2.3. Математический аппарат

Матрицы и определители

Рассмотрим тхп действительных чисел, записанных в виде прямоугольной таблицы из т строк и п столбцов:

\

Ощ I

13 123

А = Vami ат2 ат3 ??? amJ

Данная таблица чисел называется числовой матрицей (в дальнейшем — просто матрицей). Числа ву, которые входят в матрицу, называются ее элементами. Индексы і и І элемента ац указывают соответственно номера строки и столбца, в которых расположен элемент ац. Матрицу, содержащую одну строку (или один столбец), называют также вектор-строкой (или вектор-столбцом).

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Две матрицы называются равными, если числа строк и столбцов одной из них равны соответственно числам строк и столбцов другой и элементы этих матриц, расположенные на соответствующих местах, равны.

Матрицей, транспонированной к матрице А, называется матрица вида:

a2i «ml"

12

А' =

°22 — flm2

»

Vйщ а2п ??? атп)

т. е. — строками матрицы А' являются столбцы, а столбцами — строки матрицы А.

Если число строк равно числу столбцов (т = п), матрицу называют квадратной матрицей порядка п.

Элементы Оц, 022, Д33,..., апп образуют так называемую главную диагональ квадратной матрицы; элементы а\п, ащ-ъ ..., апі — побочную диагональ квадратной матрицы.

Рассмотрим некоторые действия над матрицами.

1. Произведением матрицы А на число А, (или, что то же самое, числа А, на матрицу А) называется матрица

Ял 2 2

п' п

>

Ы =

получающаяся из А путем умножения каждого ее элемента на число X.

а1 п а2п

TJn

Ь21

12

г22

Ъ2п

А =

и В =

V&ml 6лі2

«11 а21

1т2

Vami понимается матрица а\п + &1п а2п + &2л

А + Б =

а11 + &11 а12 + 612 а21 + ^21 а22 + ^22 Vaml + bml ат2 + Ьт2

элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц А и Б. При этом подразумевается, что число строк (столбцов) матрицы А равно числу строк (столбцов) матрицы Б. Подобным же образом определяется и разность А - Б матриц А и Б.

Линейные операции над матрицами подчиняются обычным законам арифметики, например: А + В = В+А, А + О =А (все элементы матрицы 0 — нули),

X (А + В) = ХА + ХВ, 0 • А = О (X = 0).

3. Произведением матрицы А из т. строк и п столбцов на матрицу В из п строк и k столбцов называется матрица С = АВ, имеющая т строк и k столбцов, элемент С^ которой, расположенный в і-й строке и j-м столбце, равен сумме произведений элементов і-й строки матрицы А на соответствующие элементы у-го столбца матрицы В, т.е. находится по формуле скалярного произведения г-й вектор-строки| матрицы А на у-й вектор-столбец матрицы В:

Сц = dilhj + «12^2; +•••+ alnbnj.

В случае квадратных матриц можно составить как произведение АВ, так и произведение ВА. В общем случае АВ * ВА, т.е. переместительный закон для матриц не выполняется.

Для произведения матриц остаются в силе следующие законы арифметики: 1.

Распределительный закон (А + В) С = АС + ВС, С (А + В) = = СА + СВ. 2.

Сочетательный закон (АВ) С — А (ВС).

Среди квадратных матриц особую роль играет матрица

(\ 0 •••

Ю 0 ••• V

все элементы которой, расположенные на главной диагонали, равны единице, а остальные — нулю. Можно проверить, что для любой матрицы А: АЕ = ЕА = А. Матрица Е называется единичной.

Матрица В называется обратной для матрицы А, если АВ = ВА = Е. Матрица В, обратная матрице А, обозначается через А-1.

С каждой квадратной матрицей определенным образом связано некоторое число, называемое ее определителем.

Для вычисления определителя любого порядка необходимо знание его свойств и теоремы о разложении определителя.

Приведем основные свойства определителей. 1.

