Производные финансовые инструменты

Банковский счет, акции и облигации называются основными финансовыми инструментами. На их базе могут быть построены более сложные финансовые инструменты — производные.

Наиболее распространенные типы производных финансовых инструментов — форварды, фьючерсы и опционы.

Форвард — это ценная бумага, представляющая собой договор о покупке или продаже в определенный момент времени в будущем определенного актива по фиксированной цене, определяемой в момент заключения договора.

Форвардный контракт, заключенный на бирже, называется фьючерсом. Биржа при этом берет на себя роль посредника между покупателем и продавцом, каждый из которых заключает отдельный договор с биржей. Эти договоры являются стандартизованными, т. е. их условия (количество и качество поставляемого товара и т. п. одинаковы для всех участников).

Другим отличием фьючерсных договоров от форвардных является то, что биржа требует от участников сделки разместить на своих счетах залога достаточного размера. Этот залог называется гарантийной маржей и необходим для подтверждения участниками сделки готовности выполнять свои обязательства, а также для покрытия потерь, возможных в ходе выполнения операций.

Пример 7.2.1. Чему равна форвардная цена на облигацию из примера 7.1.1 с датой форвардной поставки через год (т. е. за четыре года до погашения)?

Решение. Если мы не прогнозируем изменение процентных ставок, то определить цену такого форвардного контракта очень просто: просто найдем современную ценность потока платежей, связанного с данной облигацией в течение последних четырех лет до даты погашения, приведенную к концу первого года:

эта цена P = В(1) = 93 925 руб. 30 коп. и будет справедливой! ?

Опцион — это ценная бумага, представляющая собой договор, по которому одна из сторон (продавец) продает опцион за определенную премию, а другая сторона (держатель или владелец) при этом получает право (но не обязанность) в течение срока, оговоренного в условиях опциона, либо купить определенный актив по фиксированной цене, определяемой в момент заключения договора и называемой терминальной стоимостью опциона (такой опцион называется опционом покупателя), либо продать актив по терминальной стоимости (такой опцион называется опционом продавца).

Основным отличием фьючерсов и опционов является то, что первый представляет собой обязательство покупки или продажи актива по фиксированной цене, а второй — право.

Широко распространены и другие производные финансовые инструменты, в частности, инструменты, производные от производных, например, опцион на фьючерс.

Важно уметь рассчитывать стоимости производных финансовых инструментов, для чего создаются их математические модели. Как мы видели в предыдущем пункте, рассчитать стоимость форвардного (или фьючерсного) контракта достаточно просто.

С опционами дело обстоит несколько сложнее. Несмотря на то, что такие финансовые инструменты известны достаточно давно, организованная торговля ими началась только в 1973 г., когда в работах Ф. Блэка, М. Шоулза и Р. Мертона была впервые построена работоспособная математическая теория ценообразования опционов.

Рассмотрим вначале ценообразование опционов в рамках биномиальной модели Кокса — Росса — Рубинштейна.

Рациональной считается такая стоимость финансового инструмента, которая исключает возможность арбитража без риска; иными словами, доходность безрискового финансового инструмента, имеющего рациональную стоимость, должна совпадать с доходностью банковского счета.

Найдем рациональную стоимостьстандартного европейского опциона покупателя. Очевидно, рациональная стоимость опциона в момент его исполнения совпадает с прибылью, которую можно получить, исполнив опцион. Данный опцион имеет смысл исполнять, т. е. пользоваться заложенным в нем правом покупки акции по цене X, лишь в том случае, когда рыночная цена S_n этой акции к моменту окончания срока действия опциона, т. е. к концу последнего

периода, будет больше X.

Поскольку цена акции S_n является случайной

величиной, определяемой рядом распределения (7.1.7), доход от исполнения опциона покупателя также является случайной величиной, которая принимает значения

с вероятностями

Оценка опциона происходит перед началом первого периода, поэтому для получения его рациональной стоимости С _T достаточно

дисконтировать ожидаемый доход от исполнения опциона на срок его действия:

Таким образом, рациональная стоимостьевропейского опциона покупателя со сроком погашения T (в годах) и ценой исполнения X, выписанного на акцию с текущей ценойописывается формулой (7.2.1), в которой i — банковская (годовая) процентная ставка, срок действия опциона делится на n периодов (в каждый из периодов цена акции, на которую выписан опцион, может повыситься в и или в d раз),— вероятность, нейтральная к риску, оп

ределяемая формулой (7.1.6).

Пример 7.2.2. Чему равна рациональная стоимость опциона покупателя с терминальной стоимостью X = 40 руб. и сроком исполнения 1 год, выписанного на акцию из условия примера 7.1.2.

Решение. Исполнять опцион покупателя выгодно, если цена акции на рынке окажется не меньше терминальной стоимости X, поэтому ряд распределения

дохода от исполнения опциона при расчетах по четырехпериодной биномиальной модели

легко получить, зная ряд распределения цены акции к концу четвертого периода (полученный в примере 7.1.2).

Ожидаемый доход от исполнения опциона покупателя, равный математическому ожиданию случайной величинысоставляет

Окончательно получаем

т. е рациональная стоимость такого опциона равна 2 руб. 24 коп. (что существенно меньше текущей цены акции и цены исполнения опциона!). ?

На реальном рынке продавцу опциона выгодны цены, не меньшие рациональной стоимости опциона, а покупателю — не большие.

