ЖЕСТКОСТЬ ЦЕН И ЛОМАНАЯ КРИВАЯ СПРОСА

КРИТЕРИЙ ОДНОПЕРИОДНОГО ОТКЛОНЕНИЯ

Читатель, возможно, будет озадачен утверждением, что для обеспечения оптимальности стратегий (йь Ят) недостаточно отклонения от состояния равновесия в одном периоде, даже если оно принесло прибыль; действительно, при расчете У1(р2) в момент ? мы предположили, что реакция фирмы 1 в моменты t + 2,t + 4,...

43См. Дополнительный раздел этой главы, где приведено аналогичное использование данного условия. Формально пусть F(pt\Qt) обозначает условное кумулятивное распределение цены на совокупном выпуске с плотностью /(рх|если

Возможно ли, чтобы одно отклонение от R\(-) в момент t не было прибыльным, тогда как последовательность отклонений от R\() в моменты t,t + 2,... будет приносить прибыль? Ответ: нет. (Последующее объяснение применимо к более общим играм и особенно к супериграм, рассмотренным в разделе 6.3). Во-первых, конечная последовательность отклонений (от цены) в течение п периодов не может быть прибыльной для уклоняющейся фирмы, если не приносит прибыли отклонение в одном периоде; а отклонение при п периодах сводится к сумме однопериодных отклонений. Таким образом, если фирма получает выгоду при п отклонениях, она получает ее a fortiori от первых п — 1 отклонений. Если мы исключим последнее отклонение, то (п— 1)-е отклонение станет однопериодным отклонением и, следовательно, не будет оптимальным, и т. д. Теперь рассмотрим бесконечную прибыльную последовательность отклонений от Ri(•). Если она будет все время приносить дополнительный выигрыш ? > 0 по сравнению со следованием тогда (поскольку 6 < 1 влияет на то, что отдаленное будущее становится практически незначительным в терминах выигрышей) только первые п отклонений приносят дополнительный выигрыш ?* > 0 для довольно больших п.

УРАВНЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Для упрощения обозначения найдем необходимые и достаточные условия, соответствующие симметричному равновесию; это такие условия, при которых Rx = R2 = R. Соответственно мы больше не будем обозначать переменные индексами фирм. Предположим, что существует конечное число возможных цен Ph- R мы представим как цепь Маркова. Это значит, что существует конечное число возможных состояний, каждое из которых характеризуется ценой, которая уже была назначена одной из фирм. Функция реагирования определена как переход из текущего состояния в новое, в котором появляется новая цена, выбранная другой фирмой, как ответная реакция на текущее состояние. Пусть ahk ^ 0 будет переходной вероятностью того, что фирма (1 или 2) реагирует на цену ph путем установления цены рк'.

к

И наконец, пусть П(р*,Р/0 будет одномоментной прибылью фирмы (1 или 2), если ее цена составляет р^, а цена конкурента — р

Введем ценностные функции динамического программирования. У^ — дисконтированная ценность прибыли фирмы, которая назначает цену, когда другая фирма установила цену р^ в предыдущем периоде. Дисконтированную ценность прибыли второй фирмы обозначим И^. Используя наши обозначения, получим

Ук - шах[П(рьРл) + bWk].

Рк

Отсюда следующие уравнения:

к

Wk ~ 5^вЛ/[П(рЬР/) + Щ,

I

[Vh-n(PkiPh) - 6Wk]ahk = 0, (6.17)

Ун > Щрьрл) + &Wk, k

ahk > 0.

В двух первых равенствах просто используется определение функций К и W. Третье — отношение дополнительного бездействия (slackness). Для того чтобы цена рк стала оптимальной реакцией на установление цены ph в максимизирующей деятельности, ассоциируемой с первым уравнением (а^к > 0), дисконтированная ценность, соответствующая рк, Tl(pk,ph) + &Wk* должна достигать максимума при рк.

Набор уравнений (6.17) имеет неизвестные {V^, Wk, ahk}- Нас интересует только ahk» которая определяет функции реагирования.

Чтобы проверить, образуют ли равновесие стратегии ломаной кривой спроса вз раздела 6.4.1, достаточно определить Vь и Wh Для всех h из числа предполагаемых стратегий и проверить, удовлетворяются ли (6.17).

Упражнение 6.10**. Вычислите ценностные функции для стратегий, приведенных в разделе 6.4.1, вычислите а и проверьте, находятся ли стратегии в равновесии для 6, близкой к 1. 6.7.2.3.

ПРИБЫЛИ, ОТЛИЧНЫЕ ОТ НУЛЯ

В тексте констатировалось, что прибыли не могут быть близки к конкурентной прибыли при совершенном равновесии Маркова. Покажем, что при симметричном равновесии средняя прибыль отрасли за период должна превышать П(рт)/2, где П(р) = (p-c)D(p) для 6, близкой к 1. (Существует в основном аналогичное доказательство того, что даже при асимметричном равновесии хотя бы одна фирма должна получить среднюю прибыль не меньше П(рт)/4).