При транспонировании матрицы ее определитель не меняется. Это свойство свидетельствует о полном равноправии строк и столбцов определителя. Следовательно, если некоторое утверждение справедливо относительно столбцов определителя, то аналогичное утверждение справедливо и для его строк. 2.

Если все элементы какого-либо столбца (строки) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю. 3.

При перестановке двух любых, столбцов (строк) определителя его знак меняется на противоположный, а абсолютная величина остается неизменной. 4.

Определитель с двумя одинаковыми столбцами (строками) равен нулю. 5.

Если у-й столбец (строка) Aj определителя D является линейной комбинацией

Aj = ХВ + цС

двух произвольных столбцов (строк) Б и С, то и сам определитель оказывается линейной комбинацией

D = Dj{XB + цС) = Щ(В) + [iDj(C) определителей Dj(B) и Dj(C).

Здесь Dj(B) и Dj(C) — определитель D, в котором столбец (строка) j заменен соответственно на столбец (строку) В и С. Остальные столбцы (строки) сохранены без изменения. 6.

При умножении любого столбца (строки) определителя на произвольное число X сам определитель умножается на это же число. 7.

Если какой-либо столбец (строка) определителя является линейной комбинацией других его столбцов (строк), то определитель равен нулю. 8.

Определитель не изменится, если к элементам любого его столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), предварительно умноженные на одно и то же число. Рассмотрим определитель п-то порядка: а1 п а2п

аи а2 j

а12 а22

аи а21

D 41

1л1

а*2

ап2

Выделим в нем некоторый элемент, например ац. Вычеркнем в определителе і-ю строку и у'-й столбец, в которых расположен выделенный элемент ац. В результате останется определитель (га - 1)-го порядка. Этот оставшийся определитель называется минором элемента аі; в определителе D и обозначается Мц.

Величину Ац = (-1 )i+'Mij называют алгебраическим дополнением элемента ац в определителе D (или в соответствующей квадратной матрице).

Теорема о разложении определителя.

п п

D = \А\ = X а,,Л; = X а,7А, .

;=1 (=1

Рассмотрим примеры вычисления определителей (предполагается знание правил вычисления определителей второго порядка).

1. Вычислить определитель 2

З 1 D = 4 2 -1 . 3

5 2

Разложим определитель D по элементам второго столбца: D = ЗА12 + 2А22 + 5А32. Переходя к минорам, имеем: + 5(-1)

+ 2(-1)

D = 3(-1)

2+2

3+2

1+2

2 1

4 -1

2 1 3 2

4 -1 3 2

= -3-11 + 2 -1-5 -(-6) = -1. 2. Вычислить определитель четвертого порядка: 12 3 4

D = 2

3 4 1 3

4 12 4

12 3 Используя свойства определителей, получим единичную первую строку и разложим по ней определитель D; аналогично поступим с первым столбцом преобразованного определителя: 1+1 4 -4 -1 1 = -4-4 4 -36 1 9 = -16(-9 -1) = 16 • 10 = 160,

D

12 3 4 2

3 4 1 3

4 12 4

12 3

О О

-1 -2

-2 -8

-7 -10

0

-7 -10 -13 -1 -2 -7 1 2 7 1 2 7 = (-1)1+' -2 -8 -10 = - 2 8 10 0 4 -4 -7 -10 -13 7 10 13 0 -4 -36 = (-D Решение систем линейных уравнений

Рассмотрим систему из п линейных уравнений с п неизвестными (такие системы линейных уравнений называются определенными): °11*1 +<*12*2 + ..•+<»! пхп =ЬЪ

(2.15)

°21*1 + а22*2 + • • • + а2пхп = Ъ2, ап1*1 + <*п2*2 + -~+аппХп =К- Определитель Д, составленный из коэффициентов при неизвестных, называют определителем системы (2.15);

а1п

Д =

а11 а12 ап1 ап2

Решить систему уравнений (2.15) можно различными методами, в частности, методом Крамера. В основе решения системы уравнений (2.15) методом Крамера лежит следующая теорема.

