Основные понятия. Точка, прямая, плоскость. Фигуры и тела.

Точка. Прямая. Луч. Отрезок. Некоторые простейшие понятия геометрии, такие, как точка, прямая и плоскость, не могут быть определены с помощью иных, более простых понятий; они являются отправным пунктом при изложении геометрии.

На наших чертежах точки обозначаются прописными, а прямые — строчными буквами латинского алфавита.

Кроме прямых рассматриваются также кривые линии (например, окружность). Линия (прямая или кривая) состоит из бесчисленного множества точек. Понятны выражения: «точка А лежит на линии а» — или «линия а проходит через точку А».

Прямая обладает следующими свойствами. Через две различные точки проходит единственная прямая. Как следствие, две прямые могут иметь не более одной общей точки. Две различные прямые, имеющие общую точку, пересекаются в ней. Поскольку две точки определяют прямую, проходящую через них, то прямую также можно обозначать так: прямая АВ, прямая PQ.

Точка М, лежащая на прямой а (рис. 6.4.1), разбивает ее на две части. Каждая из этих частей называется полупрямой или лучом. Точка М служит началом каждого из этих лучей. Две точки М и N разбивают прямую на три части: два луча МР и NQ и отрезок MN. Сформулируем определения понятий луча и отрезка. Лучом называется часть прямой, ограниченная одной из ее точек. Отрезком называется часть прямой, заключенная между двумя ее точками. Без доказательства принимается свойство: если на прямой даны три различные точки, то из них одна и только одна лежит между двумя другими, т.е. принадлежит отрезку, ограниченному ими.

Плоскость. Фигуры и тела. Легко представить себе поверхность как границу тела: плоская поверхность стола, сферическая поверхность мяча, цилиндрическая поверхность трубы. Но такое представление неполно. Возьмем тонкую замкнутую проволоку изогнутой формы и опустим ее в мыльную пену. Если мы ее осторожно извлечем из пены, то увидим, что просвет в проволочном «кольце» затянут тончайшей мыльной пленкой.

Правильно представлять себе поверхность именно как такую пленку (но лишенную всякой толщины).

Важнейшая и простейшая поверхность — плоскость. Напомним основные свойства плоскости. Прямая, две точки которой лежат в плоскости, вся лежит в этой плоскости (т.е. все ее точки лежат в плоскости). Следовательно, если прямая не лежит в плоскости, то она может иметь с ней не более одной общей точки (точка пересечения прямой и плоскости). Через три точки, не лежащие на одной прямой, всегда можно провести плоскость (и притом только одну). Через прямую и точку, не лежащую на этой прямой, можно провести плоскость, и притом единственную. Через две пересекающиеся прямые также можно провести плоскость, и притом единственную. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют и общую прямую, проходящую через эту точку (линия пересечения двух плоскостей), либо совпадают целиком.

Прямая т, лежащая в плоскости, разбивает ее на две части — полуплоскости (рис. 6.4.2); точки этой прямой и только они являются общими точками обеих полуплоскостей. Если А — точка одной полуплоскости, а В — другой, то отрезок АВ пересекает границу т полуплоскостей в некоторой точке С, лежащей между А и В.

Плоскости задаются тремя точками и обозначаются часто так: плоскость АВС или PQR и т.д. Иногда бывает удобнее обозначать плоскость одной буквой греческого алфавита (мы используем строчные буквы второй половины алфавита: Л,ц у,...).

Под фигурой обычно понимают некоторое сочетание определенным образом расположенных в одной плоскости (а иногда и в пространстве) элементов: точек, прямых, лучей, отрезков (иногда и плоскостей).

Под телом понимают обычно часть пространства, ограниченную какой-либо замкнутой поверхностью. Так, конус — тело, ограниченное конической поверхностью с боков и плоским круглым основанием снизу. Куб — тело, ограниченное шестью квадратными гранями, и т.д. Курс геометрии традиционно подразделяется на планиметрию и стереометрию; в планиметрии рассматриваются свойства различных фигур (треугольников, многоугольников, окружностей), лежащих в одной плоскости.

