3.2.1 Задачи

^ 121. Докажите аналог уравнения Слуцкого для случая, когда доход потребителя формируется за счет продажи начальных запасов и.

^ 122. Сформулируйте и докажите аналог уравнения Слуцкого для случая, когда доход потребителя формируется за счет заработной платы.

^ 123. Проверьте выполнение леммы Шепарда, тождества Роя и уравнения Слуцкого для следующих функций полезности:

(а) Кобба- Дугласа, (b) CES, (c) Леонтьева,

(d) линейной, (e) квазилинейной, (f) аддитивной.

^ 124. Пусть выполнен закон Вальраса и функция спроса однородна нулевой степени. Пусть, кроме того, в экономике обращается только два товара. Докажите симметричность матрицы Слуцкого, не пользуясь предположением о максимизации полезности потребителем. ^ 125. Пусть S - матрица коэффициентов замены. Докажите, что Sp = 0. ^ 126. В экономике 2 товара. Известно, что в матрице замены SII = -2 и S22 = -1. Чему равен элемент $2I ?

^ 127. Матрица замены при ценах pI = 1,p2 = 2,p3 = 6 имеет вид

/-10 ? ? -4 ?

V 3 ? ?

Найдите пропущенные элементы. Может ли эта матрица быть матрицей замены рационального потребителя?

^ 128. Пусть в экономике представлено 3 блага. Спрос на первое и второе блага имеет следующий вид:

х\(p R) = R x2(p R) = R

' 2pI(1 + v/p27pI)' ' 2p2(1 + \Jp2/pI)

Проверьте выполнение уравнения Слуцкого.

^ 129. [MWG] В экономике с тремя благами потребитель имеет положительный доход R > 0 и его функции спроса на первое и второе благо равны

xI(p, R) = 100 - 5pI + в- + SR, x2(p, R) = a + в- + Y~ + SR,

p3 p3 p3 p3 p3 p3

где a, в, Y, S ^ 0.

Объясните, как можно рассчитать спрос не третье благо (вычисления делать не надо).

Являются ли функции спроса для xI и x2 однородными требуемой степени?

Какие ограничения на параметры а, в, Y, S должны выполняться, чтобы данные функции спроса могли быть порождены задачей максимизации полезности?

Используя результаты предыдущего пункта для фиксированного значения спроса на 3-й товар, изобразите кривые безразличия в пространстве (xI,x2).

Что можно сказать о свойствах функции полезности этого потребителя? (Используйте результаты предыдущего пункта.)

^ 130. Докажите Теоремы 33 и 34.

^ 131.

dxi(p, R) dxj (p, R) dpj dpi '

^ 132. Пусть для некоторого потребителя значения эластичности спроса по доходу равны по всем товарам. Найдите, чему равно это значение.

^ 133. Пусть функция полезности однородна первой степени. Чему равны эластичности спроса по доходу?

^ 134. Используя теорему об огибающей, докажите, что hi(p,u) = dedp'u) (тождество Роя).

^ 135. Используя теорему об огибающей, докажите, что д^дДД) ("предельная полезность денег") равна значению множителя Лагранжа задачи потребителя.

^ 136. Проверьте выполнение свойства, указанного в предыдущей задаче, для функции полезности u(x) = Y/xI + aY/x2 (см. Примеры 13 и 11).