3.3. Использование прикладной теории игр и матема­тических методов моделирования в управлении сель­скохозяйственного производства

Принятие решений могло бы быть достаточно «легким» процессом, если бы принимающие решения знали однозначно, какой результат получат. Однако в реальной жизни очень часто возникают такие утверждения, как: «Если бы я знал, что это слу­чится, я бы никогда этого не сделал»; или «Если бы мне было из­вестно, что цена на зерно за последний месяц упадет, я бы реали­зовал его на прошлой неделе»; или «Если бы мне было известно, что будет плохой урожай озимых из-за заморозков, я бы застра­ховал свои посевы».

В связи с этим возникает необходимость в разработке спе­циальных методических подходов (основанных на использовании математических методов и моделей), с целью повышения эффек­тивности принятия управленческих решений в условиях риска и неопределенности.

Общеизвестно, что одной из особенностей принятия управ­ленческих решений является использование моделей. Существу­ют много причин, обусловливающих использование моделей при принятии решений. Наиболее важными из них являются:

• естественная сложность организационных систем;

• невозможность проведения экспериментов;

• необходимость оценки будущих результатов принятых решений.

По определению К. Шеннона, модель - это представление объекта, системы или идеи в некоторой форме, отличной от самой целостности[270].

В научной литературе выделяют три базовых типа моде­лей: физические, аналоговые и математические.

В исследовании экономических систем наиболее широкое распространение получили математические модели и моделиро­вание. Это связано с тем, что экономические системы характери­зуются сложными количественными взаимозависимостями, кото­рые можно выразить как взаимосвязь множества переменных и которые хорошо поддаются математическому описанию в виде уравнений и неравенств.

Сущность экономико-математической модели в сжатой и емкой форме выразил В.С. Немчинов: «Экономико­математическая модель представляет собой концентрированное выражение общих взаимосвязей и закономерностей экономиче­ского явления в математической форме»[146,ст. 46].

История применения математических методов в экономике началась в XVIII веке, когда Ф. Кенэ опубликовал свою экономи­ческую таблицу, в которой впервые была сделана попытка гра­фически представить процесс воспроизводства как взаимоотно­шения между различными группами населения. К. Маркс высоко оценил работу Ф. Кенэ и дал свою собственную усовершенство­ванную таблицу [129].

Наиболее бурное развитие экономико-математических ис­следований началось с 30-х годов XX века. Среди множества ученых, занимавшихся этими исследованиями, можно выделить Л. Канторовича, Дж. фон Неймана, В. Немчинова и др.

Свое дальнейшее развитие экономико-математические ис­следования получили в работах А.Аганбегяна, М.Браславца, В. Данилова - Данильяна, Э. Крылатых. А. Курносова, В. Милосер- дова, А. Онищенко и др. Ими были разработаны экономико­математические модели для разных иерархических уровней управления АПК.

Теоретической основой применения экономико­математических методов являются экономическая теория и ки­бернетика, теория исследования операции, теория вероятности, эконометрика. Экономическая кибернетика, опираясь на обоб­щенную методологическую базу для решения тех или иных про­блем, привлекает различные специальные методы, формирует собственные методологические принципы. К ним можно отнести принцип двойственного рассмотрения, требующий анализа вся­

кой целостной системы, во-первых, как относительно обособлен­ной со стороны ее структуры и внутренних механизмов, во- вторых, как подсистему более обшей системы со стороны ее функций, ее взаимодействия с системным окружением.

Экономико-математические модели могут предназначаться для исследования разных сторон народного хозяйства и его от­дельных частей. При классификации моделей по исследуемым экономическим процессам и содержательной проблематике мож­но выделить модели народного хозяйства в целом и его подсис­тем - отраслей, регионов и т.д., комплексы моделей производства, потребления, формирования и распределения доходов, трудовых ресурсов, ценообразования, финансовых связей и т.д.

По целевому назначению экономико-математические мо­дели делятся на теоретико-аналитические, используемые в иссле­дованиях общих свойств и закономерностей экономических про­цессов, и прикладные, применяемые в решении конкретных эко­номических задач (модели экономического анализа, прогнозиро­вания, управления).

Остановимся более подробно на характеристике таких классов экономико-математических моделей, с которыми связаны наибольшие особенности методологии и техники моделирования.

В соответствии с общей классификацией математических моделей они подразделяются на функциональные и структурные, а также включают промежуточные формы (структурно­функциональные).

