3.C.5 Задачи

^ 170. Пусть функция u(-) - функция полезности, представляющая строго выпуклые и строго монотонные предпочтения, заданные на R+, v(-) - соответствующая непрямая функция полезности.

u*(x) = u(x) Vx ? R++.

Указание: Используйте теорему отделимости (см. доказательство утверждения о восстановлении технологического множества по функции прибыли в Теореме 54 на с. 149). Множество L++(x) = { y | y У x } можно отделить от точки x. Поскольку предпочтения строго монотонны, то нормаль p к отделяющей гиперплоскости - вектор с положительными коэффициентами. Тогда p - решение задачи (ф).

^ 171. Пусть u(x) - функция полезности. Вычислите для нее непрямую функцию полезности, решите задачу (ф) и вычислите "восстановленную" функцию полезности u*(x). Совпадает ли она с исходной функцией полезности? Решите задачу для следующих функций полезности: (a) u(x) = Ei=i "fc ln(xfc); (b) u(x) = minfc{afcxfc}; (c) u(x) = x2 + x2; (d) u(x) = ^xix2 + x3.

^ 172. Для функций полезности предыдущей задачи найдите функцию расходов и непрямую денежную функцию полезности.

^ 173. Для функций полезности предыдущей задачи найдите спрос, восстановите функцию расходов (или, что то же самое, непрямую денежную функцию полезности), и постройте "восстановленную" функцию полезности u* (ж). Правильно ли восстановлены исходные предпочтения? Найдите спрос, соответствующий функции полезности u* (ж). Совпадает ли он с исходным спросом?

^ 174. Функция спроса потребителя на первое из двух имеющихся в экономике благ равна ж1 (p1, p2) = a-bp1/p2 (не зависит от дохода). Найдите соответствующую функцию полезности. ^ 175. Найдите функцию полезности, которая рационализует спрос, полученный на основе лексикографических предпочтений. " 176. ??? задача 112 на с. 84