2.B.3 Задачи

^ 82. Докажите Теорему 18.

^ 83. Пусть X = R+, бинарное отношение R задано следующим образом: x R y ^ Xi ^ yi Vi,

а на его основе построены следующие четыре бинарных отношения:

x R' y ^ 1 (y R x) и (x R y), x R'' y ^(y R x), x R''' y ^ (x R y) и (y R x), x R'''' y ^(x R y) и (y R x).

Охарактеризуйте эти бинарные отношения.

x R* y ^(y R x),

x R** y ^ (x R y) и (y R x).

Покажите, что R* иррефлексивно, отрицательно транзитивно, а R** рефлексивно, транзи- тивно и симметрично. Дайте интерпретацию всех этих отношений с точки зрения материала данного параграфа. ^ 85. Докажите Теорему 20.

^ 86. Решите задачу 83, предположив, что исходное бинарное отношение R задано следующим образом:

x R y ^ Зг: ж* Z У*.

^ 87. Дайте графическую иллюстрацию идеи доказательства Теоремы 21??. ^ 88. Дополните доказательство Теоремы 21, доказав, что функция Д(-) определенная в доказательстве, удовлетворяет условиям (Д1)-(Д4).

^ 89. Для предпочтений, описанных в задачах 26 и 27 из параграфа 2.4, определите, являются ли они непротиворечивыми и являются ли они полными.