По характеру отражения причинно-следственных связей различают модели жестко детерминистские и модели, учиты­вающие случайность и неопределенность.

По способам отражения фактора времени экономико­математические модели делятся на статические и динамические.

Модели экономических процессов чрезвычайно разнооб­разны по форме математических зависимостей. Особенно важно выделить класс линейных моделей, наиболее удобных для анали­за и вычислений и получивших вследствие этого большое рас­пространение.

Различия между линейными и нелинейными моделями су­щественны не только с математической точки зрения, но и в тео­ретико-экономическом отношении, поскольку многие зависимо­сти в экономике носят принципиально нелинейный характер (эф­фективность использования ресурсов при увеличении производ­ства, изменение спроса и потребления населения при увеличении производства, изменение спроса и потребления населения при росте ДОХОДОВ и Т.П.).

Теория "линейной экономики" существенно отличается от теории "нелинейной экономики". От того, предполагаются ли множества производственных возможностей подсистем (отрас­лей, предприятий) выпуклыми или же невыпуклыми, существен­но зависят выводы о возможности сочетания централизованного планирования и хозяйственной самостоятельности экономиче­ских подсистем[232].

По соотношению экзогенных и эндогенных переменных, включаемых в модель, они могут подразделяться на открытые и закрытые.

Таким образом, количество математических моделей, кото­рые могут быть использованы при принятии тех или иных реше­ний, очень велико. Поэтому, на наш взгляд, целесообразно вы­явить, какие модели наиболее эффективно использовать при при­нятии решений в условиях риска и неопределенности.

На первых этапах исследований по моделированию эконо­мики применялись в основном модели детерминистского типа. В

этих моделях все параметры предполагаются точно известными. Однако детерминистские модели неправильно понимать в меха­ническом духе и отождествлять их с моделями, которые лишены всех «степеней выбора» (возможностей выбора) и имеют единст­венное допустимое решение. Классическим представителем же­стко детерминистских моделей является оптимизационная мо­дель народного хозяйства, применяемая для определения наи­лучшего варианта экономического развития среди множества до­пустимых вариантов(241].

В результате накопленного опыта использования жестко детерминистских моделей были созданы реальные возможности успешного применения более совершенной методологии модели­рования экономических процессов, учитывающих стохастику и неопределенность. Здесь можно выделить два основных направ­ления исследований.

Во-первых, усовершенствуется методика использования моделей жестко детерминистского типа: проведение многовари­антных расчетов и модельных экспериментов с вариацией конст­рукции модели и ее исходных данных; изучение устойчивости и надежности получаемых решений, выделение зоны неопределен­ности; включение в модель резервов, применение приемов, по­вышающих приспособляемость экономических решений к веро­ятным и непредвидимым ситуациям.

Во-вторых, получают распространение модели, непосред­ственно отражающие стохастику и неопределенность экономиче­ских процессов и использующие соответствующий математиче­ский аппарат: теорию вероятностей и математическую статисти­ку, теорию игр и статистических решений, теорию массового об­служивания, стохастическое программирование, теорию случай­ных процессов.

Практика показала, что для решения большого круга эко­номических задач, наряду с методами математического програм­мирования, в которых определяются экстремумы функций, целе­сообразно изучение и использование, так называемых оптималь­ных минимаксных и максиминных решений. В связи с этим, на наш взгляд, целесообразно применять один из основополагаю­щих методов моделирования - теорию игр. представляющий со­бой новый раздел оптимизационного подхода и позволяющий решать новые задачи при принятии решений, и в том числе зада­чи принятия решений в условиях риска и неопределенности.

Обычно теорию игр определяют как раздел математики для изучения конфликтных ситуаций. Основы ее были разработаны выдающимися математиками Дж. Фон Нейманом и О. Морген- штерном[145]. Она служит для разработки самого лучшего, оп­тимального образа действий игроков на основании математиче­ского анализа тех или иных игр. В большей степени теория игр возникла из потребности исследовать математическими методами известные экономические конфликты.

Любая экономическая ситуация складывается в результате взаимодействия совокупности элементов, составляющих ту или иную экономическую систему и представляющих собой различ­ные организации или их объединения [68]. Очевидно, что пове­дение элементов экономической системы зависит от целого ряда факторов, флуктуацию которых заранее предвидеть не всегда представляется возможным (покупательный спрос, конъюнктура на рынке, погодные условия и т.д.). В результате экономические конфликты и противоречия протекают в условиях неопределен­ности действий отдельных элементов, влияющих на эффектив­ность принятых управленческих решений, что обуславливает цс-

.несообразность построения и использования теоретико-игровых моделей.

