3.1.4 Задачи

^ 90. Пусть допустимое потребительское множество

X = { x е R+ XiХ2 + xi ^ 1 }

потребитель имеет фиксированный доход R > 0, цены на товары задаются вектором p ? R++. Изобразите графически бюджетное множество потребителя при разных значениях (p, R).

^ 91. Пусть допустимое потребительское множество

X = { x ? R+ Ж1Ж2 Z 2 } ,

потребитель имеет начальный запас ш = (1,1), цены на товары задаются вектором p ? R++. Изобразите графически бюджетное множество потребителя при разных значениях p. Является ли оно выпуклым? Замкнутым? Ограниченным? При каких значениях p бюджетное множество непусто?

^ 92. Пусть допустимое потребительское множество x1 ,x2 - целые

X = { x ? R+ потребитель имеет фиксированный доход R > 0, цены на товары задаются вектором p ? R++. Изобразите графически бюджетное множество потребителя.

^ 93. Пусть допустимое потребительское множество X = R+, потребитель имеет начальный запас ш = (1,1), цены на товары задаются вектором p ? R++. Изобразите графически бюджетное множество потребителя, в случае если в экономике ввели налог с продаж, взимаемый как процент от цены. Является ли бюджетное множество выпуклым?

^ 94. Пусть в экономике присутствует один потребительский товар, продаваемый по цене p. Доход потребителя складывается из фиксированной части R > 0 и заработной платы wh, где h - время, которое потребитель посвящает работе, а w - почасовая ставка оплаты труда. Потребитель не может работать больше 24 часов в сутки. Запишите бюджетное множество для этой задачи. Постройте его эскиз. Является ли оно выпуклым? Что произойдет, если в модель ввести налог с заработной платы? Дохода? Предложите схему налогообложения, когда бюджетное множество невыпукло.

^ 95. Предположим, что потребитель живет бесконечное число периодов времени (время дискретно).

^ 96. Для случая двух товаров изобразите эскиз бюджетного множества, если цена первого товара зависит от объема, а цена второго постоянна, причем цена первого товара убывает при росте объема. Доход потребителя предполагаем фиксированным. Является ли данное бюджетное множество выпуклым? ^ 97. Докажите Теорему 22.

^ 98. При каких условиях в пунктах (vi) и (vii) Теоремы 22 нестрогие знаки (в том числе включения) могут быть заменены строгими? Покажите, что без дополнительных предположений этот факт, вообще говоря, неверен.

^ 99. Для каждой из нижеприведенных функций найдите маршаллианскую функцию спроса, непрямую функцию полезности, хиксианскую функцию спроса, функцию расходов. Проиллюстрируйте соотношения двойственности между маршаллианской и хиксианской функциями

спроса, а также между непрямой функцией полезности и функцией расходов. (a) u(x) = xI + X2; (b) u(x) = /XI + /X2; (c) u(x) = /XT + X2;

(d) u(x) = XIX2; (e) u(x) = ln(XI) + Xf; (f) u(x) = ; (g) u(x) = x2 + x2; (h) u(x) = min{xI,Ж2}; (i) u(x) = max{xI,Ж2};

(j) u(x) = min{2x1 - x2, 2x2 - x1}; (k) u(x) = 28x1 + 28x2 - 2xF - 3x1x2 - 2x2; (l) u(x) = xF + x2 + 4x1 + 4x2 + 2x1x2 + 6. Основываясь на полученных результатах, проверьте теоретические свойства маршаллианской функции спроса, непрямой функции полезности, хиксианской функции спроса, функции расходов.

^ 100. Приведите пример функции полезности, для которой...

средства, расходуемые потребителем на приобретение каждого блага, составляют постоянную (и положительную) долю совокупных расходов потребителя;

спрос потребителя на любое благо зависит лишь от относительной цены данного блага и совокупных потребительских расходов;

спрос потребителя на первые l - 1 благ зависит лишь от относительной цены этих благ;

спрос потребителя на первые l - 1 благо зависит лишь от цены данного блага;

структура спроса потребителя постоянна (отношение величины покупок j блага к величине 1 блага, j = 1,..., l);

множество оптимальных потребительских наборов при некоторых значениях цен и доходов не является выпуклым множеством.

^ 101.

^ 102. Покажите, что если функция полезности потребителя однородна, то отношение функций спроса на любые два товара не зависит от уровня дохода.

^ 103. Пусть полезность потребителя зависит от двух благ, и первое благо является дискретным (доступные уровни его потребления - целые числа), а потребитель имеет квазилинейные предпочтения. При каких ценах на благо 1 потребитель предъявляет спрос на него на уровне 1, 2,...?

