«Послание» Маркса «О понятии производной функции»

18 августа 1881 г. в письме к Марксу Энгельс сообщал: «Вчера, наконец, я набрался храбрости проштудировать без пособий твои математические рукописи и был рад убедиться, что не нуждаюсь в книгах...

Рукопись Маркса «О понятии производной функции» не была озаглавлена автором и получила данное название лишь при подготовке ее к печати издателями математических рукописей. Она дошла до нас в кон-

верте, носившем имя своего адресата «Для Фреда». К ней примыкали черновики.

Одним из черновиков была небольшая рукопись, содержавшая список формул, иллюстрировавших исходные понятия дифференциального исчисления. Данные формулы были выписаны Марксом из двух первых параграфов учебника Дж. Хайнда «Основы дифференциального исчисления» (Кембридж, 1831), где автор приводил их в связи с определениями и первоначальным рассмотрением понятия дифференциала элементарных алгебраических функций, в частности, от одной переменной[299]).

Кроме того, имелся непосредственный черновик самой рукописи «О понятии производной функции»[300]). Сличение его с окончательным вариантом свидетельствует об их принципиальном совпадении. Поэтому имеет смысл рассмотреть основные проблемы, трактовавшиеся в обеих рукописях, и зафиксировать, в чем-таки заключалось их различие, в особенности то, как и в каком направлении происходило развитие изложения Марксом производной функции.

С самого начала оговоримся, что, анализируя производные функции, Маркс в качестве предмета непосредственного рассмотрения выбирал некоторые из тех функций, которые были приведены в уже упомянутом учебнике Хайнда. Это функции у — ах, у = ах3 4- Ьх3 4- сх - е, у = аш68). Это тем не менее не означало, что рукопись Маркса была прямым заимствованием из Хайнда. В отличие от английского математика Маркса интересовали проблемы скорее философско-математического обоснования дифференциального исчисления. Давая оценку заимствованиям Маркса, не следует забывать, что «любой текст, — по определению Ю. Кристевой, — строится как мозаика цитаций, любой текст есть продукт впитывания и трансформации какого-нибудь другого текста. Тем самым на место понятия интерсубъективности встает понятие интертекстуальности»[301]).

Итак, первое, на что Маркс обратил внимание, был смысл понятия предельного перехода, иными словами, перехода от приращения функции и ее аргумента к их первоначальным значениям. В отличие от математической литературы, где предварительно вводились понятия предела, предельного перехода и т.д., Маркс сразу же перешел с трактовке существа дифференциальной операции. Он полагал, что в ее результате функция и ее аргумент возвращаются к своим исходным значениям.

«Сначала полагание разности, а затем обратное ее снятие приводит, таким образом, буквально к ничему. Вся трудность в понимании дифференциальной операции (как и в понимании отрицания отрицания вообще) заключается именно в том, чтобы увидеть, чем она отличается от такой простой процедуры и как ведет поэтому к действительным результатам»[302]). Уже на примере одного этого высказывания можно увидеть, что Маркс подошел к проблематике дифференциального исчисления прежде всего как философ, а не как математик, предпочтя находить выход из проблемы, ссылаясь на более общее философское понятие, в данном случае на наиболее общий закон диалектики, трактовавшийся как одна из ее аксиом, и поэтому не нуждавшийся в доказательствах.

Следующим понятием, с помощью которого Маркс рассматривал поставленную проблему, стало понятие конечной разности, примером которой выступали разности в числителе и знаменателе дроби , что,

в свою очередь, могло быть обозначено с помощью дроби При переходе функции и ее аргумента к своим первоначальным значениям данная дробь превращалась в jj[303]).

Во втором разделе рукописи была рассмотрена алгебраическая функция у - /(ж), где у = ах3 -f Ьх3 4- сх - е. Правую сторону уравнения Маркс называл первоначальной функцией от ж, в то время как функцию, которая получалась в результате дифференциальных преобразований, — предварительной производной от х.

Однако в отличие от функции, рассмотренной в первом разделе рукописи, ее значение не совпадало с первоначальным при предельном переходе функции, т. е. при переходе от приращения функции и ее аргумента к их исходным значениям. Полученное значение Маркс называл окончательной производной, пределом отношения дифференциалов.

Разобрав эту проблему, Маркс перешел к выяснению смысла симво- лов              Маркс отмечал, что в этих выражениях ^ является исход

ным пунктом дифференциалов высших степеней и символом «некоторого реального процесса», а его он понимал как совокупность математических действий, которые необходимо совершить для отыскания производных и дифференциалов. Свои соображения Маркс еще раз продемонстрировал на примере отыскания производной функции у = ахт.

Сравнивая изложение понятия о производной функции, данное Марксом, с тем, что было принято в литературе, можно сделать вывод, что подход Маркса к проблеме имел свою специфику. Данная специфика состояла в выяснении отношения между предварительной и окончательной производной. Маркс активно пользовался при этом арсеналом понятий дифференциального исчисления, подчас не прибегая к их определению.

Кроме того, он вводил ряд своих понятий, которые, по его мнению, должны дополнять традиционные или упростить изложение.

В уточнении этих новых понятий, в их конкретизации и состоял смысл работы Маркса над черновиком рукописи и подготовки окончательного варианта. В нем Маркс более четко выразил понятие предварительной производной, добавляя определение «предварительная» всякий раз там, где о ней идет речь и где в черновике просто стоит «производная». Более конкретно здесь был показан и процесс отыскания производной. При этом не пропущены посредствующие звенья преобразований, что подчас имело место в черновике.