Угол. Рассмотрим в плоскости два луча ОА и 0В (рис. 6.4.3), исходящих из одной точки О. Эти два луча разбивают плоскость на две области — одна из них заштрихована на рис. 6.4.3, другая оставлена светлой. Каждая из них называется углом со сторонами ОА и 0В и вершиной О; таким образом, углом называется часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом.

Не исключено, что оба луча лежат на одной прямой, продолжая друг друга (рис. 6.4.4) или сливаясь (рис. 6.4.5). В первом случае каждый из углов, образуемых ими, совпадает с полуплоскостью и получает название развернутого угла. Во втором случае один из углов исчезает (сводится к лучу) и называется в силу этого нулевым углом, второй же имеет название полного угла — он занимает всю плоскость.

Из двух углов на рис. 6.4.3 один (заштрихованный) содержится в развернутом угле;

образованном одной из сторон (например, ОА) и ее продолжением ОА '.

В дальнейшем, если не оговорено противное, под углом между лучами ОА и 0В, обозначенным ZA 0В или, короче, ZO, понимают тот из углов, который содержится в развернутом угле, например, заштрихованный угол на рис. 6.4.3. Любой отрезок PQ, соединяющий точки на сторонах угла, целиком принадлежит этому углу.

Луч, исходящий из точки Мна границе полуплоскости (рис. 6.4.6) и лежащий в этой полуплоскости, разбивает ее на два угла: zPMN и ZQMN. Такие два угла называются смежными. Они имеют общую сторону MN, другие же их стороны продолжают друг друга.

Под углом А 0В между двумя отрезками ОА и 0В с общим началом О понимается угол, образованный лучами ОА и 0В с одной и той же вершиной, содержащими данные отрезки (рис. 6.4.7). Мы обозначаем углы указанием их сторон: ZAOB, ZLMN и т.д., или, если исключены недоразумения, одной буквой — наименованием вершины угла: ZO, ZM% т.д., или специальной буквой (греческой строчной из первой половины алфавита): а,]3,у,... или, наконец, курсивной цифрой: 1,2,...

Рассмотрим две пересекающиеся прямые АВ и CD (рис.

.

Ломаная линия. Многоугольник. Рассмотрим несколько отрезков, например, АВ, ВС, CD, DE, EF, расположенных так, что начало каждого последующего отрезка помещается в . конце предыдущего (рис. б.4.9а); фигура, образованная такими отрезками, называется ломаной линией, отрезки же — ее звеньями или. сторонами. Обычно подразумевается, что два соседних отрезка не лежат на одной прямой. Если начало первого отрезка совпадает с кощом последнего, то ломаная называется замкнутой (рис. 6.4.96). Замкнутая ломаная, состоящая из п звеньев, называется п-уголъником. На рис. 6.4.10 приведены примеры треугольника, четырехугольника, пятиугольника и шестиугольника.

Продлим стороны многоугольника. Многоугольник называется выпуклым, если он целиком расположен по одну сторону от любой из прямых, на которых лежат его стороны.

На рис. 6.4.10 треугольник и пятиугольник выпуклые, а четырехугольник и шестиугольник нет. Ясно, что всякий треугольник выпуклый. В курсе геометрии мы будем изучать треугольники и некоторые виды четырехугольников и многоугольников; при этом всюду в дальнейшем, если не оговорено противное, под многоугольником понимается выпуклый многоугольник. Всякий многоугольник разбивает плоскость на две области: внешнюю и внутреннюю; часто под словом «многоугольник» приходится понимать также часть плоскости, ограниченную данной замкнутой линией, включая и эту границу. Так, треугольником можно назвать и проволочную фигуру (рис. 6.4.11 а), и пластинку (рис. 6.4.126).

