ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ

Для радикальной инновации

Vе = iD(pm(c))[pm(c) - с].

Fm = i{0(pm(c))[pm(c)-c]- -?,(pm(c))[pm(c) — с]} < Vе, 1

fZ Vs = - I D(c)dc. r Jc

Рис.

Упражнение 10.2 1.

Когда удельные затраты снижаются, монополия снижает свою цену. Таким образом, излишек потребителя увеличивается. Отсюда Wm > Vm. Аналогично в случае конкуренции потребительские цены снижаются, если инновация не является нерадикальной, излишек потребителя не изменяется и Wc = V с. (Единственным результатом инновации будет снижение затрат). 2.

Для радикальной инновации ex post благосостояние (когда затраты равны с) одинаково для обоих случаев (монополии и конкуренции). Но ex ante благосостояние в случае конкуренции выше, чем в случае монополии. Следовательно, изменение благосостояния больше в случае монополии: Wm > Wc.

Пусть Wm(c) обозначает благосостояние при монополии и затратах с. Тогда Wm = Wm(c) — W'm(c). То же самое для Wc. Для нерадикальной инновации

dWc Для линейного спроса таким образом, dWm 3,

-dT = -4(°-b?)

dW

= —(a — 6c).

dc

Для очень незначительной инновации с ~ с; следовательно, ТУт < \?с.

Когда инновация становится значительной (радикальной),

а + Ьс 26 = С

и dWm 3,

Это означает \Ут > \?с* что подтверждает наш последний результат — неравенство в самом деле верно для радикальной инновации. В общем случае легко показать, что IV т < IVе для малых инноваций и \Ут > IVе для больших, нерадикальных.

Упражнение 10.3 Ценность равна

(а — 6с)2 (о — 6с)2 46 6(n -f I)2 *

Упражнение 10.4

Пусть А = с — с, D = 1 — 6с и С = 1 — е~гТ. Если снижение затрат Д обходится в К А2 (2, фирма максимизирует

V(() = та* ДВ - ,

что дает

Д(0 = ^Д.

Чем дольше действие патента (т. е. чем выше ?), тем больше снижение затрат.

w(0 = V(0 + (~^j (од«) + ^Д(С)2) Но из теоремы об огибающей дУ/д( = ЛР/г. Таким образом,

= ?5!. Л-Л ^ бс^\ _ I(а? ь с2Р2\ _

<*С г2К V г )\тК т2К2) г \ тК 2 т2К2) ’

откуда

|бС2 + (г К - Ь)С - г К = 0.

Положительное решение находится между 0 и 1, так что оптимальная длительность действия патента конечна. Дифференцирование этого уравнения и использование условия второго порядка показывают, что < 0; таким образом, снижение эластичности спроса требует увеличения длительности действия патента. Изобразите график и сравните прибыль фирмы с потребительским излишком при различных значениях эластичности спроса.

Упражнение 10.5646 1.

Вероятность того, что ни одна из фирм не сделает открытия к моменту t, равна

ехр {-МУ) + (п - 1)Л(*)Ю-

Пусть фирма 1 избирает интенсивность у и пусть фирмы 2,3избирают интенсивность х. Ожидаемая прибыль фирмы 1 будет

Л ] Л(Ю + (п-1Ж*) + г-

Положив Н(х) = (п — 1)/1(ж) и дифференцируя по у, получаем условие второго порядка:

[Н(х) + г][к'(у)У - 1] - к(у) + Ы(у)у - 0. (10.4)

(Целевая функция является строго вогнутой). Условие второго порядка (10.4) дает сШ/с1Н > 0. Таким образом, фирма 1 ускоряет свои исследования либо когда увеличивается число соперников, либо когда эти соперники увеличивают интенсивность своих исследований. 2.

Симметричное равновесие Нэша задается х — Я(х) или

[(п - 1)/г(аг) + т*]— 1] — к(х) + к'(х)х = 0. (10.5)

Предположим, что левая часть уравнения (10.5) убывает с х. (Это выполняется при «условии стабильности*, согласно которому кривая реагирования не очень крута — см. [54, р. 432]). Левая часть уравнения (10.5) положительна при *х = 0 (так как Л'(0) = +оо) и отрицательна при х = +оо (так как /г'(оо) = О и Д" < 0). Следовательно, существует единственная равновесная интенсивность х*(п). Дифференцируя уравнение (10.5), получаем

[-]Лс* + {/1(х*)[/1'(х*)У - 1]}<*п = 0,

где [—] означает отрицательное выражение (отрицательность следует из условия второго порядка). Но из вогнутости Н и того, что к(0) — О,

1г(х) > хИ^х).

