СОСТЯЗАТЕЛЬНОСТЬ

Фирмы выбирают свои мощности последовательно (эта модель на самом деле эквивалентна модели с непрерывным временем, где фирмы выбирают мощности К, которые, как и в работе Итона и Липси [33], снашиваются в стиле «пролетки», но в соответствии с пуассоновским процессом, т. е. Н стохастично).7*

71 Рассмотрим модель с непрерывным временем и ставкой процента г. Пусть , К2) обозначает поток валовой прибыли фирмы г в единицу времени. Когда фирма выбирает мощность, ее период связывания стохастичен. Вероятность того, что связывание истечет между моментами t и t + At, независима от времени и равна АДt. Можно представить эту технологию в виде неопределенного срока службы (независимость амортизации от времени, очевидно, является слишком сильным предположением). Пусть Vх (Kj) (соответственно W*(/i\)) обозначает сегодняшнюю дисконтированную ценность прибыли фирмы г, когда она обновляет свой капитал и реагирует на наличный капитал Kj фирмы j (соответственно, когда фирма j обновляет свой капитал и реагирует на наличный уровень капитала Ki фирмы г). Из динамического программирования имеем

V*(K2) = maxlfll1 (A'i, К2) - f]At + АДtW1 (Ki )e~rAt + (1 - АД*) Vі (K2)e~rAt},

что дает

ПЧ^ьУг)-/, А н,,

А + г А + г

(К 2) = шах

Таким образом, модель с непрерывным временем эквивалентна модели последовательного

Фирма 1 накапливает мощности в нечетные периоды, а фирма 2 — в четные.72 Фирма выбирает мощность в течение двух производственных периодов и в первый из них поглощает постоянные затраты: /(1 + 6) для мощности К > 0 и нуль для К = 0.

Пт = тах[Р(К)К - (с + со)Л'],

К

где с — предельные затраты производства;

Со — предельные затраты установления мощ- ь

ности. Предположим, как и раньше, что / < Пт < 2/. Значит, одна фирма жизнеспособна, но две — нет. Требуется, чтобы были стратегии Маркова (т. е. имели отношение к «выигрышу») — это значит, что фирма г реагирует на мощность А’^, выбранную соперником в последнем периоде, и, выбирая мощность К{ = Я*(А^) на текущий период, все еще остается на своем месте.73

Как и в работе Итона и Липси, существует единственное симметричное равновесие. При достаточно большой 6 оно принимает следующую форму, проиллюстрированную на рис. 8.16. В равновесии действует только одна фирма с уровнем мощностей Л'*; фирма предпочитает входить тогда и только тогда, когда мощность ее соперника ниже сдерживающего вход уровня К*\ если она входит, то сама аккумулирует мощность К*. В состоянии равновесия К* таково, что новой фирме безразлично, входить или нет:

[ЩК\1П - Я + - /] = 0. (8.6)

Это уравнение отражает и тот факт, что после входа новая фирма получает П(Л'*,А'*) — / < 0 (вспомним, что 2ЩК\К) < Пт < 2/ при всех К). В следующий период укоренившаяся фирма выходит и новичок становится монополистом, который сдерживает вход, навсегда выбирая К*. Тогда будущие

хода с дискретным временем и функцией валовой прибыли

П'(*ьЯ2)нП,(М)

А + г

и дисконтирующим множителем

6 =

А + Г

Уравнения динамического программирования в рамках дискретного времени см. в следующем разделе.

72Если мы делаем время эндогенным фактором, позволяя фирмам выбирать свои мощности, когда они этого хотят, с тем условием, что, как только мощности выбраны, они на два года «запираются», симметричное равновесие оказывается точно таким же, как описано ниже. (Другой способ «эндогенизации» времени описан в прим. 71).

73Другими словами, стратегии не зависят от истории игры, которая не имеет отношения к выигрышам.

прибыли новичка задаются

<[П(/Г,0) - Я - Й2[П(Л*,0) - Л + • • • = ^1~1(Л1‘-°)~/]-

Укоренившаяся фирма выбирает свои собственные мощности так» чтобы только задержать доступ; накопление мощностей, превышающих К*, является дорого- стоящим, поскольку, как мы скоро увидим, К* уже превышает монопольную мощность Кт.

В результате мы имеем следующее.

Теперь мы исследуем случай краткосрочного связывания (где Т стремится к 0, т. е. 6 стремится к 1). Из уравнения (8.6) видно, что, когда 6 сходится к 1, П(А'*,0) — / сходится к 0. Это значит, что прибыль монополиста сходится к О (в частности, заметьте, что К* превышает Л'т). В случае такого варианта растраты ренты интуиция подсказывает то же самое, что и прежде. Существующая фирма может в полной мере распоряжаться полученным преимуществом только тогда, когда она может вовлечь новичка в дуопольные убытки на достаточно продолжительное время. Новичка привлекает перспектива стать монополистом после всего лишь короткой схватки, так что в целях удержания входа укоренившаяся фирма должна повышать свою мощность.

Важным отличием от предыдущей модели является то, что растрачивание ренты не обязательно оказывается расточительством. В самом деле, если мощности К* укоренившейся фирмы используются полностью (т. е. выпуск д равен К*), растрачивание имеет общественную пользу. Оно проявляется через снижение цен, а не через избыточные мощности. В пределе исход совпадает с результатом, предсказанным школой состязательности (см. раздел 8.1). Использует ли монополист все свои мощности К* — это вопрос эмпирический. Как и в главе 5, установленные мощности К* используются в том случае, если предельные инвестиционные затраты, со, достаточно велики по сравнению с предельными затратами производства, с.