Теорема Крамера. Если определитель Д системы (2.15) отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение, которое можно найти по формуле: j = 1, п.

д;

хі = 1 А В этой формуле Aj является определителем, полученным из определителя системы А путем замены столбца / столбцом свободных членов.

Систему п линейных уравнений с п неизвестными (2.15) можно записать в матричном виде: АХ" = В, где А — квадратная матрица порядка п, составленная из коэффициентов при неизвестных; X — вектор-столбец из неизвестных; В — вектор-столбец свободных членов: /

ап а12 ' \

• а1п Ь1 (у \ Х1 А = а21 а22 ? а2п , в = Ь2 х2 ап1 • ?? anJ {bJ UnJ Если А — невырожденная матрица, т.е. ее определитель |А| * 0, то можно определить А-1. С учетом этого имеют место матричные соотношения:

А"1 -А Х= А~г- В, Е ? Х= А-1 • В, Х= А-1 - В. (2.16)

Обратная матрица может быть определена на базе следующей теоремы.

Теорема. Если определитель матрицы А не равен нулю, то матрица А имеет обратную матрицу А-1, которая находится по формуле

А"1 = — А , где А — матрица, присоединенная к матрице А.

А

Матрица А составляется из алгебраических дополнений к элементам транспонированной матрицы:

V-^l п -^2 п А-пп)

Таким образом, соотношение (2.16) лежит в основе решения системы уравнений (2.15) методом обратной матрицы.

Рассмотрим систему тп линейных уравнений с п неизвестными (при т < п такие системы называются неопределенными):

а1\х\ + а12х2 + ...+<»! пхп = blf

а21х1 + а22х2 + • • • + а2пхп = &2> /о і

ат\х\ + ат2х2 + • • • + атпхп ~ Ьт- или в векторной записи:

Aixvt- А2х2+...+ Апхп=В, м (п \ а\2 м ( і \ где Ах = а21 , Л2 = а22

Уат2) , Ап - а2п , в = Ь2

УЬт) соответствующие вектор-столбцы.

Запишем расширенную матрицу этой системы в виде:

Л

Ґ

ап

а2Х А ?? °12 ? а22 • ? Ап

- ain " а2п В

Ъ, Ъ2 ат2 ?? а

тп Ът Элементарными преобразованиями системы (2.17) (или

матрицы А) называются следующие преобразования: •

перестановка любых двух уравнений; •

умножение обеих частей одного из уравнений на любое отличное от нуля число; •

прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на любое число, отличное от нуля; •

вычеркивание нулевой строки (уравнения с нулевыми коэффициентами и свободным членом, равным 0). Можно показать, что элементарные преобразования переводят данную систему уравнений в эквивалентную систему. Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, или равносильными, если каждое решение первой системы (если они существуют) является решением второй, и наоборот. Соответствующие расширенные матрицы также называются эквивалентными.

При практическом решении системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса последовательно над строками матрицы А выполняют элементарные преобразования, так что некоторое неизвестное исключается из всех уравнений, кроме одного, т.е. в составе расширенной матрицы формируется единичная матрица.

В процессе решения могут встретиться следующие случаи.

/\ /V

1. Будет получена матрица А', эквивалентная матрице А, в левой части некоторой строки ее стоят нули, а в правой — число, отличное от нуля, что соответствует уравнению:

+ 0*2 + ... + 0хп = Ь[, (Ц * 0).

Это признак несовместности системы (2.17), т.е. система не имеет решений. 2.

В результате преобразований получилась матрица А' вида:

Ґ1 0 ??? 0 ьС

О 1 ??• О Ъ'

А' =

,0 0 ... 1 Ь'п/

В этом случае система (2.17) совместна, определенная и имеет единственное решение: = Ь{, х2 = Ъ'2, ..., хп = Ъ'п. 3.