Пусть одновременно заключаются два опционных контракта (опцион покупателя и опцион продавца) с одной и той же ценой исполнения X и одним и тем же сроком исполнения T на одну и ту же акцию, стоимость которой в начальный момент равна S₀, банковская

(годовая) процентная ставка равна i и пусть— рациональ

ные стоимости этих опционов.

Рациональность стоимости означает, что из инструментов с такой стоимостью невозможно создать безрисковый портфель, доходность которого превысит безрисковую доходность. Если

то для получения безрисковой прибыли можно использовать следующую торговую стратегию: одновременно продать акцию, продать опцион продавца на нее и купить опцион покупателя. Тогда в

начальный момент времени будет получена суммаа в

момент исполнения опционов необходимо будет выплатить сумму X, современная ценность которой составляетТаким обра

зом, будет получен выигрыш по сравнению с безрисковыми вложениями в банковский счет, что противоречит предположению о рациональности стоимости опционов. Аналогично, если

будет меньше, чем, то для получения безрисковой прибы

ли можно использовать следующую торговую стратегию: купить акцию, купить опцион продавца на нее и продать опцион покупателя. Тогда в начальный момент времени будет выплачена сумма

а в момент исполнения опционов — получена сумма X,

современная ценность которой составляетт. е. данная

стратегия принесет выигрыш по сравнению с безрисковыми вложениями в банковский счет, что противоречит предположению о рациональной стоимости опционов. Полученные противоречия показывают, что для рациональной стоимости С_T опциона покупателя и рациональной стоимости P_T опциона продавца справедлива теорема о паритете:

Отметим, что данное соотношение паритета справедливо только для европейских опционов.

Теперь легко найти оценку опциона продавца: рациональная

стоимостьевропейского опциона продавца определяется формулой

Пример 7.2.3. Чему равна рациональная стоимость опциона продавца с терминальной стоимостью X = 40 руб. и сроком исполнения 1 год, выписанного на акцию из условия примера 7.1.2.

Решение. Исполнять опцион продавца выгодно, если цена акции на рынке окажется не больше терминальной стоимости X, поэтому ряд распределения дохода от исполнения опциона при расчетах по четырехпериодной биномиальной модели

легко получить, зная ряд распределения цены акции к концу четвертого периода (полученный в примере 7.1.2).

Ожидаемый доход от исполнения опциона покупателя, равный математическому ожиданию случайной величинысоставляет

Окончательно получаем

т. е рациональная стоимость такого опциона равна 3 руб. 61 коп.

Теорема о паритете дает, естественно, тот же результат:

В 1973 г. Ф. Блэк, М. Шоулз и независимо от них Р. Мертон получили следующую формулу для оценки рациональной стоимости опциона покупателя:

где

— изменчивость доходности акции,— интенсивность безриско

вых процентов,

функция нормального распределения.

В пакете Microsoft Excel функция нормального распределения вычисляется так:

Доказательство формулы (7.2.2) довольно сложное и мы его опустим. Обсудим содержательный смысл формулы Блэка —

Шоулза (7.2.2). Первое слагаемоеесть не что иное, как со

временная ценность ожидаемого дохода от исполнения опциона.

Второе слагаемоепредставляет собой произведение

цены исполнения опциона на вероятность того, что он окажется выигрышным, дисконтированное по безрисковому проценту к текущему моменту, т. е. не что иное, как современную ценность ожидаемых расходов при исполнении опциона. Таким образом, рациональная стоимость опциона есть разница между текущим ожидаемым доходом от исполнения опциона и текущими ожидаемыми расходами.

Важно отметить, что в формулу для оценки опционов не входит ожидаемая доходность акции; рациональная стоимость опциона зависит лишь от стоимости акции в данный момент, времени, оставшегося до исполнения опциона, цены исполнения опциона, изменчивости доходности акции и безрисковой процентной ставки.

Теорема о паритете опционов покупателя и продавца в модели Блэка — Шоулза принимает вид

а аналог формулы для европейских опционов продавца записывается так:

где у+ и у_ определяются соотношением (7.2.3). Получается формула (7.2.5) следующим образом:

Формула (7.2.1) при,и n ^ да переходит в

формулу Блэка — Шоулза — это и дает ответ на вопрос, который уже, наверное, задал себе любознательный читатель: откуда берутся и и d в биномиальной модели стоимости акции?

Пример 7.2.4. Найти с помощью формулы Блэка — Шоулза рациональную стоимость опционов покупателя и продавца из примеров 7.2.2—7.2.3, считая, что изменчивость доходности данной акции

равна

Решение. Имеем:

Различие с результатами расчетов по четырехпериодной биномиальной моделизамечаем в сотых долях. ?

Теория оценки производных инструментов имеет широкие приложения, выходящие далеко за пределы рынка ценных бумаг. Банки и инвестиционные компании, разрабатывающие новые производные инструменты, в том числе по заказу клиентов, используют описанную методику для оценки рациональной стоимости этих инструментов. Аналогичные методы могут быть использованы для оценки страховых контрактов и гарантий, так как они являются своего рода производными инструментами, предоставляя своим держателям право, но не обязательство их использования.

Эти методы могут быть использованы и при оценке эффективности реальных инвестиций.

Метод, предложенный Ф. Блэком, М. Шоулзом и Р. Мертоном, причисляют к самым крупным достижениям экономической теории XX в. Его авторы М. Шоулз и Р. Мертон были удостоены Нобелевской премии в области экономики за 1997 г. (Ф. Блэк умер в 1995 г.)

7.3.