ДОЛГОСРОЧНЫЕ ИГРЫ НАКОПЛЕНИЯ КАПИТАЛА

Рассмотрим дуополию с фирмами, помеченными г = 1,2. Время непрерывно, горизонт бесконечен. Поток прибылей фирмы i в любой момент t в целом, включая инвестиционные расходы, задается

п{(1и(г),к2(ф,

где R’i(t) — капитальный запас фирмы г в момент t (как обычно, П j, < 0, П] < 0 и П|, < 0).

Капитал в момент t равен накопленным к этому времени инвестициям: •

, , dKAt) г . .

hi[t) =z — — Ii(t),

где /,(?) — уровень инвестиции. Предполагается, что стоимость инвестиции является линейной функцией. Одна единица инвестиции стоит 1 дол. Чтобы избежать мгновенного инвестирования в начальный момент, мы ограничим инвестицию каждой фирмы сверху величиной /г. Эта технология является примером выпуклых инвестиционных затрат. Инвестиции должны быть неотрицательны и неснашиваемы. Поэтому капитальный запас не убывает. Чистая прибыль фирмы г в момент t составит

VL\Kx{t),K2(t))-Ii(t).

Стратегией фирмы г является инвестиционная траектория {/Д^)}, удовлетворяющая условию О < /,(?) < /г. Инвестиция каждой из фирм в момент t зависит от наличных капитальных запасов (A'i(<), А'2(0) (мы снова предполагаем стратегии типа Маркова, потому что они зависят лишь от строения игры, имеющего отношение к конечным выплатам, и не зависят от истории игры). Обе фирмы входят на рынок в момент t — 0, не имея никакого капитала.

Целевая функция фирмы i равна ее сегодняшней дисконтированной при- были:

/ [П'(К,{П, K2(t)) - Ii(t))e-r,dt.

J О

В этом разделе мы рассмотрим только предельную игру, в которой обе фирмы становятся бесконечно терпеливыми (т.

Сначала рассмотрим равновесия с «предсвязыванием» («precommitment»), или с «развязанной петлей».525 В равновесии с предсвязыванием фирмы одновременно встают на пожизненные траектории инвестиций. Следовательно, равновесия с предсвязыванием являются в действительности статическими, потому что у каждой фирмы лишь одна точка принятия решения. Равновесия с предсвязыванием напоминают равновесия Нэша—Курно, но с большим пространством стратегий. В игре мощностей равновесие с предсвязыванием в точности передает ситуацию, когда обе фирмы создают все свои капитальные запасы в самом начале игры (поскольку нет дисконтирования). В результирующем равновесии Курно каждая фирма инвестирует в точке, где предельная производительность капитала при данном устойчивом уровне капитала оппонента равна нулю. Все возможные траектории, которые ведут к этому устойчивому состоянию, являются равновесиями с предсвязыванием. Стратегия каждой из фирм могла бы, например, состоять в том, чтобы как можно быстрее инвестировать в <;вой уровень Курно. Мы можем подчеркнуть близость этого решения к равновесию Курно, определив кривые реагирования устойчивого состояния, которые задают желаемый устойчивый уровень капитала одной фирмы как функцию устойчивого уровня капитала ее соперника. При наших предположениях эти кривые реагирования выглядят точно так же, как и обычные изящные кривые Курно. На рис. 8.18 показаны кривые реагирования Я] и Д2, где IGP — это траектория роста инвестиций (investment-growth path), траектория, вдоль которой обе фирмы с наибольшей возможной скоростью осуществляют свои инвестиции.

Мы видели, что использование концепции предсвязывания превращает явно динамическую модель в статическую. Эта трансформация едва ли может быть принята в качестве моделирующей стратегии: ? ...не следует допускать, чтобы предсвязывание появлялось „с черного хода“... Если возможно, оно должно быть ясно смоделировано... как формальный выбор в игре» [75].

Теперь допустим, что инвестиция фирмы г в момент t зависит от запасов капитала в этот момент (фирмы используют стратегии «завязанной петли*). Капитальные запасы являются «переменными состояния» (т. е. капитальные запасы в любой момент, а также инвестиционные программы начиная с этого момента несут в себе всю информацию, необходимую для вычисления выигрышей). Совершенное равновесие Маркова представляет собой пару стратегий Маркова:

Л'2(()Ь=,.2,

которые не только из начального состояния (0, 0), но и из любого другого начального состояния (К^К^) формируют равновесие Нэша «завязанной петли».

