4.2. Закон нормального распределения вероятностей

Приведенные на рис.

Случайная величина имеет нормальное распределение вероятностей с параметрами а и а, если плотность ее распределения задается формулой:

-(х-а)2

1

Ф(*) = -^=-е 2«J , (4.18)

V2rc а -оо < х < +оо, а > 0. Математическое ожидание и дисперсия нормальной случайной величины Е соответственно равны an сг2:

М(Е) = а. (4.19) VAR(E) = а2. (4.20)

Нормальное распределение обладает рядом важнейших свойств, которые приводятся ниже без доказательств; 1)

вероятность больших отклонений нормальной случайной величины от центра ее распределения (параметра а) ничтожно мала; 2)

график функции плотности нормального распределения симметричен относительно средней (параметра а); 3)

стандартное отклонение а характеризует степень сжатия или растяжения графика функции плотности распределения вероятностей; 4)

нормальная случайная величина Е с математическим ожиданием а и стандартным отклонением а с вероятностью близкой к 1 попадает в интервал:

(а-Зет) <Е<(а + Зо)*; (4.21)

5) Если случайная величина Е распределена по нормальному закону с математическим ожиданием а и стандартным отклонением сг, то:

= = (4.22)

\ a J V о /

где Ф - функция распределения вероятностей Лапласа.

* Это утверждение получило название правило трех сигм.

Соотношения (4.22) позволяют определить вероятность того, что случайная величина Е будет меньше (больше) заданного значения х.22

Для более наглядной иллюстрации свойств нормального распределения вернемся к рассматриваемому примеру. На рис.

0,12 т 0,1 -

>s

01

d

х 0,08 ••

h- *

О

| 0,06 - л d

? 0,04 - I- о с

0,02 ??

.-їлоїоої^адіпч-

ґ-. т- о + .—

ы

Доходность акций "В" (%)

Рис. 4.3. Иллюстрация правила трех сигм (акции фирмы "В")

Нетрудно заметить, что график симметричен относительно среднего значения доходности — 15% (ранее мы определили, что параметр а = 15%, параметр а = 3,87%). Согласно правилу трех сигм (4.21), с вероятностью, близкой к 1, можно утверждать, что прогнозируемая доходность по акциям фирмы "В" будет лежать в диапазоне 15 ± 11,61 (т.е. от 3,39% до 26,61%). Дальнейшие расчеты показывают, что вероятность попадания доходности в интервал 15 ± 7,74 (а + 2ст) составит приблизительно 0,94, или 94%, а в интервал 15 ± 3,87 {а ± сг) - 68,27%. Таким образом, с большой долей уверенности (почти 70%) можно предпола- гать, что доходность по акциям фирмы "В" не будет ниже 11%. Соответственно вероятность обратного утверждения составляет не более 32%.