ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Почему же для нас представляет интерес изучение трех (или более) подходов к ценовым соглашениям? С точки зрения циника, при отсутствии строгой проверки мы не можем говорить о состоятельности или несостоятельности того или иного подхода. Но возможно, что это именно тот случай, когда необходимо «теоретическое разнообразие». Как упоминалось во введении, большое многообразие типов поведения в различных отраслях может оправдать умножение теорий. Таким образом, подходы, рассмотренные в данной главе, и иные, не указанные здесь, будут скорее дополнять, чем опровергать друг друга.

Итак, перед нами встают три важнейших вопроса по поводу «сравнительного моделирования», которые лишь частично поставлены в этой главе и в литературе. Как можно проверить различные подходы? Какой из них является более применимым к конкретной отрасли? Приводят ли они к различиям в политике? Эти трудные вопросы должны иметь приоритет в программе исследований. 6.6.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ РАЗДЕЛ.

ДИНАМИЧЕСКИЕ ИГРЫ И ТАЙНЫЙ СГОВОР 6.7.1.

ТАЙНЫЕ СНИЖЕНИЯ ЦЕНЫ 6.7.1.1.

ЦЕНОВАЯ КОНКУРЕНЦИЯ

Для формализации предположения, выдвинутого в разделе 6.3.3, построим модель тайного сговора в условиях несовершенной наблюдаемости цен. Поскольку модель Грина—Портера не является моделью ad hoc в том, что касается количественной конкуренции, и потому предполагает присутствие аукциониста (если мы всерьез принимаем допущение об информации), мы откажемся от нее, предположив прямую ценовую конкуренцию.414 Таким образом, мы примем предположение Стиглера [80] о том, что фирмы не наблюдают цен своих соперников непосредственно, но делают выводы о них (несовершенно) по размерам спроса на свою продукцию. Тем не менее анализ следует духу модели Грина—Портера.

Структура игры та же, что основной суперигры. Две фирмы назначают цены каждый период. Их товары являются совершенными субститутами и производятся при постоянных предельных затратах с, так что потребители покупают товар у фирмы с наиболее низкой ценой. Величина спроса делится пополам, если фирмы назначают одинаковую цену. Для каждого периода существуют два возможных состояния. С вероятностью а на продукцию дуополистов не существует спроса («состояние низкого спроса»); и с вероятностью (1 — а) существует положительный спрос D(p) («состояние высокого спроса*). Монопольную цену и монопольную прибыль в состоянии высокого спроса обозначим как рт и Пт. Предположим, что величина спроса равномерно и независимо распределяется во времени.

Фирма, которая не смогла продать товар в определенный момент, не в состоянии определить, произошло ли это вследствие низкого спроса или низкой цены соперника. А такая ситуация, когда хотя бы одна фирма не получает прибыли, вполне возможна. Если это произошло вследствие падения спроса, ни одна из фирм не получит прибыли. Если это произошло вследствие того, что одна из фирм снизила монопольную цену, она знает, что другая фирма не получила прибыли.

Очевидно, функция спроса «все или ничего» является очень надуманной.

Если игра неповторяема или повторяема конечное число раз, обе фирмы назначат конкурентную цену с (исход Бертрана). В бесконечно повторяемой версии игры мы рассматриваем равновесие с точки зрения следующих стратегий: существуют фаза сговора и фаза наказания. Игра начинается в фазе сговора. Обе фирмы назначают цену рт до тех пор, пока одна из них не получит нулевую прибыль (как было отмечено выше, так что это обнаружат обе фирмы, даже если фирма не наблюдает прибыли соперника).41 Появление нулевой прибыли открывает фазу наказания. Обе фирмы назначают цену с на Т периодов, где Т a priori может быть конечно или бесконечно. По окончании (если оно наступает) фазы наказания фирмы возвращаются в фазу сговора и назначают цену рт так долго, как долго прибыли обеих фирм будут положительны.

Теперь рассмотрим продолжительность фазы наказания, которая продлится до того момента, пока ожидаемая дисконтированная ценность прибыли каждой фирмы не достигнет максимума при том ограничении, что соответствующие стратегии приводят к равновесию.

