Неповторимость геометрии Евклида

Рассмотрим линейное действительное пространство V. Каждой паре векторов х, у V поставим в соответствие действительное число, обозначаемое х; у так, что

, выполняются следующие аксиомы:

I.

II. (дистрибутивность);

III (ассоциативность относительно числового множителя);

IV. , причем ==0 ==0.

Такая операция называется скалярным умножением векторов, а число —

скалярным произведением. Скалярное произведение называют скалярным квадратом вектора и обозначают х2 '.

Евклидовым называют линейное действительное пространство, в котором задана операция скалярного умножения векторов. Его обычно обозначают буквой Е.

Для доказательства непротиворечивости аксиом геометрии Евклида достаточно построить какую-нибудь конкретную реализацию совокупности объектов, удовлетворяющих всем указанным аксиомам. Мы построим так называемую декартову или арифметическую реализацию совокупности объектов, удовлетворяющих аксиомам планиметрии. Тем самым вопрос о непротиворечивости планиметрии Евклида будет сведен к вопросу о непротиворечивости арифметики.

Назовем точкой любую упорядоченную пару вещественных чисел (х, у), а прямой —-отношение трех вещественных чисел (ц: v : w) при условии, что и + v^ Ф 0,1

Будем говорить, что точка (х, у) принадлежит прямой (и : v : w), если справедливо равенство

ux+vy+w=O. (6.4.1)

Докажем справедливость аксиом.

Каковы бы ни были две различные точки (x1, y1) и (х2,, у2), прямая2 (y1- x1 -x2y1у), как легко убедиться, содержит эти точки.

Далее из их1 + vy1 + w == 0, ux2 + vy2 + w •= 0 вытекает, что и: v : w == (y1-y2) : (x1-x2) : (x1y2-x2y1), так что точками (x1 у1) и (х2, у2) определяется только одна прямая (и : v : w) .

Наконец, уравнение (6.4.1) с двумя неизвестными х и у всегда имеет бесчисленное множество решений и не всякая пара х и у есть решение уравнения (6.4.1).

Теперь определим соотношение «лежит между».

Если v 0 то мы будем говорить, что точка (х2, y2) лежит между (x1, y1) и (x3, y3 ), если либо х1x3. Если же v=0 (при этом заведомо и 0), то мы будем говорить, что точка (х2,у2) лежит между (х1, у1) и (х3,у3), если У1Уз.3

Обратимся теперь к определению соотношения «конгруэнтен». С этой целью рассмотрим так называемое ортогональное преобразование. Преобразование

переводящее произвольную точку (х,у) в определенную точку (x',у'), называется ортогональным, если выполнены соотношения

Легко доказать, что всякое ортогональное преобразование (6.4.2), (6.4.3) можно представить в одной из следующих форм:

причем в обоих случаях = 1. Преобразования (6.4.4) и (6.4.5) обычно называют ортогональными преобразованиями соответственно первого и второго рода.

Пусть даны произвольная прямая (и: v: w) и на ней некоторая точка (x0 , У0) , так, что ux0 + vyo + w = 0.

Легко убедиться в том, что совокупность точек (х, у), где

принадлежит прямой (u : v : w) для любого вещественного числа t. Далее ясно, что при t > 0 все указанные точки {х, у) лежат по одну сторону от точки (x0, у0), а при t < О эти точки лежат по другую сторону от (x0 , у0 ) .

Иными словами, уравнения (6.4.6) при всевозможных положительных t определяют все точки полупрямой, исходящей из точки (x0 , у0 ) и лежащей на прямой (x0 , у0 ,w) . Эту полупрямую мы будем обозначать символом (x0 , у0 , v-u).Оказывается, всякое ортогональное преобразование (как первого, так и второго рода) переводит любую полупрямую снова в полупрямую. Более точно, справедливо следующее утверждение1: ортогональное преобразование (6.4.5) или (6.4.6) переводит полупрямую (x0 , у0 , v-u) в полупрямую (x0’ , у0’ , v’-u’), где для случая преобразования первого рода x0’ = X0 - yo + c1; y0’ = X0+ yo+c2; v’= v+ u; u’=- v+ u, для случая преобразования второго рода x0’ = X0 + yo + c1; y0’ = X0- yo+c2; v’= v- u; u’=- v- u

Назовем отрезок АВ конгруэнтным отрезку А'В', если существует ортогональное преобразование, которое переводит точку А в точку А', а точку В в точку В'.

