ФУНКЦИЯ РЕАГИРОВАНИЯ: СТРАТЕГИЧЕСКИЕ ДОПОЛНИТЕЛИ И СУБСТИТУТЫ

Рассмотрим одновременную игру между (для упрощения) двумя фирмами. Допустим, что каждое действие принадлежит вещественной прямой и что функции прибыли П*(а*,а^) дважды непрерывно дифференцируемы по действиям.

П|(а?,а*) = 0, (2)

где подстрочный индекс означает частную производную (например, П] = = дИ1 /дай. Условие второго порядка заключается в том, что при а{ = а* функция имеет локальный максимум:

П!,(о*,о>) < о. (3)

Допустим, что функция прибыли каждой фирмы повсюду строго вогнута: П|^(а*,ар < 0 для всех (а,,а7). Таким образом, выполняется условие второго порядка и, более того, условие первого порядка, заданное уравнением (2), является достаточным для равновесия Нэша. В таком случае равновесие Нэша представлено системой двух уравнений с двумя неизвестными (2).

Обозначим Л;(а^) — наилучшее действие фирмы г при условии, что фирма ] выбирает действие а^:

П|( Дх(а7), ау) = 0. (4)

а,- = йг(а^) — единственное решение, вытекающее из нашего предположения о строгой вогнутости,348 и оно называется реакцией г-й фирмы на aj. Равновесие Нэша представляет пару действий (а*, а^), таких, что а* = Дх(а|) иа^ = Яг (я*)- При этом равновесии каждая фирма оптимально реагирует на ожидаемое действие другой фирмы.

Решающим элементом II части является знак наклона функции реагирования для различных стратегических переменных, которые мы рассматриваем.

Этот наклон можно получить дифференцируя уравнение (4):

П|Д Ri{dj),aj)

(5)

П|;№Ю> aj)

Таким образом, мы имеем: знак (Щ) = знак (П| •). П| • — это перекрестная частная производная (cross-partial) функции прибыли г-й фирмы, т. е. производная ее предельной прибыли по действиям ее оппонента. Кривая реагирования имеет восходящий наклон при > 0 и нисходящий при П*^ < 0.

лоу, Джинакоплосом и Клемперером349 мы тоже будем рассматривать действия двух фирм как стратегические дополнители при П) • > 0 и как стратегические

субституты при П] • < О.350 Позднее мы убедимся, что цены часто являются стратегическими дополнителями, а производственные мощности — стратегическими субститутами. 4

Построение функций реагирования в игре с одновременным ходом (simul- taneous-move game), показанное на рис. 2, не более чем технический и иллюстративный пример. По определению одновременного выбора, фирма действует прежде, чем узнает о действии своего оппонента. Следовательно, у нее нет возможности реагировать. Функции реагирования показывают, что фирма предприняла бы, если бы ей было известно об изменении в стратегии ее оппонента (чего в действительности она не знает). На самом деле на кривой функции реагирования не наблюдается других точек, кроме точки Нэша.

Функции реагирования имеют чисто экономическое содержание в динамических (последовательных) играх. Например, если фирма г выбирает а, первой, а фирма j наблюдает этот выбор прежде, чем сделает свой выбор aj, то фирма i может использовать функцию Rj, чтобы узнать, как изменение в ее поведении влияет нА поведение ее оппонента.