На некотором этапе получилась расширенная матрица вида Г1 0 ? • 0 аіг+1 • •? < А

А' = 0 1 ? • 0 а2г + 1 •• а;. к ,0 0 • • 1 а' , •

"?гг + 1 •? < к) Система совместна и имеет бесчисленное множество решений. Общее решение системы можно записать в виде:

Xi = b[ - a{r+1xr+1 -... - а[пхп х2 =b2- a'2r+1xr+1 -... - а'2пхп

хг ~ К ~ 0.'rr+lxr+l - arnxn •

Придавая каждой из стоящих в правых частях равенств переменных xr+i, хг+2, ..., хп произвольные значения, будем получать частные решения системы.

Неизвестные х\, х2,...,хг называются базисными, или основными, они соответствуют линейно-независимым векторам Ai, ...,АГ.

Таким образом, любые г переменных называются базисными (основными), если определитель матрицы коэффициентов при них отличен от нуля, а остальные (га - г) переменных называются свободными, или неосновными. Базисным решением системы уравнений называется частное решение, в котором неосновные переменные имеют нулевые значения. Каждому разбиению на основные и неосновные пере- менные соответствует одно базисное решение, а количество способов разбиения не превышает величины

Ст _ ПІ

" т\(п - т)\

Если все компоненты базисного решения неотрицательны, то такое решение называется опорным.

к. Пример 3. Исследовать систему уравнений методом Жордана-Гаусса

*Х - 2*2 + 3*3 - 4*4 + 2*5 = 4

*2 - *з + *4 + 4*5 = -3 + 3*2 — 3*4 = 1

Х1 + х2 + х3 ~ 3*4 + 3*5 = 1.

Запишем расширенную матрицу системы уравнений и последовательно преобразуем ее элементарными преобразованиями 1 -2 3 -4 2 Я '1 -2 3 -4 2 41 0 1 -1 1 4 3 0 1 -1 1 4 3 1 3 0 -3 0 1 0 5 -3 1 -2 3 л 1 1 -3 3 ь .0 3 -2 1 1 3j Ґ1 0 1 -2 10 — 2N '1 0 1 -2 10 — 21 0 1 -1 1 4 3 0 1 -1 1 і 3 -> -> 0 0 2 -4 -22 12 0 0 0 0 0 0 <0 0 1 -2 -11 б) ,0 0 1 -2 -11 6J (1 0 0 0 21 -8 + 21*5 -8 -> 0 1 0 -1 -7 3 х2 - *4 - 7*5 = 3 ,0 0 1 -2 -11 6, *3 - 2*4 - 11*5 6 Таким образом, система совместна, имеет бесчисленное множество решений. Общее решение записывается в виде

jq = - 8 - 21*5, Х2 = 3 + Х4 + 7X5,

xz = 6 + 2х4 + 11х5.

Любое частное решение получается из общего путем придания конкретных значений свободным переменным х4 и х5. Например, (—8;4;8;1;0) — частное решение. Одно из базисных решений получаем при х± = х$ = 0, т.е. (-8;3;6;0;0).

3 о

Число базисных решений не превосходит С5 =10. Перейдем

к другому базисному решению, взяв в расширенной матрице в качестве базисных векторы А\, А2, А^; при этом переменные xi, х2, будут базисными, а хз, х$ — свободными. Переход от одного базиса к другому осуществим методом Жорда- на—Гаусса, т.е. используя элементарные преобразования: (1 0 0 0 1 ~81 '1 0 0 0 21 "81 0 1 0 -1 -7 3 -> 0 1 0 1 -7 3 ,0 0 1 -2 - 11 6, ,0 0 -0,5 1 5,5 -з, '1 0 0 0 21 -8 -> 0 1 -0,5 0 -1,5 0 . 0 -0,5 1 5,5 -3; Таким образом, получено еще одно базисное решение: (-8;0;0;-3;0) и т.д. Заметим, что оба полученных базисных решения не являются опорными решениями.