Нам остается еще проверить справедливость аксиомы параллельности. Пусть (u: v: w) — произвольная прямая и (x0, у0) — точка вне ее, так что ux0+vy0+w

Пусть (u’: v’: w’) — прямая, проходящая через точку (x0, у0), т.е. удовлетворяющая условию

ux0+vy0+w= 0. (6.4.7)

Поскольку эта прямая не пересекает прямую (u: v: w), должна быть несовместна система уравнений

Из несовместности системы (6.4.8) заключаем, что и': и = v': v или, что то же самое, и' = и, v' = v, где —некоторое число. Но тогда из (6.4.7) получим и w' = - (иx0 + vу0), т.е. и': v': w' = и: v: (-(их0 + vу0)) . Итак, отношения (и': v’: w') однозначно определены, т.е. существует единственная прямая (и': v': w'), проходящая через (x0, у0) и не пересекающая прямой (u: v: w).

Тем самым доказательство непротиворечивости планиметрии Евклида завершено.

Замечание. Аналогично доказывается непротиворечивость стереометрии Евклида. Для этого мы называем точкой любую упорядоченную тройку вещественных чисел (х, у, z),

прямой — совокупность всех троек (х, у, z), элементы х, у , z которых связаны системой двух линейных уравнений, плоскостью—совокупность всех троек (x,y,z), элементы х, у, z которых удовлетворяют одному линейному уравнению.1

Математический инструментарий, представляя собой способы и приемы познания многообразия и структуры математических множеств и величин, а также взаимоотношений между ними, использует помимо аксиоматического метода математические доказательства, которые обеспечивают экономиста при познании экономических процессов и явлений системой умозаключений, которая служит для установления нового положения экономического субъекта в экономическом пространстве на основании других, ранее известных его положений.

Определения. Аксиомы. Теоремы. Строгое изложение любой части математики основывается на введении некоторых простейших неопределяемых понятий (например, для геометрии: «точка», «прямая», «лежать на», «между» и т.д.).

Дальнейшим используемым понятиям даются определения в терминах первоначальных или уже введенных понятий. Пример: отрезком АВ прямой называется множество точек, включающее точки А, В и все точки, лежащие между ними. В этом определении, например, употреблены понятия «множество», «между» и т.д.

Относительно первоначальных и введенных с их помощью дальнейших понятий доказываются (на основе аксиом и ранее доказанных утверждений, с помощью обычных правил логики) новые утверждения, называемые теоремами, иногда леммами (обычно леммой называют утверждение, не имеющее важного самостоятельного значения, но используемое при доказательстве других теорем).

Полностью выдержанное по указанной схеме изложение математических дисциплин называется аксиоматическим (точнее, полуформальным). Фактически осуществить его в полной мере в рамках учебника не удается, так как объем его получился бы слишком большим, а изложение очень утомительным. Поэтому в данной книге, как и в школьных учебниках, аксиомы приводятся лишь частично, часть теорем сообщается без доказательства, а доказательства некоторых других построены с большим или меньшим привлечением интуитивно ясных соображений (которые в принципе могли бы быть доказаны, исходя из полной системы аксиом).

Логическое следование. Необходимые и достаточные условия. Утверждения (теоремы) в математике явно или неявно имеют следующую форму: «Если..., то...», Например: «Если одна из медиан треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный». Утверждение: «Медианы треугольника делят друг друга в отношении 2:1»—можно сформулировать в сходной форме: «Если отрезки AM и BN являются медианами треугольника АВС, то они делят друг друга в отношении 2:1».

Таким образом, для доказательства теоремы необходимо бывает установить, что из некоторых предположений (посылок) с логической необходимостью вытекает некоторый результат (вывод).

В логике тот факт, что из посылки А вытекает вывод В, обозначают так: А ==> В (или каким-либо сходным образом).

В этом случае говорят, что А является достаточным условием для В; в свою очередь В является необходимым условием для А. Это означает, что для справедливости В достаточно (но, вообще говоря, не необходимо) выполнения А; для справедливости А необходимо (но, вообще говоря, недостаточно) выполнение В . Например, в утверждении: «если фигуры равны, то они равновелики» (т.е. имеют равные площади) — равенства фигур достаточно для равенства их площадей. В то же время равенство площадей — необходимое условие равенства фигур. Если оказывается, что не только А~==> В, но и В => А, то оба утверждения А и В называют эквивалентными. В математических текстах при этом употребляют выражения типа: « А тогда и только тогда, когда В », « А, если и только если В ». Тот же смысл имеют и выражения: « А необходимо и достаточно для В ». Пример: «Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали делили друг друга пополам». Говорят, что свойство диагоналей делить друг друга пополам является необходимым и достаточным условием того, чтобы четырехугольник был параллелограммом.

Прямая, обратная, противоположная теоремы. Доказательства от противного. Наряду с каким-либо утверждением А (при этом вообще, под утверждением понимается любое повествовательное предложение, о котором всякий раз можно сказать, что оно истинно либо ложно) можно рассматривать его отрицание, утверждение «не А », обозначаемое короче А и состоящее в том, что А ложно. А и А всегда образуют такую пару утверждений, что из них одно истинно, а другое ложно. Приведем примеры.

