6.2.1 Потребительский излишек: определение, связь с прямой и обратной функциями спроса

Пользуясь выведенными выше характеристиками потребительского выбора, проанализируем связь оценки Vi(x) с площадью под кривой спроса потребителя.

Пусть xi = xi(p), т. е. является спросом потребителя при ценах p.

CSi = Vi(xi1,..., Xii) - pxi - vi(0)

называется потребительским излишком. В дальнейшем без потери общности будем предполагать, что Vi (0) = 0.

Мы рассмотрим случай квазилинейных сепарабельных функций полезности, т. е. Vi(Xi1,..., Xn) = Sfc=1 Vik(Xik). Потребительский излишек при этом получается суммированием потребительских излишков, получаемых потребителем на рынках отдельных благ:

l 1

CSi = ^(vik (Xik) - pk Xik) = Y CSik, k=1 k=1

где CSik = Vik (Xik) - pk Xik.

^Pk
xik

Рис. 6.4. Излишек потребителя

В этом случае геометрически излишек потребителя на рынке k-го блага равен площади фигуры, лежащей под графиком функции обратного спроса выше цены этого блага (см. Рис. 6.4). Поясним это. Рассмотрим потребительский излишек как функцию цен:

l 1 CSi(p) = (xifc(pfc)) -pfcXifc(pfc)] = ?CSifc(pfc). k=i k=i

Функции CSifc(pfc) = Vifc(xjfc(pfc)) - pfcXifc(pfc) определены при всех ценах pfc ^ p и, кроме того, не могут быть отрицательными .

Как было доказано, Xik(pfc) ^ 0 при pfc ^ то, откуда Vik(xik(pfc)) ^ 0 при pfc ^ то. Поскольку pfcXjfc(pfc) ^ Vjfc(xjfc(pk)), то при росте цены блага расходы на его приобретение стремятся к нулю, т. е. pkXik(pk) ^ 0 при pk ^ то.

Функция CSi(p) является дифференцируемой, если функция полезности дважды дифференцируема. Дифференцируя ее, получаем (с учетом условий первого порядка для задачи потребителя), что при Xik(pk) > 0

, dCSi(p) dCSik (pk) xik (pk) = - -

dpk dpk

(Читателю предоставляется проверить этот факт самостоятельно.)

Если Xik (t) > 0 при всех t ^ pk, то проинтегрировав обе части этого дифференциального уравнения, получим

г - dCSik(t)

fOO

I dt "dt = Xik (t)dt.

'pfc dt -'pfc

Откуда

fOO

CSik(p) - lim CSik(t) = Xik(t)dt, t^- 7p

что позволяет выразить излишек потребителя i от потребления блага k в виде

!? -

CSik (p) = Xik (t)dt + lim CSik (t). Jp t^-

Поскольку второе слагаемое в этом соотношении равно нулю:

lim CSifc(t) = 0,

t-

то

CSik (p) = Xik (t)dt.

p

В силу того, что функция pik(?) является обратной к функции (?), имеет место соотноше-

о

ние

Г Xik (p)

CSik (p) = pik (q)dq - pxik (p),

J0

В итоге, общий потребительский излишек получаем суммированием этих интегралов по всем рынкам:

1 1

CSi(p) = ? CSik(p) = ^ / Xik(t)dt = k=1 k=1^Pk

' /" xik (P) '

= E/ pik (t)dt - ^E^ik (p). k=^0 k=1