^ 104. Покажите, что если функция полезности квазилинейна, то непрямая функция полезности - выпуклая функция цен.

^ 105. Покажите, что если функция полезности квазилинейна, причем l-ое благо входит линейно, то хиксианский спрос на первые l - 1 благо не зависит от выбора кривой безразличия. Каков вид функции расходов в этом случае? При каких предположениях это справедливо?

^ 106. Докажите Теорему 25.

^ 107. Рассмотрите функцию полезности u = A-Х2 (A > 0), где Ж1 Z 0, 0 ^ Ж2 < A.

Является ли эта функция полезности вогнутой? Является ли она квазивогнутой? Изобразите на графике кривые безразличия.

Найдите функцию спроса. Какими свойствами она обладает?

^ 108. [ABB] Рассмотрите функцию полезности вида u(x, y, z) = \fx + ^/y + y + z/(1 + z).

Покажите, что функция полезности строго монотонна, строго вогнута и непрерывна.

Покажите, что если (x, y, z) ? R+ и z > 0, то (x, y + z, 0) У (x, y, z).

Пусть p > 0 и p2 = p3. Покажите, что для вектора спроса выполнено равенство z(p, R) = 0.

Рассмотрите последовательность цен pn = (1,1/n, 1/n). Чему равны пределы z(pn, R)

и y(p^ R) ?

^ 109. В случае, когда в экономике наличествуют всего 2 товара, найдите, если это возможно (или докажите, что это невозможно), маршаллианский, хиксианский спросы, непрямую функцию полезности и функцию расходов для потребителя с лексикографическими предпочтениями.

^ 110.

^ 111. Сформулируйте и докажите аналоги Теорем 23-27 для случая, когда доход потребителя формируется за счет заработной платы. Почасовая ставка заработной платы равна w, потребитель располагает 24 часами времени в сутки. Время отдыха является одним из благ, количество потребления которого выбирает потребитель. ^ 112. [MWG] Рассмотрите функцию расходов следующего вида:

e(p, x) = expi ^ ak ln(pk) + ( П ^k) u(x)

^keK ^keK ' '

При каких ограничениях на параметры ak, вк данная функция является функцией расходов? С учетом ответа на первый вопрос найдите отвечающую ей непрямую функцию полезности. ^ 113. Пусть непрямая функция полезности имеет вид a(p) + b(p)R. Какими свойствами должны обладать функции a(p) и b(p) для того, чтобы данная функция была непрямой функцией полезности рационального потребителя.

^ 114. Функция полезности называется псевдовогнутой, если из условия Vu(x)(y - x) ^ 0, следует, что u(y) ^ u(x). Покажите, что если функция полезности является псевдовогнутой, то условия Куна- Таккера являются достаточными условиями для нахождения решения задачи потребителя. Покажите, что любая вогнутая функция является псевдовогнутой, а любая псевдовогнутая функция является квазивогнутой.

^ 115. Пусть функция полезности равна u(x) = (Xi + X2 - 2)3. Цена на первый товар равна 1, а на второй - 2. Доход потребителя равен 3. Проверьте, что целевая функция квазивогнута и локально ненасыщаема. Покажите, что точка (1,1) удовлетворяет условиям Куна- Таккера, но не является оптимальной.

^ 116. Пусть функция спроса некоторого потребителя равна x(p, R) = (jR, (I-', а непрямая функция полезности равна v(p, R) = a ^ . Найдите функцию расходов и хикси-

р"р2 ;

анский спрос.

^ 117. Покажите, что функция v(p, R) = R + R удовлетворяет всем свойствам непрямой функции полезности и вычислите на ее основе функцию расходов и функции спроса (маршал- лианского и хиксианского).

^ 118. Проверьте выполнение соотношений двойственности (взаимности) в случае, если поведение потребителя описывается функцией полезности: u(x) = [XIX2], где [?] - оператор взятия целой части.

^ 119. Пусть функция полезности потребителя аддитивно-сепарабельна, то есть имеет вид u(x) = Y^i=i uj(Xj). Запишите достаточные условия оптимальности для задачи потребителя в предположении, что потребитель имеет выпуклые, локально ненасыщаемы предпочтения. Покажите, что если ui(Xi) ^ при Xi ^ 0, то потребитель покупает все блага в положительных количествах.

^ 120. Пусть обобщенная функция полезности, представляющая некоторые нетранзитивные предпочтения, имеет вид A(x, y) = y- I/2X1/2 + ln(X3) - X- i/2y2/2 - 1П(Уз). Найдите маршаллианский спрос данного потребителя. (Для пояснения обозначений см. Теорему 21 на с. 59.)