Понятие функции

Даже при поверхностном взгляде видно, что все вокруг нас находится в постоянном изменении. Меняются температура и влажность воздуха, атмосферное давление, сила ветра, скорость движения машин и т.д.

Постоянные (не меняющиеся) величины встречаются чрезвычайно редко. Примером постоянной может служить отношение длины окружности к ее диаметру: какую окружность ни взять, это отношение = .. Другой пример — сумма углов в треугольнике: какой треугольник ни взять, сумма его углов равна двум прямым. Еще пример — произведение давления газа в цилиндре с поршнем на объем газа: оно тоже не меняется, но здесь уже нужна оговорка — температура при этом должна, быть постоянной, а газ — идеальным.

В математическом анализе изучаются переменные величины. При этом для потребностей практики особенно важно изучать изменение переменных величин в их взаимосвязи. Например, для разных окружностей их радиус R и длина С различны — это переменные величины. Но дня одной и той же окружности они между собой жестко связаны: если радиус R известен, то длина С этим вполне определена (как известно из школьного курса, С == 2 R , но сейчас это не главное). С изменением радиуса R будет вполне определенным образом меняться и длина окружности С. Про такую связь между переменными величинами принято говорить, что С есть функция от R , a R — аргумент этой функции. Записывают это так: С = f(R) или С = C(R) и т.п.

Аналогично, площадь круга S есть функция от его радиуса R (аргумента этой функции): S = g(R) или S == S(R) и т.п. То, что это иная функция, нежели C(R) , отмечено в записи — эта функция обозначена другой буквой. Также и давление р в цилиндре с поршнем есть функция от объема V , занимаемого газом (V — аргумент этой функции):

р = F(V) или р = p(V) и т.п.

Основное, на что надо обратить внимание во всех этих примерах, состоит в том, что каждому значению .аргумента соответствует (по некоторому закону) определенное значение функции. При этом не существенно, знаем мы формулу, описывающую эту зависимость, или нет. Например, давление в комнате меняется со временем, т.е. давление р есть функция времени t: р == p(t). Однако вряд ли кто может написать формулу для этой зависимости.

Итак, мы подошли к определению понятия числовой функции — основного понятия математического анализа.

Определение 1. Если каждому числу х из множества чисел D поставлено в соответствие единственное число у , то говорят, что на множестве D задана функция f . Число у называют значением функции f в точке X и пишут у = f(x), х — аргументом этой функции, а множество D — областью определения этой функции.

Обычно говорят проще — переменная у есть функция от переменной х, или задана функция у == f{x), или просто f(x). Вместо буквы f можно пользоваться любой другой буквой и писать: задана функция у = у(х) или у = а{х) и т.п. При этом обозначения выбираются так, чтобы в данном рассуждении разные функции обозначались по-разному, а одна и та же функция обозначалась одним и тем же способом.

В приведенных выше примерах с длиной окружности C(R) и площадью круга S{R) областью определения этих функций будет множество D всех положительных действительных чисел. В примере с давлением газа в цилиндре с поршнем аргумент V не может быть отрицательным, нулем и больше объема v0 цилиндра, т.е. областью определения этой функции будет множество D всех действительных чисел V , удовлетворяющих неравенству 0 < V V0.

Выше мы рассматривали переменную у как функцию от одной переменной х. На практике переменная у часто зависит от нескольких переменных х1, х2,...,хn. Тогда у называют функцией от п переменных х1, х2,...,хn. — аргументов этой функции — и записывают это так: у = f{ х1, х2,...,хn.), у = у(х1, х2,...,хn.) и т.п.

Первое знакомство с анализом начинается с изучения более простых функций от одного аргумента.

Области определения функций могут быть устроены весьма сложно. Из них принято выделять простейшие множества — промежутки. Напомним основное определение.

Определение 2. Отрезок [a, b] (а и b —действительные числа, а этом, конечно, все х из области определения функции выписать нельзя, и уже поэтому такое задание функции весьма неполно). Из приведенной таблицы .легко себе представить, как ведет себя функция. Пусть, например, х — это время, а. у — это температура. Ясно, что температура со временем повышается, причем чем дальше, тем быстрее, и в определенные моменты времени известны точные значения температуры. Это достоинство табличного способа. Но вот совершенно неизвестно, определена ли эта функция при • х = 1,37? А если определена, то чему равен у при х = 1,37? Таким образом, при табличном способе задания функции почти ничего не известно об области определения этой функции. Для ответа на этот вопрос нужна, помимо этой таблицы, дополнительная информация.

Допустим теперь, что нам известно дополнительно, что функция определена для всех промежуточных значений х. Но как она там изменяется? В приведенном примере как будет изменяться при х, меняющемся от 1,3 до 1,4, какая здесь будет таблица?

Такая:

Или такая:

В первом случае ясно, что нагревание идет постепенно, «нормально». А во втором случае с прибором творится что-то странное, явно «что-то не то». Но по первоначальной таблице, ничего не зная о том, откуда эта таблица взялась, выбрать из этих двух возможностей одну, соответствующую действительности, невозможно: оба случая равноправны.

Однако в ряде случаев это единственный способ экспериментального изучения окружающих нас закономерностей. В самом деле, что делается, когда ставят опыт? С точки зрения математика здесь изучается зависимость между определенными переменными, другими словами, изучается некоторая функция. При опыте ведутся записи, в простейшем случае отмечается время (аргумент функции) и записывается показание прибора (соответствующее значение функции), т.е. функция задается таблицей. А задача исследователя состоит в том, чтобы по полученной таблице изучить эту функцию.1

Экономические параметры, описывающие деятельность экономических субъектов, подвержены изменению -их числовых значений во времени. В то же время отметим, что исследованием пределов бесконечно малых приращений функций занимаются такие разделы математики, как дифференциальное и интегральное исчисление. Таким образом, представив изменения числовых значений экономических параметров в виде суммы бесконечно малых функциональных приращений, можно использовать при экономических исследования математический инструментарий дифференциального исчисления.