В фазе наказания стратегии всегда оптимальны. Когда соперник придерживается конкурентной цены в течение Т периодов, ни одна фирма не может сама улучшить эту конкурентную цену.

Пусть V+ (соответственно V~) обозначает сегодняшнюю дисконтированную ценность прибыли фирмы с момента t и далее; и предположим, что в момент t игра находится в фазе сговора (соответственно начинается фаза наказания). В стационарной ситуации и V~ не зависят от времени. По определению, имеем и

У~=6ТУ+. (6.11)

Равенство (6.10) говорит, что в фазе сговора обе фирмы назначают цену рт. С вероятностью 1 — « спрос высок, каждая фирма получает прибыль Пт/2, и игра остается в фазе сговора, так что обе фирмы имеют оценку У+ в каждом следующем периоде.

Наконец мы должны учесть «ограничение стимулов», которое состоит в том, что ни одна из фирм не идет на снижение цены в фазе сговора:

У+ > (1- а)(Пт + ?У-) + а(?К_). (6-12)

Это неравенство характеризует компромисс (<;гас1е^1) для каждой фирмы. Если фирма снижает цену, она получает Пш > Пт/2. Однако снижение цены автоматически приводит к фазе наказания, которая приносит У~ вместо У+ (это происходит лишь при высоком спросе; если же спрос низкий, ничего не изменяется). Таким образом, чтобы распознать снижение цены, У~ должно быть значительно ниже К+. Это значит, что наказание должно длиться довольно долго. Но так как наказание является дорогостоящим и вероятность его положительна, Т должно быть выбрано столь малым, сколь это необходимо для того, чтобы удовлетворялось неравенство (6.12). Математически уравнение (6.12) эквивалентно (с использованием (6.10))

ТТЛ!

. (6.13)

С другой стороны, уравнения (6.10) и (6.11) дают

+ __Ц^_а)П1/2 ... 1 - (1 - а)6 - ( '

(1-а)*тП"72 1-(1-а)«-а«г+'' * *

Подставляя (6.14) и (6.15) в уравнение (6.13), после преобразований получаем

1 < 2(1 — а)б + (2а - 1)<5Т+1. (6.16)

Так как игра начинается с фазы сговора, максимальную прибыль фирмы могут получить, руководствуясь следующей программой:

шах

при ограничении (6.16).

Легко проверить, используя уравнение (6.14), что V* является убывающей функцией Т, т. е. длительные наказания снижают ожидаемую прибыль. Таким образом, мы должны выбрать минимально возможное Т в соответствии с уравнением (6.16) (тот факт, что равенство (6.16) не выполняется при Т = О,

подтверждает наше замечание — рассматриваются только непренебрежимые наказания). Правая часть (6.16) возрастает с Т, если и только если а < 1/2. Таким образом, при а > 1/2 не существует Т, удовлетворяющего неравенству (6.16). К тому же интуиция подсказывает, что соблазн снижения цены возрастает, когда снижается прибыль, ожидаемая от поддержания сговора. Если а < 1/2, правая часть (6.16) будет максимальна при Т = + оо.

Предположим, (1 — а)<5 >1/2 гарантирует, что высокая цена будет поддерживаться использованием максимальных наказаний (Т = +оо). Это обобщает условие детерминированного спроса, которое соответствует условию а = 0 (см. раздел 6.3).

Чтобы максимизировать У + при данном стимулирующем ограничении (6.16), достаточно выбрать наименьшее Т, которое удовлетворяет данному стимулирующему ограничению. Таким образом, мы получим оптимальную (конечную) длительность наказания.415

Упражнение 6.8**. Рассмотрите действие модели Грина—Портера с ценовой конкуренцией при условии, что спрос распределяется независимо и равномерно для обеих фирм (возьмите два состояния: отсутствие и наличие спроса). Найдите оптимальную длительность фазы наказания. Покажите, что при вероятности отсутствия спроса а — 1/4 6 должна превышать 2/3, чтобы сговор мог поддерживаться. Покажите также, что необходимы по крайней мере два периода наказания. 6.7.1.2.