Векторная алгебра

В этом разделе изучаются векторные величины (или просто векторы), т.е. такие величины, которые, кроме своего численного значения, характеризуются еще направленностью. Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, двигающейся в пространстве, скорость и ускорение этой точки, а также действующая на нее сила.

Мы изучим простейшие операции над векторами (сложение векторов, умножение векторов на число), введем понятие линейной зависимости векторов и рассмотрим основные приложения этого понятия, изучим различные типы произведений векторов, актуальные для различных приложений (скалярное и векторное произведения двух векторов, смешанное и двойное векторное произведение трех векторов).

Понятие вектора и линейные операции над векторами. Абстрагируясь от конкретных свойств, встречающихся в природе физических векторных величин, мы приходим к понятию геометрического вектора, или просто вектора.

Геометрическим вектором, или просто вектором, будем называть направленный отрезок.

Мы будем обозначать вектор либо как направленный отрезок символом АВ, где точки А и В обозначают соответственно начало и конец данного направленного отрезка (вектора), либо одной латинской буквой, например а или b . На чертеже будем изображать вектор стрелкой, причем латинскую букву, обозначающую этот вектор, будем писать у его конца (рис. 6.4.14).

Начало вектора называют точкой его приложения. Если точка А является началом вектора а, то мы будем говорить, что вектор а приложен в точке А. Для обозначения длины вектора будем пользоваться символом модуля (или абсолютной величины). Так, /АВ/ и /а/ обозначают длины векторов АВ и а соответственно.

Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю. Это позволяет нам при записи отождествлять нулевой вектор с вещественным числом «нуль».

Введем важное понятие коллинеарности векторов.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой либо на параллельных прямых.

Теперь мы можем сформулировать понятие равенства двух векторов: два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Все нулевые векторы считаются равными.

На рис. 6.4.15 изображены слева неравные, а справа равные векторы а и b

Из определения равенства векторов непосредственно вытекает следующее утверждение: «Каковы бы ни были вектор а и точка Р, существует, и притом единственный, вектор PQ с началом в точке Р , равный вектору а »\

Иными словами, точка приложения данного вектора а может быть выбрана произвольно (мы не различаем двух равных векторов, имеющих разные точки приложения 1 В самом деле, существует лишь одна прямая, проходящая через точку Р и параллельная той прямой, на которой лежит вектор а. На указанной прямой существует единственная точка Q такая, что отрезок PQ имеет длину, равную длине вектора а, и направлен в ту же сторону, что и вектор а. и получающихся один из другого параллельным переносом). В соответствии с этим векторы, изучаемые в геометрии, называют свободными (они определены с точностью до точки приложения).1

Линейные операции над векторами. Линейными операциями принято называть операцию сложения векторов и операцию умножения векторов на вещественные числа.

Сначала определим операцию сложения двух векторов.

Определение 1. Суммой а+b двух векторов a u b называется вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора b при условии, что вектор b приложен к концу вектора а.

Правило сложения двух векторов, содержащееся в этом определении, обычно называю «правилом треугольника».

Это название объясняется тем, что в соответствии с указанным правилом слагаемые векторы а и b (в случае, если они не коллинеарны) и их сумма а + b образуют треугольник (рис. 6.4.16).

Правило сложения векторов обладает теми же самыми четырьмя свойствами, что и правило сложения вещественных (или рациональных) чисел):

1° a+b = b+ а (переместительное свойство);

2° (а + b) + с = а + (b + с) (сочетательное свойство);

3° существует нулевой вектор 0 такой, что а + 0 = а для любого вектора а (особая роль нулевого вектора);

4° для каждого вектора а существует противоположный ему вектор о! такой, что a+a'=0.

Убедимся в справедливости этих свойств. Свойство 3° непосредственно вытекает из определения 1. Для доказательства свойства 4° определим вектор а' , противоположный вектору а, как вектор, коллинеарньга вектору а, имеющий одинаковую с вектором а длину и противоположное направление.2 Очевидно, что взятая согласно определению 1 сумма вектора а с таким вектором a' дает нулевой вектор.