Таким образом, уравнение (10.5) означает, что

Ы(х*)У - 1 > 0.

Итак, мы получаем

<1х*

ЛГ>0-

Социально оптимальные расходы каждой фирмы в единицу времени ниже х*.

Упражнение 10.6647 1.

Ожидаемая прибыль фирмы 1 есть

ГТ

П1(/>ь/>г)= / и(Т “ *)/(*>Л1)[1 ~ — С{р\).

./о

= - [ у(Т - г)/(г,р1)Рр(г,р2)& =

70

= - ^ Рр(з,р2)]<1^

+ ^ »(-/ + (т - *)/*) ^ Л =

=" Сч/ ~(т ? *)л) ОТ г^р2)^)

после чего интегрируем по частям. Однако /0* Рр > 0 для всех откуда получаем желаемый результат. 2.

В ситуации равновесия Нэша {р*,р*}

дП1 Л

• -— = 0.

дрг

Таким образом,

й ЯП1

из 1. Для более общего случая пусть {р*,р*} означает симметричную ситуацию равновесия Нэша в выборах технологий и пусть {р,р} означает симметричные совместные максимизирующие прибыль альтернативы. Мы знаем, что

пЧлл-пЧл/ио

(по определению равновесия Нэша) и что

пЧйй-пЧ/ЛЛ >о

(из совместной максимизации прибыли). Суммирование этих двух неравенств дает

пЧйй-пЧйЛ >о.

что означает, согласно 1, 'р < р*.

Упражнение 10.7

Предположим, что только фирма 1 освоила ноБую технологию. Окончательное положение х дается

(б -|- As) — Pi — tx = S — P2 — t{\ — X).

Функции спроса тогда

t + As + p2-pi 21

t - As + pi - p2 21

В равновесии Нэша

As

Pl=C+t+—, p2=c+t-

(t + A^/3)2 2 _ (t- As/3)2 21 ’ 21

Таким образом, П1 + П2 = t + (As)2/Zt ~ t для As мало. Условие As/3 < <

t означает, что фирма 2 продолжает действовать. Ситуация равновесия для случаев, когда или ни одна из фирм не освоила, или обе освоили технологию, •аналогична описанной в главе 7.

Последователь имеет стимул оставаться им: это увеличивает его прибыль

на

для малого Дз. При предположении, сделанном в данном упражнении, это увеличение положительно. Имея более существенные качественные улучшения.

лидер вытесняет соперника с рынка, осваивая инновацию. Таким образом, прибыль от освоения первым является очень важным фактором и равновесие предполагает раннее опережение.

Упражнение 10.8648 1.

П1 + Пз < ГГ]111 есть эффект эффективности. П* < < означает, что новая технология превосходит первоначальную технологию укоренившейся фирмы. 2.

Оптимальный момент для последователя задается

гС(т[) + = па - п?

и (для фирмы 2)

гС(7?) + |С"(2?,)| = 1Г1.

Таким образом, Т[ > Т^, благодаря тому что рассматриваемая фирма уже получила прибыль до освоения. 4.

Рассматриваемая фирма обгоняет в момент Т2» такой, что ?3(^2) =

= ад). 5.

Предположим, что старая технология позволяет новичку производить товар с затратами с и что «новая» технология также допускает производство с затратами с. Очевидно, что лишь новичок всегда осваивает эту новую технологию (напомним, что она не является чьей-либо собственностью; более того, укоренившаяся фирма может положить на полку соответствующий патент).

Упражнение 10.9

Для Д = 0 сумма двух прибылей (специализирующейся фирмы и производителя) равна Пт(с). Таким образом, получена вертикально интегрированная прибыль. Фиксированный взнос в таком случае используется для раздела этой прибыли.

Упражнение 10.10

По предположению,

?[П1(С,С) + П2(С,С)]<0.

Но в силу симметрии

= ^[п1(с,с) + п2(е,с)]<°.

С2 = С

Таким образом, прибыль отрасли увеличивается, когда затраты одной из фирм снижаются почти до того же уровня.