рг = вгР{яи + 92*),
где 0* — независимый и равномерно распределенный мультипликативный шок спроса в момент распределенный в соответствии с кумулятивной функцией Фирма г наблюдает только р*, но не 0* и Пусть
П(9) = ЩвР(2Ч) - с),]
и
обозначает ожидаемую попериодную прибыль при выпуске каждой фирмы и пусть
ПЧщ,вс) = Е[(вР(«+ ?')-<:)«]. в
Предположим, что ценовая война начинается, когда р* падает ниже некоторого порогового уровня р+. Таким образом, если выпуски фирм и qj, вероятность возникновения ценовой войны будет
Пусть а+ и qc обозначают выпуски фирм в фазе соглашения и в фазе наказания (д+ < 9е). Заметим, что существует ограничение, согласно которому наказание должно иметь вид Курно. 1.
Используя замечание в тексте, покажите, что
V+ = П<«!1 + п(<г+)-п(?с)
1 -6 1-а+6т+< ~(1-а+)6’
где а+ = а(д+,д+). 2.
Используя то же замечание, покажите, что оптимальный выпуск q+ приводит к цене и длительность наказания Т задается требованием
шах У+
{я+,р+,Т}
при ограничении
dJ[\ + +\ Сдаг + +ч ( ЩЯ+)-ЩЯС) ^:T^
) = %У'Ч ) lr-aTewr:(Г-*+)б)(1 -6 >•
(Оптимальное Т может быть конечным или бесконечным). 3.
Используя интуитивное предположение, докажите, что ?+ > ?m, где qm максимизирует ожидаемое (9P(2q) — c)q. (Указание: объясните в терминах первого и второго порядков эффекты, возникающие при q+ — 9т). Покажите, что q+ приближается к qm, когда величина шума близка к нулю (распределение в становится вырожденным).
Равновесие Грина—Портера (описанное в упражнении 6.9) оптимально в ограниченном классе стратегий. Во-первых, наказания сведены к наказаниям Курно, тогда как существуют еще худшие наказания (предположения об этом могут быть сделаны на основании выводов раздела 6.7).
Во-вторых, ценовая война развязывается при цене pt, которая ниже порогового уровня р+, так что само снижение цены до pt значительной пользы не приносит. Таким образом, данная модель предполагает особые формы фазы сговора и фазы наказания. Эбрю с соавторами [4, 5] рассматривали оптимальные стратегии сговора без ограничений на класс стратегий. Существуют два предположения, позволяющие этим авторам получить новые результаты, а именно, что целевая функция данных фирм вогнута и что условное распределение рыночной цены pt при данном общем выпуске Qt удовлетворяет значению «монотонного отношения правдоподобия* («monotone likeli hood ratio property*, MLRP). Неформально последнее условие значит, что низкое значение pt является скорее следствием высокого Qt, чем низкого.43Эбрю с соавторами показали, что можно на самом деле ослабить внимание к фазам сговора и наказания характеризующимися выигрышами и V~, где У+иГ являются наилучшим и наихудшим значениями из общего числа симметричных совершенно-равновесных выигрышей. Более того, фаза сговора и фаза наказания принимают простые формы. В фазе сговора выпуск продукции для обеих фирм составляет д+. Фаза наказания включается хвостовым тестом (tail test), т. е. начинается, если рыночная цена падает ниже некоторого порогового уровня р+. Таким образом, фаза сговора имеет качественное сходство с моделью, предложенной Портером и Грином [44, 65]. Однако длительность фазы наказания не фиксирована, хотя она сходна с фазой сговора. Выпуск каждой из двух фирм (предположительно высокий) составит q~. Если рыночная цена превышает пороговую цену р~, фаза наказания будет продолжаться дольше; если она ниже р~, то игра возвращается к фазе сговора. Таким образом, эволюция между двумя фазами следует марковскому процессу. Возможно, читателя удивит «обратный хвостовой тест» фазы наказания. Но дело в том, что жесткое наказание требует высокого выпуска (даже выше индивидуально желаемого); для того чтобы гарантировать фирмам высокий выпуск, необходимо, чтобы в случае высокой цены (которая предупреждает о снижении выпуска) игра оста-
валась в фазе наказания.416 6.7.2.