9.2 Общее равновесие с налогами на потребление

Пусть tjk - ставка налога на потребление блага k потребителем i. Мы рассмотрим здесь общий случай, когда ставки налога могут быть разными для разных потребителей. Также здесь не исключается случай, что tjk могут быть отрицательными (случай трансфертов).

Задача i -го потребителя с учетом налогов на потребление модифицируется следующим образом:

Uj(Xj) ^ max

Xi

53 (Рк + tjk)Xjk ^ ^j, (9.1)

кек

Xj G Xj.

Поскольку в этой главе нас, прежде всего, интересует влияние налогов на экономическую деятельность, а не то, каким образом налоги используются, то мы будем предполагать, что собранная сумма налогов перераспределяется между потребителями посредством трансфер-

3

тов .

Таким образом, мы будем предполагать следующую структуру дохода потребителя:

^j = pWj + 53 Yj j pyj + Sj, jeJ

а для экономики в целом будем требовать сбалансированность соответствующих платежей (налогов и трансфертов):

53 53 ^ j к Xj к j.

jei кек jei

Заметим, что мы ввели в задачу потребителя налоги с единицы товара4, ставка которых назначается в денежных единицах.

Uj(Xj) ^ max Xi

? Pk(1 + тк)Xjk ^ ^j, кек

Xj G Xj.

Очевидно, что эти два вида налогов фактически эквивалентны, если их ставки связаны соотношением ^к = Рк^к в том смысле, что для любой системы адвалорных налогов можно

подобрать налоги с единицы, приводящие к тем же результатам, и наоборот. В дальнейшем речь пойдет о налоге с единицы, но все сказанное с соответствующими оговорками относится и к налогам со стоимости (адвалорным) .

Обозначим всю систему ставок налогов на потребление, существующих в экономике, через t = (tjfc}, и рассмотрим общее равновесие с такими налогами.

Определение 66:

Назовем (p, X, y) равновесием с налогами на потребление t и трансфертами S, если

Xj - решение задачи потребителя (9.1) при ценах p, доходах

вг = p^i + Е Yj pyj + Si,

jeJ

и налогах на потребление, соответствующих системе налогов t;

yj - решение задачи производителя при ценах p;

(X, y) - допустимое состояние, т.

- wifc) = j Vk; iei jeJ

4) сумма налогов равняется сумме трансфертов

У ] У ] ^ifcxifc ^ ] Si.

iei keK iei

Рассмотрим, как влияют налоги на равновесное состояние экономики. Нижеследующий пример показывает, что равновесие с налогами может быть неоптимальным.

Пример 41:

Рассмотрим экономику чистого обмена, в которой есть 2 потребителя и 2 блага. Функции полезности потребителей имеют вид

ui(xil, Xi2) = ln(xil) + ln(xi2), i = 1, 2.

Пусть потребление облагается адвалорными налогами по ставкам т^. Равновесие с такими налогами характеризуется следующими уравнениями:

Xl2 = Pl(1 + Tll) Х22 = Pl(1 + T2l) Xll P2(1 + Tl2) , X2l P2(1+ T22) .

С другой стороны, Парето-оптимальные состояния в рассматриваемой экономике характеризуются уравнениями

Xl2 = X22 = Wl2 + W22 Xll X2l Wll + W2l"

Из сравнения этих двух соотношений видно, что для Парето-оптимальности равновесия необходимо, чтобы ставки налогов удовлетворяли условию

1 + Tll = 1 + T2l 1 + Tl2 1 + T22 '

Поскольку Xll + X2l = wll + w2l и Xl2 + X22 = wl2 + w22, то несложно проверить, что эти условия будут также и достаточными для оптимальности.

Пусть приведенное условие не выполнено, например, потребление 1-м потребителем 1-го товара облагается по ставке 800% , а остальные налоги равны нулю, т. е. щ = 8, Т12 = Т21 = т22 = 0. При этом возможно следующее равновесие:

p1 = 1/3,p2 = 1,Х11 = 0,5, Х12 = 1,5,Х21 = 1,5, X22 = 0,5

(читатель может самостоятельно подобрать начальные запасы и трансферты, которые согласуются с этим равновесием). Очевидно, что такое равновесие не Парето-оптимально. / 1,5 1

0,5 \ \ \ \

\

\ \

\

\ 0,5 1 1,5 * 1 Рис. 9.1. Неоптимальность неуниформных налогов на потребление

На Рис. 9.1 стрелкой показано направление возможного Парето- улучшения из точки равновесия. Из рисунка видно, что бюджетные прямые двух потребителей в отличие от классического случая не совпадают (показаны штрих-пунктирными линиями). Наклоны бюджетных прямых определяются отношением цен с учетом налогов, а эти отношения у потребителей разные.

Найдем условия, при которых равновесие оказывается оптимальным.

Условия первого порядка для внутреннего решения Xi задачи (9.1) имеют вид

du' (x')

-тг-- = Vi(pk + tik), Vk, dx'k

где V' - множитель Лагранжа, соответствующий бюджетному ограничению. Получаем следующую дифференциальную характеристику (внутреннего) равновесия с налогами (для любых благ k и ko, pk0 + Uk0 = 0):

dui/dxik = Pk + tik

du'/dx ik0 pko + tiko

(отношение предельных полезностей равно отношению цен с учетом налогов).