Пусть V(p) и W(p) обозначают сегодняшнюю дисконтированную ценность прибылей фирмы, которая назначает цену, и ее соперника. Ценовая сеть предполагается дискретной45 с шагом к, где к «мало* (т. е. цены измеряются в центах). Пусть рт обозначает монопольную цену, и рассмотрим цену рт + к. Пусть р* будет наименьшей ценой, при которой

max ( max [П(р) + SW(p)], ^ + 6W(pm + к), max 6W(p) ] .

\р<рт+к 2 р>рт+к )

I

45Причина для применения дискретной ценовой сетки является чисто технической. Даже а статических условиях оптимальная реакция фирмы на цену конкурента не опре- | делена полностью для совершенных субститутов и непрерывной ценовой сети (так как [ фирма в общем предпочтет максимально приблизиться к цене конкурента, оставаясь ? строго ниже этой цены). Тогда реакция фирмы на рт + к будет не меньше р*.

Случай а: р* > рт.

Начиная с любой цены выигрыш каждой фирмы при игре составит по крайней мере

62{Щрт - к) + 6\У{рт - к)]

с того момента, как она сможет поднять цену до рт + к и затем, после реакции конкурента (которая превышает рт), снизить ее до рт — к.

ичРт - к) > а3[п(рт - *) + б\?{Рт - *)].

Таким образом, и, следовательно,

«2[п(Рт - к) + т'(Рт - *)] >

Таким образом, межпериодная прибыль каждой фирмы составит по крайней мере

( 62 \ П(рт - к)

\1 + б + б2 + бз; 1-6 ’

когда она назначает цену, и по крайней мере 6 раз таких величин при выборе ею цены прошлого периода. Для 6, близкой к 1, прибыль составит по крайней мере

і (ЩРт-к)\ Л і-« )’

что соответствует попериодной прибыли *

П(рт — к)

4 ’

близкой к

п(рт)

4

для хорошей ценовой сетки.

Случай б: р* < рт.

«Имеем

П(р*) + Ш(р*) > П(рт) + 6іУ(рт).

С другой стороны,

Щрт) > '(р*).

Последнее неравенство соблюдается, так как фирма, связанная с рт, в худшем случае может снизить цену до р* или отреагировать на р* установлением той же цены р*. Если ее соперник назначает цену р > р*, фирма при снижении цены до р* по крайней мере получит прибыль

ЯП(р*) +^(р*).

Умножая первое неравенство на 8 и прибавляя два неравенства, получаем

(1 - итр") > — (щги - Нр) .

Исходя из определения монопольной цены получаем

пен-Ир г НС!

и 8 1

1-8 2

для 8, близкой к 1. Таким образом, вновь средняя величина прибыли одной фирмы за один период превышает 1 /4 монопольной прибыли.

Можно показать далее, что при равновесии ломаной кривой спроса прибыль каждой из фирм за один период превышает 4/7П(рт) для 8, близкой к 1. Наоборот, множество фокальных цен (устойчивых сочетаний для некоторого равновесия ломаной кривой спроса) есть в точности набор цен р, меньших рт, таких, что П(р) > 4/7П(рт), и больших рт, таких, что П(р) > 2/ЗП(рт). Таким образом, даже если и не существует приблизительного конкурентного равновесия, имеется большое число равновесий. 6.7.2.1.

РАВНОВЕСИЕ, ДОКАЗЫВАЮЩЕЕ НЕОБХОДИМОСТЬ ПЕРЕПЕРЕГОВОРОВ

Пусть р обозначает цену ниже рт, такую, что

(1 + *)П(р) > > (1 + й)П(р - к)

(где, как и прежде, к — шаг ценовой сетки). Заметим, что для 8, близкой к 1,

ч П(рт)

П(Р> - -7-^.

и предположим следующую симметричную функцию реагирования:

если р < р < рт,

К

в противном случае.

Упражнение 6.11**. Покажите, что (#*, Я*) образует совершенное равновесие Маркова для 8, близкой к 1.

(Л*, R*) становится единственной парой равновесных функций реагирования, которая приносит среднюю отраслевую прибыль, близкую к П(рш) для <5, близкой к 1 (см. [52]). Это свойство тривиально подразумевает, что это единственное симметричное равновесие, доказывающее необходимость переперегово- ров при 6, близкой к 1- (Оно доказывает необходимость пересмотра договора, так как любое другое равновесие приносит меньшую агрегированную прибыль, а следовательно, меньшую прибыль, по крайней мере для одной из фирм; более того, начиная с любой цены любое другое симметричное совершенное равновесие Маркова приносит меньше прибыли обеим фирмам, чем это, и, следовательно, фирмы будут иметь побуждение к перепереговорам, чтобы достичь такого равновесия). 6.7.3.