Рассмотрим рис. 8.19, который изображает совершенное равновесие Маркова. Стрелки указывают направление движения. Бели инвестирует только фирма 2, движение происходит в вертикальном направлении, если только фирма 1 — в горизонтальном, если обе фирмы как можно скорее осуществляют капиталовложения, движение идет по диагонали, а если ни одна из фирм не инвестирует, движение отсутствует (из-за своей линейности оптимальные стратегии на жаргоне теории оптимального управления носят название «bang-bang»). Отметим, что мы определили выбор в любом состоянии, а не только вдоль равновесной траектории — мы должны сделать это, чтобы провести «тест на совершенство*. Из рис. 8.19 мы видим, что, если фирма 2 не «взяла старт» первой, она не сможет добиться своего исхода по Штакельбергу, S\, поскольку она не в состоянии накопить достаточный капитал до того, как фирма 2 достигнет своей кривой реагирования. Если фирма 1 может осуществить капиталовложение в свой уровень Штакельберга до того, как фирма 2 окажется на своей кривой реагирования, она именно так и поступает, а затем прекращает движение; фирма 2 в таком случае продолжает инвестирование вплоть до R2.

Оказывается, что равновесие, изображенное на рис. 8.19, не единственное. Существует много других. Чтобы понять почему, рассмотрим точку А на рисунке. Эта точка расположена близко к кривой реагирования фирмы 2 и за кривой реагирования фирмы 1. Стратегии точно устанавливают, что из точки А обе фирмы инвестируют до тех пор, пока не достигнут Яг- Сднако обе фирмы предпочли бы status quo в точке А. В частности, фирма 1 не желала бы инвестировать, даже если бы фирма 2 прекратила инвестирование; она инвестирует лишь в порядке самообороны, чтобы снизить окончательный уровень капитала фирмы 2. Остановка обеих фирм в точке А является равновесием в субигре, начинающейся с этой точки, под давлением реальной угрозы перехода в точку В (или близко к точке В), если после А хоть одна из фирм продолжит инвестировать. Поэтому ограничение Маркова лишь незначительно сокращает множество равновесий в инвестиционной игре.526

В этом исследовании мы предполагаем, что капитал не подвергается снашиванию. Открытым вопросом, анализировавшимся в [60] и [107], остается инвестиционное поведение в отрасли, где капитал снашивается. Интуиция подсказывает, что капитал должен потерять часть своей связанной ценности и что устойчивые уровни капитала должны быть менее чувствительны к опережающему старту одной из фирм. Хэниг и Рейнольдс рассматривают квадратичные функции выигрыша

IT = Л\(1 - - Kj) и квадратичные инвестиционные затраты *

Они допускают снашивание (Л', = /, — /іЛ',-) и дисконтирование и ищут инвестиционные стратегии совершенного равновесия Маркова, линейные по уровням капитала (/»(і) = —аЛ'і(і) — + 7, где а,/?,7 > 0). Для получения такого

решения они используют методы дифференциальных игр.527 Главным результатом является то, что устойчивый уровень капитала для обеих фирм строго превышает уровни Курно; следовательно, обе фирмы в длительном периоде оказываются за пределами своих кривых реагирования. Интуиция подсказывает то же самое, что и для модели краткосрочного связывания (и без постоянных затрат), описанной выше. Каждая фирма имеет в любой момент больше мощности, чем если бы она не могла влиять на накопление своего соперника. Следовательно, это заставляет последнего сократить свои мощности. Поскольку обе фирмы действуют в манере Штакельберга, их уровни капитала превышают уровни Курно. Величина связывания капитала обратно пропорциональна его норме амортизации. В частности, капитал, который быстро амортизируется, требует лишь краткосрочного связывания.

Если мы не будем обращать внимания на постоянные затраты и входные барьеры, эти модели приводят к следующему выводу для динамических игр со стратегиями Маркова. По сравнению со статической конкуренцией (см. главу 5) повторное взаимодействие содействует сговору при ценовой конкуренции (см. главу 6) и поощряет борьбу при конкуренции мощностей в моделях Хэнига [60], Мэскина—Тироля [85] и Рейнольдса [107].528 Этот вывод имеет экономический смысл. Повышая цену, фирма создает у своего соперника побуждение сделать то же самое; повышая уровень капитала, она заставляет соперника сократить свой собственный. Значит, различие между стратегическими субститутами и дополнениями оказывается уместным и при изучении долгосрочной конкуренции.

Модель Штакельберга—Спенса—Диксита (см. раздел 8.2) иллюстрирует тот факт, что при низких постоянных затратах и в отсутствие существенных неделимостей в производстве устоявшиеся фирмы не сдерживают вход, а только пытаются ограничить экспансию новичков. Динамические модели соперничества, которые мы обсудили выше, еще сильнее подчеркивают этот момент. Модель Штакельберга—Спенса—Диксита также показывает, что при значительных постоянных затратах и/или неделимостях сдерживание входа становится оптимальной стратегией для укоренившихся фирм. Этот момент также подтвержден динамическими моделями соперничества, обсуждавшимися выше. 8.6.1.