Как показывает сравнение дифференциальных характеристик равновесия и Парето-опти- мума, равновесие с налогами на потребление обладает следующим свойством: оно Парето- оптимально тогда и только тогда, когда для всех экономических субъектов отношения цен с учетом налогов, т. е. индивидуальных цен p^ = Pk + tik, одинаковы. Назовем такие налоги неискажающими.

Другими словами, налоги будут неискажающими, когда все векторы индивидуальных цен p* пропорциональны, т. е. для любой пары потребителей i1 и i2 существует положительный множитель a, такой что

Pil = aP*2 .

В частности, неискажающую систему налогов можно получить, взяв ставки t^ для всех благ k пропорциональными ценам p^ (для каждого потребителя i). В терминах адвалорных налогов это условие означает, что ставки т^ для всех благ k одинаковы, т. е. т^ = Tis, Vk, s G K. Будем называть такую систему налогов на потребление униформной.

Так, если рассмотреть экономику с производством, где предприятия не облагаются налогами, то для предприятий дифференциальная характеристика остается такой же, как в классической модели:

dgj/dy-fc = Pfc_ dgj/dyjfcc Pfcc.

Поэтому неискажающая система налогов должна быть такой, что индивидуальные цены потребителей p* пропорциональны рыночным ценам p. Очевидно, что такая система налогов окажется униформной .

Сформулируем теперь указанное условие оптимальности в виде теоремы.

Теорема 106:

Пусть (p, X) - Парето-оптимальное равновесие с налогами на потребление t и трансфертами S , и

О функции полезности, Wi(-) дифференцируемы;

О равновесие внутреннее в том смысле, что Xi G int Xi Vi;

О в равновесии градиенты всех функций полезности не равны нулю:

Vui(Xi) = 0, Vi G L

Тогда налоги t являются неискажающими. J

Доказательство: Как и в случае классической модели, в задаче потребителя во внутреннем равновесии градиент его функции полезности пропорционален вектору его индивидуальных цен p*. С другой стороны, в Парето-оптимуме все градиенты функций полезности пропорциональны. Тем самым все p* пропорциональны, т. е. система налогов неискажающая. ?

В рассмотренной выше в Примере 41 экономике налоги не обязательно должны быть униформными по товарам, чтобы равновесие было оптимальным. Причина этого заключается в том, что в данной экономике по сути дела ни один из потребителей не сталкивается с рыночными ценами p. Поэтому неправильно было бы выражать требование неискажающих налогов в терминах этих цен.

Чтобы избежать этой неоднозначности, ставки налога можно, например, нормировать таким образом, чтобы налоги на одного из потребителей были равны нулю. Тогда условие оптимальности будет выглядеть следующим образом:

1 + Tll = 1 1 + Tl2 1,

т. е. Tll = Tl2.

Заметим, что дифференцируемость функций полезности - существенное условие теоремы, так же как и условие внутренности равновесия. В иных случаях совпадение норм предельной замены любой пары благ в Парето-оптимуме не гарантировано, а оно является основой этой теоремы.

Докажем теперь, что для Парето-оптимальности равновесия достаточно, чтобы ставки налогов на потребление были неискажающими, Суть доказательства состоит в том, что при униформных ставках налогов на потребление эти налоги по сути эквивалентны аккордным налогам, и, тем самым, аккордным трансфертам. А для экономики с трансфертами мы уже имеем доказательство оптимальности равновесия.

Теорема 107:

Пусть (p, x) - равновесие с налогами на потребление, в котором налоги t являются неискажающими, и предпочтения потребителей локально ненасыщаемы. Тогда x - Па- рето-оптимальное состояние экономики. J

Доказательство: Поскольку налоги являются неискажающими, то существует вектор p, такой что он пропорционален всем индивидуальным ценам: pi = aip (ai > 0). (Например, в качестве p можно выбрать вектор индивидуальных цен первого потребителя.) С учетом этого бюджетное ограничение i-го потребителя можно записать в виде

ai ? 'pk Xik = aip xi ^ Pi keK

или

pxi ^ ei/ai = (pai + Si)/ai.

Рассматриваемому равновесию с налогами на потребление соответствует общее равновесие в классической модели с ценами p и трансфертами Si, такими что

(pai + Si)/ai = pu>i + Si.

Ясно, что при этом новое бюджетное ограничение i-го потребителя допускает приобретение тех же потребительских наборов, что и бюджетное ограничение в исходном равновесии с налогами. Для доказательства того, что (p, x) является равновесием в классической модели, остается показать, что сумма трансфертов Si равна нулю. Действительно, мы определили Si так, что

Si = (pa;i + Si)/ai - pa;i.

В равновесии с налогами, как и в классическом равновесии без налогов, бюджетное ограничение выполнено как равенство, поэтому

Si = p*x i - pa i = aip xi - pa i.

отсюда

Si = (pa i + aip xi - pa i)/ai - p ai = p(xi - ai).

Сумма Yiei (xi - ai) равна нулю по условиям равновесия, поэтому

Е s' = 0

iei

По первой теореме благосостояния для классической модели x является Парето-оптимумом. ? 9.2.1 Задачи

^ 439. Приведите пример оптимального равновесия с искажающими налогами на потребление. (Подсказка: рассмотрите потребителя с недифференцируемой функцией полезности.) ^ 440. Для экономики Примера 41 покажите, что произвольную систему налогов можно преобразовать в эквивалентную ей систему налогов, такую что один из потребителей сталкивается с рыночными ценами.