Для доказательства свойства 1° приложим два произвольных вектора а и b к общему началу О (рис. 6.4.17). Обозначим буквами А и В концы векторов а и b соответственно и рассмотрим параллелограмм ОВСА. Из определения равенства векторов следует, что = а, = b.

Из определения 1 и из рассмотрения треугольника ОАС следует, что диагональ ОС указанного параллелограмма представляет собой сумму векторов а + b, а из рассмотрения треугольника О В С следует, что та же самая диагональ ОС представляет собой сумму векторов b + а. Тем самым свойство 1° установлено.

Остается доказать свойство 2°. Для этого приложим вектор а к произвольной точке О, вектор b к концу вектора а и вектор с к концу вектора b (рис. 6.4.17).

Обозначим буквами А, В и С концы векторов а, b и с соответственно. Тогда

(a+b)+с=

a+(b+c)=

т.е. свойство 2° доказано.

Замечание 1. При доказательстве свойства 1° нами обосновано еще одно правило сложения векторов, называемое «правилом параллелограмма»: если векторы а и b приложены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма а+b (или b + а) этих векторов представляет собой диагональ указанного параллелограмма, идущую из общего начала векторов а и b \

Доказанные нами свойства 1°—4° позволяют нам оперировать с суммой векторов так же, как с суммой вещественных чисел. В частности, при сложении трех векторов а, b и с нет необходимости указывать, как мы понимаем сумму а + b + с (как а + (b + с) или как (а+b)+с).

Свойства 1°—4° позволяют нам распространить правило сложения на сумму любого конечного числа векторов. При этом нет необходимости производить сложение последовательно, фиксируя каждый промежуточный результат; сумма любого числа векторов может быть построена с помощью следующего правила: если приложить вектор а2 к концу вектора а1, вектор а3 к концу вектора аn,..., вектор аn-1 к концу вектора а^,то сумма а1 + а2 + а3 + ...

Сформулированное правило сложения, проиллюстрированное на рис. 6.4.18, естественно назвать «правилом замыкания ломаной до многоугольника» (ломаная ОА1А2А3...Аn замыкается до многоугольника путем добавления звена ОАn)

Наконец, свойства 1° — 4° позволяют исчерпывающим образом решить вопрос о вычитании векторов.2

Различные формы проявления деятельности экономических субъектов представляют собой не что иное, как многообразие последовательностей соединения элементов, характеризующих эту деятельность. Таким образом, для познания экономических процессов и явлений на уровне хозяйствующих единиц экономист должен уметь воссоздавать данное многообразие последовательностей соединения элементов экономической деятельности, для чего могут быть использованы методы линейного программирования, позволяющие экономисту в данном многообразии найти оптимальную последовательность соединения.

Задачи математического и линейного программирования

Исследование различных, в том числе и экономических, процессов обычно начинается с их моделирования, т.е. отражения реального процесса через математические соотношения. При этом производится составление уравнений или неравенств, связывающих различные показатели (переменные) исследуемого процесса, которые образуют систему ограничений.

В этих соотношениях выделяются такие переменные, меняя которые, можно получить оптимальное значение основного показателя данной системы (прибыль, доход, затраты и т.п.). Соответствующие методы, позволяющие решать указанные задачи, объединяются в общее название «математическое программирование» или «математический метод» исследования операций.

Математическое программирование включает в себя такие разделы математики как линейное, нелинейное и динамическое программирование. Сюда же обычно относят стохастическое программирование, теорию игр, теорию массового обслуживания, теорию управления запасами и некоторые другие.

Итак, математическое программирование — это раздел высшей математики, занимающийся решением задач, связанных с нахождением экстремумов функций нескольких переменных при наличии ограничений на переменные.

Методами математического программирования решаются задачи распределения ресурсов, планирования выпуска продукции, ценообразования, транспортные задачи и т.п.

