Рукопись «О дифференциале» и наброски к ней

Второй самостоятельной рукописью Маркса по математике, адресованной Энгельсу, стала рукопись «О дифференциале», которой предшествовала солидная подготовительная работа.

Сравнивая данный черновик с самой рукописью «О дифференциале», можно сделать вывод, что на первых четырех страницах предварительного варианта была определена исследуемая функция у = uz, где u = f(x), z = (р(х) — дифференцируемые функции от х. Содержание данных четырех страниц Маркс повторял и прямо в тексте[307]). Кроме того, в процессе изложения алгебраического дифференцирования Маркс подошел к определению философского понятия оборачивания метода, о котором речь пойдет несколько позже. Предварительно отметим лишь, что, по мнению Маркса, математики издавна пользовались оборачиванием              метода, не задаваясь вопросом о его сущности, не              формулируя              его              в              явной              форме.

В данной черновой работе Маркс обосновывал объективную природу данного методологического приема, а кроме того, и то, что в разрабатывавшемся им методе алгебраического дифференцирования произошел синтез исторических методов, развивавшихся в дифференциальном исчислении.

Маркс трактовал символические дифференциальные выражения в качестве оперативных символов, т. е. «символов, указывающих на дифференциальные операции, которые должны быть выполнены над реальной функцией ж»[309]). Способ выполнения данных операций предполагался, по Марксу, известным адресату «посланий». На понятии оперативного символа базировалось понятие оперативной формулы и оперативного уравнения. Здесь же, во втором наброске, Маркс не только рассуждал о функциях в целом, но и рассматривал специальный вид функций, а именно формулу подкасательной параболы[310]).

Как уже отмечалось, во втором наброске «послания» угадывалась структура окончательного варианта работы Маркса «О дифференциале». Маркс предполагал специально сопоставить алгебраические и дифференциальные методы на конкретных примерах исчисления Ньютона- Лейбница и Лагранжа[311]). Таким образом, уже из анализа второго наброска рукописи «О дифференциале» вытекает, что основная концепция исторического очерка развития дифференциального исчисления вырастала у Маркса из положительного изложения своей интерпретации дифференциального метода. Напрашивается параллель с его исследованием в области политической экономии, где исторический очерк был органически вплетен в ткань положительного изложения теории. Теперь ясно, что тот же принцип лег в основу подхода к данной проблеме в математических рукописях[312]). Предваряя анализ текста данной рукописи, отметим, что Маркс сформулировал здесь планы структуры своих текущих и будущих исследований[313]).

Несмотря на небольшой объем работы «О дифференциале» (она занимала всего 13 небольших страниц рукописи), данный очерк был центральным в исследованиях Маркса по дифференциальному исчислению.

Так, он основывался на результатах, достигнутых математикой его времени, используя в работе понятия дифференциального коэффициента (производной), дифференциальной частицы и т.д. Кроме того, он сформулировал основную задачу дифференциального исчисления XVIII-XIX вв., которая, по его мнению, заключалась в том, чтобы для символического дифференциального коэффициента найти его эквивалент[314]). Но хотя Маркс тоже находил реальные значения тех или иных дифференциальных выражений, все же его внимание было сосредоточено преимущественно на связи алгебраических и дифференциальных методов, а изложение было подчинено выяснению их взаимодействия в области дифференциального исчисления.

Данное методологическое понятие стало, на наш взгляд, центральным понятием работы «О дифференциале». Приведя с помощью алгебраических преобразований функцию, которую требуется продифференцировать, к тому виду, когда вводятся дифференциальные символы, Маркс очертил границу между алгебраическими и дифференциальными методами.

Свидетельством того, что применимость алгебраических методов в дифференциальном исчислении не является универсальной, служил тот факт, что не исключено, что в результате вполне корректных алгебраических преобразований дифференцируемой функции получается выражение |, которое не является математически корректным. Чтобы избежать этого, необходимо признать, что в случае, когда ^ = jj, где числитель и знаменатель неотделимы друг от друга, следует переходить к использованию дифференциальных методов, вводя соответствующую символику и терминологию. Выражения указанного типа переименовываются в ^.

Подобные выражения, как уже говорилось, Маркс называл оперативными символами, они обозначали «символы процессов, которые должны быть выполнены» над функциями «для отыскания „их производных"»[315]).

Маркс подчеркивал при этом, что «дифференциал от у есть... конечный пункт алгебраического развития: он становится исходным пунктом движущегося на своей собственной почве дифференциального исчисления»[316]), При этом «алгебраический метод... сам собой превращается в противоположный ему дифференциальный метод»[317]).

В черновых набросках работы «О дифференциале» Маркс более подробно объяснял его суть. В частности, он писал о правомерности оборачивания метода с математической, а точнее, с алгебраической точки зрения. «Так как это оборачивание метода возникло из алгебраического движения функции uz, то оно само алгебраически обосновано»[318]). Характерно, что Маркс не только констатировал переход алгебраического метода в дифференциальный, но и указывал на их взаимодействие уже в рамках дифференциального исчисления. Анализируя методологические основания дифференциального исчисления, он оставался в первую очередь философом-диалектиком, что в полной мере проявилось в его трактовке понятия оборачивания метода.

Исходя из концепции исторической ретроспекции, можно было бы продолжить его рассуждения об оборачивании метода. Поскольку дифференциал, как уже говорилось, есть «конечный пункт алгебраического развития», а также исходный пункт «движущегося на своей собственной основе» дифференциального исчисления, то включение алгебраических методов в дифференциальное исчисление связано с подчинением их в рамках дифференциального исчисления дифференциальным методам. Напрашивается аналогия из области политической экономии. Разрабатывая свою систему, Маркс в рамках историко-ретроспективного подхода писал о том, что отношения предшествующих эпох, функционирующие в рамках «уже сложившегося, движущего на своей собственной основе буржуазного общества», воспроизводятся в качестве подчиненных моментов собственно буржуазных отношений.

Таким образом, мы вплотную подошли к выяснению статуса понятия оборачивания метода в методологии научного познания. Первое, что следует иметь в виду, так это глубинную связь данного понятия с другими методами, разрабатывавшимися Марксом. Характерно, что методологические приемы, которыми пользовался Маркс, чаще всего парны. Маркс практически всегда использовал преимущества двоякого рода анализа: логическое исследование дополнялось историческим, в движение теоретической мысли от абстрактных категорий к более конкретным вплеталось противоположное движение — от конкретного к абстрактному. В подготовительных материалах к первому выпуску «К критике политической экономии» Маркс писал: «Диалектическая форма изложения верна только в том случае, если она знает свои границы»[319]). Это утверждение, указывавшее на недопустимость абсолютизации какого-либо одного способа исследования, в какой-то мере объясняло приверженность Маркса к использованию в анализе двойственных, а то и противоположных методов.

Можно с уверенностью утверждать, что понятие оборачивания метода явилось обобщением не только и не столько математических методов, но прежде всего результатом размышлений о сути диалектических методов познания. Поэтому сформулированное в 80-х гг. новое методологическое понятие не должно рассматриваться изолированно от других понятий методологии Маркса, а наоборот, — как один из важных ее моментов. Данное утверждение основано на современной трактовке оборачивания метода[320]).