Портфель финансовых инструментов

Рассмотрим ситуацию, когда в некоторый момент времени t инвестор может часть своих средств оставить на банковском счете, а другую часть потратить на приобретение ценных бумаг. Портфелем финансовых инструментов на (B, £)-рынке назовем вектор

120

где— доля капитала инвестора, вложенная в безрисковый

актив (банковский счет),— доля капитала инвестора, вло

женная в акцию с номером к (к = 1, 2, ...

Числа х_к могут быть как положительными, так и отрицательными, в последнем случае инвестор берет средства в долг с банковского счета либо совершает короткую продажу акций (конечно, эти числа могут быть и нулевыми).

Эффективность портфеля финансовых инструментов п вычисляется, очевидно, как

где i — эффективность банковского счета (процентная ставка), Е_к — эффективность к-й акции (ее доходность).

Ожидаемой эффективностью портфеля финансовых инструментов называется математическое ожидание его эффективности, а риском портфеля — среднее квадратичное отклонение его эффективности.

Возникает задача оптимизации портфеля с целью получения максимальной эффективности при минимальном риске. К сожалению, одновременно этого достичь невозможно, поэтому инвестор, оптимизирующий свой портфель, должен выбрать один из критериев:

• либо минимизировать риск при заданном

уровне эффективности портфеля,

• либо максимизировать ожидаемую эффективностьпри заданном уровне риска портфеля.

В общем случае математическая формулировка задачи минимизации риска портфеля ценных бумаг при заданной допустимой ожидаемой эффективности r_n выглядит так:

121

Воспользовавшись тем, что квадратный корень — возрастающая функция, и применив свойства математического ожидания и дисперсии, эту модель можно переписать в виде

Отметим, что любой портфель п (7.3.1) можно представить в виде

где

безрисковый портфель, совпадающий с банковским счетом,

чисто рисковый портфель, не содержащий безрисковых вложений. Рассмотрим вначале чисто рисковый портфель

состоящий из двух акций с ожидаемыми эффективностями рискамии ковариацией

Поскольку x + x₂ = 1, то можно ввести обозначение x = x_v при этом х₂ = 1 - х_: = 1 - х, и тогда эффективность такого портфеля можно выразить как

ее математическое ожидание 122

дисперсия

а задача (7.3.3) для этого портфеля будет иметь вид

Уравнениеговорит о том, что каждой выбран

ной инвестором ожидаемой эффективности портфелябудет соответствовать ровно одно значение переменной х:

а значит, ровно один портфель

при этом дисперсия эффективности этого портфеля будет зависеть от его ожидаемой эффективности по формуле

Рассмотрим два частных случая.

Пусть вначале акции абсолютно коррелированы, т. е.

откуда с учетом определения коэффициента корреляцииполучаем, что

В этом случае по формуле (7.3.7)

123

(график зависимостиприи различных соотношениях междупредставлен на рис. 7.3.1, а — г), поэтому

инвестор можно выбрать ожидаемую эффективность портфеля г_п так, чтобы числитель в последнем выражении обратился в нуль, т. е.

или

при этом дисперсия портфеля (а значит, и его риск) обратится в нуль!

В соответствии с (7.3.8) такой портфель нулевого риска будет задан вектором

Отметим, что выбор портфеля нулевого риска не всегда бывает оправдан. Действительно, если

то несмотря на нулевой риск, такой портфель имеет эффективность ниже, чем каждая из ожидаемых эффективностей акций(см.

рис. 7.3.1, а), а в случае, когда

портфель нулевого риска будет вообще иметь отрицательную эффективность (см. рис. 7.3.1, б) — составив такой портфель, мы гарантированно окажемся в убытке!

Пусть теперь акции абсолютно некоррелированы, т.

В этом случае дисперсия портфеля по формуле (7.3.5) равна

Формула (7.3.8) задает квадратичную функцию от х, график которой представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке минимума

Рис. 7.3.1. Зависимость дисперсии портфеля от его ожидаемой эффективности

поэтому

откуда

На рис. 7.3.2, б заштрихованы все возможные варианты рисковых портфелей, составленных из двух акций. На том же графике отметим точку (i; 0), соответствующую безрисковому портфелю

Будем теперь составлять портфельобеспечи

вающий данный уровень эффективности

Его рисковую составляющую мы можем выбрать произвольно из заштрихованной области, а безрисковая составляющая портфеля фиксирована: это портфель е, соответствующий точке (i; 0).

