования, за исключением эффективного, исход Курно не может возникнуть как равновесие двухпериодной игры. Их рассуждения схематически изложены ниже: если мы обозначим с и со производственные затраты и затраты ввода мощностей, то условием первого порядка для максимизации прибыли фирмы 2 в игре Курно является при = <72 = Я**- Пусть р** = Р(2д**) обозначает цену Курно и пусть П(р2[р\) обозначает остаточный спрос фирмы 2, когда она назначает цену р2 > р\. Заметим, что И(р**\р**) = <7**, если обе фирмы аккумулировали мощности Курно в первом периоде (необходимое условие для исхода Курно). Предположим, что И(р2\р\) дифференцируемо по р2 справа от рх, и допустим, что обе фирмы аккумулировали мощности Курно и назначили цену Курно р**; увеличение прибыли фирмы 2 связано с незначительным увеличением цены выше р** пропорционально

А = 0(р**\р**) + (р** - с)П'(р**\р**).

(Вспомним, что инвестиционные затраты являются поглощенными во втором периоде).

Следуя Дэвидсону и Денекеру, предположим далее, что для р2» превышающего р**,

Х>(Р2|Р**) > 0(Р1) - ?**;

значит, остаточный спрос превышает спрос, получаемый согласно правилу эффективного рационирования. Суть состоит в том, что если рационирование мгновенно и ничего не стоит, то <7** потребителей обслуживаются фирмой 1, а остальные переходят к фирме 2. Самое плохое, что может случиться с фирмой 2, это то, что фирма будет обслуживать <7** потребителей с самыми высокими оценками. Это именно то, что происходит при эффективном рационировании. Таким образом, эффективное рационирование дает самую низкую кривую остаточного спроса.374 Сделаем чуть более сильное предположение, что

й'(р**Ю > ?>'(Р**) =

где левая часть относится к кривой остаточного спроса, а правая — к кривой обычного спроса.

Л> с°

Р'№**)

Теперь предположим, что со = 0. Тогда А > 0. Таким образом, у фирмы 2, скажем, есть стимул поднять цену выше цены, очищающей рынок при мощностях, соответствующих исходу Курно. Исход Курно не может быть равновесием двухпериодной игры. В общем случае это выполняется, если со мало и кривая остаточного спроса лежит достаточно выше кривой, полученной для эффективного правила рационирования. 5.7.2.4.

ОБСУЖДЕНИЕ ВЫБОРА ВРЕМЕНИ

Модель ценовой конкуренции, происходящей после конкуренции мощностей, отражает ту мысль, что цены приспосабливаются быстрее, чем мощности. Таким образом, при выборе цен может иметь смысл рассматривать мощности как заданные. Однако важным предположением предыдущего анализа является то, что конкурентам известны мощности фирмы до ценового периода. Тогда они действуют как индикатор цены, которую фирма собирается назначить. Если мощности несовершенно наблюдаемы конкурентами, это свойство исчезает и формально все происходит так, как будто мощности и цены выбираются одновременно (хотя это не обязательно должно быть так).

Гертнер [26] анализирует игры с одновременным выбором количества и цены. Каждая фирма г выбирает количество и цену рг без предварительного исследования выборов, сделанных конкурентами. Хотя он допускает убывающую и возрастающую отдачу от масштаба, мы сосредоточимся на более простом случае постоянной отдачи, в котором для фирмы г производство дг продукта стоит с<^. И для простоты предположим, что имеются только две фирмы.

Очевидно, что равновесие чистых стратегий не существует. Рассуждения проводятся в духе Бертрана—Эджуорта. Если бы существовало равновесие чистых стратегий, две фирмы были бы вынуждены продавать товар по одной и той же цене. В противном случае фирма, цена у которой ниже (скажем, фирма г), получила бы весь рынок; зная, что другая фирма назначала более высокую цену, она бы уверенно смогла удовлетворить весь спрос по более низкой цене.

Гертнер показал, что существует (единственное) равновесие смешанных стратегий. Оно подобно равновесию Бертрана, в котором фирмы получают нулевую ожидаемую прибыль.375 Это напоминает равновесие Курно в том, что ожидаемая цена превышает конкурентную цену с. (Этот второй результат вытекает из того факта, что фирмы никогда не назначают цену ниже с и (с, с) не является равновесием). Качественное отличие от случая, когда количества (мощности) наблюдаемы, состоит в том, что фирма не может принять на себя обязательство не «наводнять рынок», выбрав ограниченные мощности. Это повышает конкурентное давление и снижает прибыль, как в равновесии Бертрана. Фирма, которая в конце концов назначает самую низкую цену, снабжает весь рынок 1 и получает положительную прибыль, а фирма с более высокой ценой получает отрицательную прибыль (производит и не продает). Следующее упражнение демонстрирует логику этого доказательства.

Упражнение 5.9**. Рассмотрим одновременную количественно-ценовую игру двух фирм. Пусть р обозначает верхнюю границу (эиргешит) цен, при которых имеется спрос: 0(р) = 0. Найдите равновесие смешанных стратегий. 1.

Покажите, что обе фирмы получают нулевую прибыль. (Указание: рассмотрите самую низкую и самую высокую цену, которую назначает каждая фирма). 2.

Предположим, что каждая фирма г играет в соответствии с некоторым непрерывным распределением Р*(р) на [р^рг] (что может быть продемонстрировано). Покажите, что каждая фирма производит 0(р), когда она назначает цену р, если другая фирма также производит и удовлетворяет спрос по цене, которую она назначает. 3.

Покажите, что Р(р) = 1 — с/р для р < р и Р(р) = 1 — это симметричное распределение равновесной цены. Зависят ли эти результаты от правила рационирования?

И последовательные, и одновременные количественно-ценовые игры ведут к равновесию смешанных стратегий. Это свойство несколько неудовлетворительно, если действительно считать, что цены могут изменяться гораздо быстрее, чем мощности. При смешанных стратегиях одна фирма обычно в конце концов назначает цену более высокую, чем ее конкурент, и имеет небольшой остаточный спрос или вовсе не имеет его. Очевидно, что эта фирма будет пытаться реагировать на такую ситуацию и снизит цену, чтобы увеличить свою рыночную долю. Таким образом, смешанные стратегии требуют динамики цен. Действительно, когда Эджуорт ввел ограничения на мощности, чтобы избежать парадокса Бертрана, он предположил возможность ценовых циклов, а не использования смешанных стратегий. Другим свойством, заслуживающим внимания, когда определение мощности принимает форму производства до продажи и когда игра, в которой принимаются решения о мощностях и ценах, повторяется, является возможность изменять производственные запасы. 5.7.2.5.