Ясно, что в примерах 1) и 3) утверждение А или окажется истинным (ложным) в зависимости от заданных точек или чисел а, b. В примере 2) А ложно, истинно, так как О2=О; в примере 4) А истинно, а ложно.

Представим себе теперь некоторое математическое утверждение (теорему) вида А => В; наряду с ним можно рассматривать следующие три другие утверждения (теоремы):

В => А (обратное утверждение), (6.4.9)

==> (противоположное утверждение), (6.4.10)

=> (утверждение, обратное противоположному или, что то же, противоположное обратному). (6.4.11)

Их называют соответственно обратной теоремой, противоположной теоремой, теоремой, обратной противоположной; следует иметь при этом в виду, что теоремой мы обычно называем истинное утверждение, вообще же для любого утверждения это заранее не предполагается.

Утверждения А=> В и (6.4.11) эквивалентны: именно, если верно утверждение А => В, то верно и обратное противоположному => (и обратно). Аналогично, эквивалентны обратное и противоположное утверждения (6.4.9), (6.4.10).

Доказательство этого правила вытекает из условия считать, что из двух высказываний А и всегда одно истинно, а другое ложно (в логике это называют принципом исключенного третьего). Пусть А ==> В; установим, что тогда и => .

В самом деле, если имеет место , то В не выполняется. Но тогда неверно и А (иначе было бы верно и В ). Следовательно, верно , т.е. А => В .

Пусть => ; установим, что тогда и А ==> В .

Действительно, пусть А истинно. Тогда ложно, тем самым ложно и (иначе А было бы истинно). Следовательно, В истинно; итак, А => В.

В силу эквивалентности утверждений А => В и => доказательство прямой теоремы иногда заменяют доказательством теоремы, противоположной обратной. Например, доказательство теоремы:

Если а — натуральное число, то корень - = b — либо натуральное, либо иррациональное число, может быть заменено доказательством теоремы, противоположной обратной;

Если b — дробное рациональное число (т.е. не целое и не иррациональное), то его квадрат не может быть натуральным числом.

Доказательство в этой второй равносильной формулировке провести проще.

Что касается теоремы, обратной данной, то возможно, что она и неверна (нет прямой

связи между справедливостью утверждений А=> В и В => А). Например, справедливо утверждение: «если один угол треугольника тупой, то два других— острые». Очевидно, что неверно обратное утверждение: «если два угла треугольника острые, то третий — тупой».

Остановимся еще на приеме доказательства «от противного» (по-латыни reductio ad absurdum — приведение к абсурду). Логическая сущность его такова (она близка к замене данного утверждения противоположным обратному). Пусть требуется доказать предложение А => В . Допускаем, что А справедливо, но тем не менее имеет место , если это предположение приведет нас в результате правильных логических умозаключений к какому-либо заведомо ложному выводу, то следует признать ложным, а В — истинным (при условии А). Теорема А => В считается в этом случае доказанной.

Пример: доказательство теоремы планиметрии «две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой». Его можно провести так. Пусть прямые а и Ъ параллельны прямой с. Требуется доказать, что а \\ Ь. Допустим противное, что а и Ь пересекаются в точке М. Тогда через точку М пройдут две прямые а и Ь, параллельные прямой с, что противоречит постулату о параллельных прямых.

Метод математической индукции. Пусть имеется некоторое утверждение о натуральном числе п; для доказательства такого утверждения может быть применен метод математической индукции, состоящий в следующем. Пусть установлено, что

1) данное утверждение справедливо при п = 1;

2) из предположения, что оно справедливо при некотором значении п = k, следует, что

оно справедливо и при следующем значении п = k + 1.

Тогда данное утверждение справедливо для всех натуральных п. Этот принцип можно рассматривать как одну из аксиом, описывающих свойства натурального ряда. Интуитивно ясен его смысл: если утверждение верно для п = 1, то оно верно для п = 1 + 1 == 2; но тогда оно верно и для л=2+1=3и т.д.

Это и есть формула (6.4.12), записанная для п = к - 1. 1 еперь формула уже установлена для всех натуральных п1

Существование различных форм проявления деятельности экономических субъектов требует от экономиста использования навыков по применению таких способов и приемов познания экономических отношений и процессов на уровне хозяйственных единиц, которые позволяют фиксировать как пространственные, так и временные параметры деятельности экономических субъектов. Для этой цели в качестве аналитического инструментария могут быть использованы элементы линейной алгебры как науки о числовых величинах и функциональных множествах, позволяющей фиксировать временные параметры, и элементы аналитической геометрии как науки о пространственных величинах.