Незамкнутую ломаную ABCD мы назовем выпуклой, если при дополнении ее до многоугольника ABCD присоединением замыкающего звена DA получается выпуклый многоугольник, как, например, для ломаной на рис. 6.4.12а. Это определение исключает из числа выпуклых ломаных «спиральную» ломаную на рис. 6.4.126.

Отдельные отрезки (звенья), образующие многоугольник, называются его сторонами, концы этих отрезков — вершинами многоугольника. Внутренними углами многоугольника называются углы, образованные парами его сторон, исходящими из общей вершины.

Выпуклый многоугольник целиком принадлежит каждому из своих внутренних углов, как показано для угла А на рис. 6.4.12а. Ясно, что п-угольник имеет п сторон и столько же вершин. Углы, смежные с внутренними углами многоугольника, называются его внешними углами. На рис. 6.4.13 показаны внешние углы четырехугольника.

Равенство фигур. Движение. Здесь мы не ограничиваемся плоскостью, а рассматриваем пространство.

Основные понятия геометрии имеют абстрактный, идеализированный характер: точка не имеет никакой протяженности, линия лишена толщины и т.д. Это не мешает нам понимать, что материальными прообразами абстрактных понятий геометрии могут являться такие осязаемые вещи, как маленький стальной шарик, тонкий стержень, шлифованная поверхность стекла и т.п. Эти предметы материальной природы превращаются в идеализированные понятия геометрии путем отвлечения от физических и химических свойств; но если эти свойства не имеют значения для геометрии, изучающей, хотя и в абстрактном математическом виде, пространственные формы материального мира, то одно из свойств физических тел — их твердость, способность сохранять свои размеры и

форму — находит отражение в геометрии, в идее движения.

Твердое физическое тело можно перемещать в пространстве, причем ни размеры, ни форма тела не претерпевают никакого изменения. Эту способность тел двигаться, т.е. занимать в пространстве различные положения, взятую отвлеченно от понятий, относящихся к временному течению процесса движения (скорость, ускорение), допускают в отношении геометрических фигур и тел.

Поэтому такие выражения, как «переместим отрезок АВ в положение А'В'», «совместим угол а с углом i°» и т.д., следует понимать, представляя себе отрезок как твердый, хотя и не имеющий толщины стержень, угол — как твердый сектор плоскости и т.д.1

Различение пространственно-временных условий, при которых появляется возможность использования такого способа теоретического исследования или практического осуществления в сфере экономических отношений или процессов, который не требует доказательств своего применения, а выступает как очевидная истина, осуществляется посредством различения условий, позволяющих зафиксировать в математике исходные параметры такого инструментарного подхода, как аксиоматический метод.

Аналитическая геометрия имеет своей задачей изучение свойств геометрических объектов помощи аналитического метода.

В основе этого метода лежит так называемый метод координат, впервые систематически примененный Декартом. Основные понятия геометрии (точки, прямые линии и плоскости) относятся к числу так называемых начальных понятий. Эти понятия можно описать, но всякая попытка дать определение каждого из этих понятий неизбежно сведется к замене определяемого понятия ему эквивалентным. С научной точки зрения логически безупречным методом введения указанных понятий является аксиоматический метод, в развитии и завершении которого величайшая заслуга принадлежит Гильберту.

Метод координат представляет собой глубокий и мощный аппарат, позволяющий привлекать для исследования геометрических объектов методы алгебры и математического анализа.

Аксиома параллельности играет в геометрии фундаментальную роль, определяя разделение геометрии на две логически непротиворечивые и взаимно исключающие друг друга системы: евклидову и неевклидову геометрии.

В геометрии Евклида эта аксиома формулируется так.

Пусть а — произвольная прямая и А — точка, лежащая вне прямой а, тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, существует не более одной прямой, проходящей через Анне пересекающей а.

Долгое время геометры выясняли вопрос о том, не является ли аксиома параллельности следствием всех остальных аксиом. Этот вопрос был решен Лобачевским, который доказал, что аксиома параллельности не является следствием других аксиом.