Основные понятия теории графов

Граф G — это совокупность двух конечных множеств: множества точек, которые называются вершинами, и множества пар вершин, которые называются ребрами. На рис. 10.4.1 изображен граф, имеющий, пять вершин и шесть ребер.

задается направление, то граф G называется ориентированным. В противном случае G

называется неориентированным графом.

Ребра, имеющие одинаковые концевые вершины, называются параллельными. Ребро, концевые вершины которого совпадают, называется петлей. На рис. 10.4.1 а4 и а5 — параллельные ребра, a а6 — петля.

Вершина и ребро называются инцидентными друг другу, если вершина является для этого ребра концевой точкой. На рис. 10.4.1 вершина Р3 и ребро а3 инцидентны друг другу.

Две вершины, являющиеся концевыми для некоторого ребра, называются смежными вершинами. Два ребра, инцидентные одной и той же вершине, называются смежными ребрами. На рис. 10.4.1 Р1 , Р2 — смежные вершины, а а1, а4 — смежные ребра.

Степенью вершины называется число ребер, инцидентных ей. Вершина степени 1 называется висячей. Вершина степени 0 называется изолированной. На рис. 10.4.1 степень вершины Р1 равна трем, Р4 —висячая вершина, Р5 —изолированная.

Теорема 1. В графе G сумма степеней всех его вершин — число четное, равное удвоенному числу ребер графа:

Теорема 2. Число нечетных вершин любого графа, т.е. вершин, имеющих нечетную степень, четно.

Граф G называется полным, если любые две его различные вершины соединены ребром и'он не содержит параллельных ребер.

Дополнением графа G называется граф с теми же вершинами, что и граф G, и содержащий, только те ребра, которые нужно добавить к графу G, чтобы получился полный граф. На рис. 10.4.2 изображены следующие графы:

G1 — полный граф с пятью вершинами, G2 — некоторый граф, имеющий пять вершин, 2 — дополнение граф G2.

Путем в графе называется такая последовательность ребер, ведущая от некоторой начальной вершины Р1 в конечную вершину Рn, в которой каждые два соседних ребра имеют общую вершину и никакое ребро не встречается более одного раза. Например, в графе, изображенном на рис. 10.4.1, последовательность ребер (а1, а2, а3, а4, а5, а6) образует путь, ведущий от вершины Р1 к вершине Р4.

Циклом называется путь, начальная и конечная вершины которого совпадают. На рис. 10.4.1 ребра (a1, a3, a4) образуют цикл.

Цикл графа G называется простым, если он не проходит ни через одну вершину G более одного раза.

Длиной пути или цикла называется число ребер этого пути или цикла.