При произвольном выборе рисковой составляющей у портфель будет представлять собой выпуклую комбинацию точки е и точки у, т. е. будет лежать на прямой, соединяющей эти точки. Множество всех таких прямых соответствует области внутри угла ABC на рис. 7.3.2, б (так как эффективность

портфеля п будет представлять собой выпуклую комбинацию эффективностей портфелей е и у, а риск

127

а) зависимость риска от ожидаемой эффективности при различных значениях р

б) множество портфелей с безрисковой составляющей

Рис. 7.3.2. Определение рыночного портфеля

портфеля п будет равен абсолютному значению выпуклой комбинации рисков портфелей e и у). Правая граница этого множества (выделенная на рис. 7.3.2, б жирной линией и соответствующая портфелям, оптимальным по Парето) проходит, очевидно, через точку B(e) и касается заштрихованной области в некоторой точке С(л_м). Портфель у = п_м, соответствующий точке касания, называется рыночным (или касательным) портфелем.

Выбирать портфель п мы будем, конечно же, из множества портфелей, оптимальных по Парето (т. е. как выпуклую комбинацию п = x₀e + (1 -x₀)п_м безрискового актива и рыночного портфеля); этому множеству соответствует жирная линия BC на рис. 7.3.2, б, которая называется линией рынка капитала (Capital Market Line). Каждому заданному значению r_n ^ i будет соответствовать свой

оптимальный портфель п, соответствующий минимальному

значению риска а_п, которого можно достичь с использованием безрисковых вложений и заимствований. Видно, что при всех г_п Ф г, риск оказывается ниже, чем у чисто рискового портфеля у с той же ожидаемой эффективностью (при г_п = rj портфель п будет целиком состоять из акций, просто совпадая с чисто рисковым портфелем у).

В общем случае (при произвольном количестве акций в портфеле) аналитическое решение задачи (7.3.2) описывается формулами

где

а риск такого оптимального портфеля подчиняется формуле

из которой видно, что зависимость риска оптимального портфеля

от эффективности этого портфеляявляется линейной.

Доказательство формул (7.3.9)—(7.3.10) довольно громоздкое, и мы его опустим, отметив, что в практической работе гораздо проще воспользоваться инструментом «Поиск решения» пакета Microsoft Excel.

Пример 7.3.1. С каким наименьшим риском можно достичь 20%- ной эффективности инвестиций, если есть возможность банковских вложений и заимствований по ставке i = 10% годовых, а на рынке ценных бумаг обращаются две акции, их ожидаемые эффективности равны соответственно

а коэффициент корреляции доходностей данных акций равен р₁₂ = 0,36?

Решение. Введем данные в рабочий лист Microsoft Excel, как показано на рис. 7.3.3, а. Пусть ячейки B9 и B10 соответствуют долям рисковых вложений х₁ и x₂, в ячейку B8, соответствующую доле безрисковых вложений x₀, введем формулу, соответствующую разности всех вложений (единицы) и вложений в

Рис. 7.3.3. Расчеты в примере 7.3.1

Задачи (7.3.2) и (7.3.11) были поставлены и успешно решены Г. Марковицем в 1952 г. для частного случая отсутствия безрискового актива (х₀ = 0) и обобщены Дж. Тобином, У. Шарпом, Дж. Линтнером и др. Дж. Тобин стал лауреатом Нобелевской премии в области экономики в 1981 г., Г. Марковиц и У. Шарп стали Нобелевскими лауреатами в 1990 г.

Осталось отметить, что реальные инвесторы, обладая информацией об оптимальных портфелях, как правило, принимают решения о составлении портфелей акций, исходя из собственной интуиции; решения эти в большинстве случаев приносят больше дохода, чем если бы инвесторы строили оптимальные портфели по схеме, рассмотренной в этом параграфе.