Математическое программирование возникло в 30-е годы XX века. Венгерский математик Б.Эгервари в 1931 году решил задачу, называемую проблемой выбора. Американский ученый Г.У. Куй обобщил этот метод, после чего он получил название венгерского метода. В 1939 году российский ученый Л.В. Канторович разработал метод разрешающих множителей решения задач линейного программирования. Большой вклад в развитие математического программирования внесли американские ученые. В 1949 году американский ученый Дж. Данциг опубликовал один из основных методов решения задач линейного программирования, получивший название симплексный.

Составление математической модели экономической задачи включает следующие этапы: 1) выбор переменных задачи; 2) составление системы ограничений; 3) выбор

целевой функции.

Переменными задачи называются величины x1, x2, х3,..., xn, которые полностью характеризуют экономический процесс. Их обычно записывают в виде вектора X=(x1, x2, x3,…., xn)

Система ограничений включает в себя систему уравнений и неравенств, которым удовлетворяют переменные задачи и которые следуют из ограниченности ресурсов или других экономических или физических условий, например, положительности переменных и т.п.

Целевой функцией называют функцию переменных задачи, которая характеризует качество выполнения задачи и экстремум которой требуется найти.

Таким образом, общая задача математического программирования формулируется следующим образом: найти экстремум целевой функции задачи

Z(X) = f (x1, x2, x3,…., xn) max(min) (6.4.13)

и соответствующие ему переменные при условии, что эти переменные удовлетворяют системе ограничений

(x1, x2, x3,…., xn ) =0, i=1,2,..,l (6.4.14)

(x1, x2, x3,…., xn ) >(нескольких видов продукции Р1, Р2, ..., Рn используют т видов ресурсов S1, S2, ..., Sm. Это могут быть различные материалы, электроэнергия, полуфабрикаты и т.п. Объем каждого вида ресурсов ограничен и известен (b1,b2,...,bn). Известно также aij (i = 1,2,..., m; y=l,2,...,n) — количество каждого i-го вида ресурса, расходуемого на производство единицы j -го вида продукции. Кроме того, известна прибыль, получаемая от реализации единицы каждого вида продукции (С1, С2,….,Cn).

Условия задачи можно представить в виде табл. 6.4.1.

Таблица 6.4.1

Пусть хj, j = 1,2,..., п, — количество каждого вида продукции, которое необходимо произвести.

Для первого ресурса имеет место неравенство-ограничение

А11x1+ а12х2+... + а1nхn < b1 (6.4.19)

Аналогичные неравенства будут и для остальных видов ресурсов. Следует учитывать также, что все значения хj 0, j = 1,2,..., n.

Общая прибыль, получаемая от реализации всей продукции, может быть представлена как функция

Z(X) =c1x1+c2x2+…cnxn (6.4.20)

Необходимо эту функцию максимизировать. Таким образом, математическая модель задачи использования ресурсов запишется в виде

В более компактной форме целевую функцию и систему ограничений можно записать, используя знак суммирования.

Задача о составлении рациона питания

Требуется составить рацион ежедневного питания животного на основе имеющихся видов кормов так, чтобы общая стоимость использованных кормов была минимальной. При этом животное должно получать питательных веществ, например, таких как жиры, углеводы, белки, витамины и т.п., не менее определенного количества.

В каждом виде корма содержится разная комбинация этих веществ. Известна цена единицы веса каждого корма.

Пусть имеется п различных кормов (продуктов) Р1, Р2, ..., Рn и перечень из т необходимых питательных веществ S1, S2, ..., Sm . Обозначим через aij содержание (в весовых единицах) i -го питательного вещества в единице j -го корма, через bi обозначим минимальную суточную потребность животного в г-ом питательном веществе. Через хj обозначим количество каждого вида корма в ежедневном рационе. Очевидно, что хj > 0 .

Условия задачи можно представить в виде табл. 6.4.2.

Таблица 6.4.2

Для первого вида питательного вещества неравенство-ограничение примет вид

Аналогично запишутся неравенства и для остальных видов питательных веществ. Общие затраты на весь рацион питания животного можно найти на основе линейной функции

Эту функцию нужно минимизировать. Итак, математическая модель задачи составления рациона питания имеет вид