При меньших значениях дисконтирующего множителя вход блокируется. Устоявшаяся фирма задерживает доступ, накапливая мощности.

ОТСУТСТВИЕ ПОСТОЯННЫХ ЗАТРАТ:

ДИНАМИКА КОНКУРЕНЦИИ КУРНО

В двух предыдущих моделях мы предполагали существование значительных постоянных затрат, которые делали отрасль естественной монополией.

Рассмотрим модель конкуренции мощностей с последовательным ходом из предыдущего раздела, но предположим, что фирмы не несут постоянных затрат (/ = 0). (Наш анализ следует представленному в работе [85] и основывается на более ранней модели [25]).

Фирма 1 выбирает мощности в нечетные периоды (они потом на два периода запираются и могут быть свободно заменены только по истечении этих двух периодов), а фирма 2 — в четные. Приведенная прибыль фирмы г в момент < равна

оо

Как и прежде, мы делаем обычные предположения о функции прибыли: П

< 0, < 0. Мы ищем пару динамических функций реагирования, /?](•) и Д2( )» которые формируют совершенное равновесие Маркова. Значит, если наличная (запертая) мощность фирмы 2 А'2, то фирма 1 реагирует, выбирая мощность К\ = Я\(К2)* с целью максимизировать свою сегодняшнюю дисконтированную прибыль при условии, что затем обе фирмы будут ходить в соответствии СЙ1 и Дз* Пусть У1(К^), как и в разделе 6.7, обозначает сегодняшнюю дисконтированную прибыль фирмы г в случае, когда она реагирует на мощности своего соперника Ка Игг{К{) — сегодняшнюю дисконтированную прибыль фирмы г в случае, когда она работает с А', и отвечает ее соперник. Условия равновесия описываются следующим образом:

^(Л'з) = тах^^Л', К2) +

К

Л;(Л’г) максимизирует [П1(Л', Л'2) + ЙИ^г(Л')], Кг) = П1 (Л',, Я,( А’,)) + 6 V1 (Я,( А",)),

и аналогично для фирмы 2.

Первая обычная черта традиционного анализа состоит в том, что, поскольку мощности являются стратегическими субститутами (П Ь < 0), кривые реагирования нисходящие. Чтобы показать это, достаточно выписать условия оптимальности для функций реагирования (идентичная техника используется при доказательстве монотонности распределений с совместимыми стимулами в задачах стимулирования). Рассмотрим два уровня мощностей — К2 и А'г- Пусть #1(А'2) и Я^АЧ) обозначают оптимальные реакции на Л'о и А*2- /^(А'з) является, по определению, лучшим ответом на К2, чем Я](К2)'

П'(Я,(К7),К2) + К2) + 6\У'(1{,(К2)). (8.10)

Аналогично ^(А^) — лучшая реакция на Л'2-

Суммируя уравнения (8.10) и (8.11), получаем

П,(Д1(А'2),А'2)-П1(Д1(Л-2),А-2)+П,(/г1(Л-2),Л-2)-П1(Й1(А'2), Л’2) > 0, (8.12)

что эквивалентно

Но, по определению, П{2 < 0. Следовательно, уравнение (8.13) подразумевает,

что < Я1(А'2), если А'г < Аг2. И кривые реагирования действительно

должны быть нисходящими.

Чтобы найти равновесные функции реагирования, мы должны решить уравнения (8.7)-(8.9).522 Для квадратичных функций прибыли, таких как

П1 = Кг{(1- К\ - Л';),

существует, в частности, довольно простое решение. Кривые реагирования (каждой из) фирм линейны по мощности ее конкурента: = #2 = Я, где Л(Л') = а — 6Л'. Это решение имеет одно замечательное свойство, состоящее в том, что в любой момент оно является пределом функций реагирования каждой из фирм для конечного, но стремящегося к бесконечности горизонта.523

Динамика этой игры иллюстрируется рис. 8.17. Сплошные линии отображают динамические функции реагирования для 6 из (0, 1), прерывистые линии представляют статические

функции реагирования Курно и Щ, Е обозначает устойчивое распределение, а С — исход Курно.

которая максимизирует K(d — К — К). Значит, а = d/2, b = 1/2. В таком случае динамика отрасли носит название процесса нащупывания (t?tonnement). Устойчивым состоянием является С — распределение Курно. При 6 > О каждая фирма принимает в расчет не только свою текущую прибыль, но также и будущую реакцию соперника. Поскольку кривые реагирования нисходящие, интуиция подсказывает, что фирма должна инвестировать больше, чем это в ее краткосрочных интересах, с тем чтобы побудить соперника сократить свои мощности (как и в игре Штакельберга из раздела 8.2). Действительно, можно показать, что, когда 6 растет, устойчивый симметрический уровень мощностей, задаваемый К = а — ЬК или К = а/( 1 + 6), тоже растет и, значит, удаляется от уровня Курно. Данный процесс динамически стабилен — при любом первоначальном уровне мощности обеих фирм сходятся к устойчивому состоянию. Это обобщает процесс нащупывания по Курно в том смысле, что каждая из фирм рационально предвосхищает влияние выбранных ею мощностей на поведение соперника.

Мораль этой простой модели с бесконечным горизонтом та же, что подсказывает интуиция для двухпериодных моделей. Стратегические субституты предполагают нисходящие кривые реагирования, так что каждая фирма пере- инвестирует из стратегических соображений. Результат можно представить как симметричное лидерство Штакельберга. 8.6.1.2.