Теория игр изучает и рассматривает методы определения оптимального поведения при управлении системами, в которых характерно наличие конфликтной ситуации (столкновение инте­ресов).

Следуя Н.Н. Воробьеву [50], под конфликтом понимается всякое явление, применительно к которому можно говорить:

а) кто и как в этом явлении участвует;

б) каковы могут быть у этого явления исходы;

в) кто в этих исходах заинтересован;

г) в чем эта заинтересованность состоит.

Для конфликтов характерно то, что ни один из его участ­ников заранее не знает решений, принимаемых остальными уча­стниками. Другими словами, участники конфликтов вынуждены действовать в условиях риска и неопределенности. Неопределен­ность исходов может проявляться не только в результате созна­тельных действий других участников, но и как результат дейст­вия тех или иных стихийных сил [68].

Формализация содержательного описания конфликта пред­ставляет собой его математическую модель. В простейшем слу­чае модель игры включает две стороны, интересы которых пол­ностью или частично противоположны. Игроком принято считать одного участника или группу участников, имеющих общие инте­ресы, не совпадающие с интересами других групп.

Правила, условия игры определяют возможные поведение, выборы и ходы для игроков на любом этапе развития игры. Сде­лать выбор игроку значит остановиться на одной из его возмож­ностей. Игрок осуществляет этот выбор с помощью ходов. Сде­лать ход - это значит на определенном этапе игры осуществить

сразу весь выбор или его часть в зависимости от возможностей, предусмотренных правилами игры. Каждый игрок на определен­ном этапе игры делает ход согласно сделанному выбору. Другой игрок, зная или не зная о сделанном выборе первого игрока, так­же делает ход. Каждый игрок старается учесть информацию о прошлом развитии игры, если такая возможность допускается правилами игры.

Набор правил, которые однозначно указывают игроку , ка­кой выбор он должен сделать при каждом ходе в зависимости от ситуации, сложившейся в результате проведения игры, называет­ся стратегией игроков. Стратегия в теории игр означает опреде­ленный законченный план действий игрока, показывающий, как надо действовать ему при всех возможных случаях развития иг­ры. Поэтому стратегии могут быть плохими, неудачными или удачными, хорошими.

Правилами игры предусматриваются определенные выиг­рыши для игроков в зависимости от применяемых ими стратегий и исходов игры. Выигрыш - это мера эффекта для игрока. В тео­рии игр выигрыш должен измеряться обязательно количественно.

В теории игр не существует установившейся классифика­ции видов игр. Однако по определенным критериям некоторые виды можно выделить. Для этого необходимо прежде всего вы­явить классификационные признаки. Такими признаками явля­ются: количество игроков; количество стратегий; количество хо­дов; характер взаимоотношений; характер выигрышей; характер неопределенности игровой ситуации; вид функции выигрыша; состояние информации;

В зависимости от количества игроков определяют игры: одного, двух, п - игроков.

Игры одного игрока не представляют интереса и не рас­сматриваются в теории игр. Игры двух игроков - наиболее рас­пространенные, их исследованию посвящено много работ и дос­тигнуты наибольшие успехи в теории и в практических приложе­ниях [77,154,180].

Игры трех и более игроков менее исследованы из-за возни­кающих принципиальных трудностей и технических возможно­стей получения решения. Трудности растут с увеличением числа игроков.

По количеству стратегий игры делятся на конечные и бесконечные. Если в игре каждый из игроков имеет конечное число возможных стратегий, то игра является конечной. Если хо­тя бы один из игроков имеет бесконечное число стратегий, то - бесконечной. В случае если бесконечная игра имеет число страте­гий, которые можно перенумеровать, то она называется сепара­бельной^ если же число стратегий заполняет сплошь некоторый промежуток (континуум), то она называется непрерывной.

По количеству ходов выделяют игры одношаговые и мно­гошаговые. Одношаговые игры заканчиваются после одного хода каждого игрока. Каждый игрок делает ход, и затем делятся выиг­рыши.

Многошаговые игры делятся: на позиционные, стохастиче­ские, дифференциальные. В позиционных играх может быть не­сколько игроков, каждый из которых может последовательно во времени делать несколько ходов. Выигрыши определяются в за­висимости от исходов игры. Если в игре производятся ходы, при­водящие к выбору определенных позиций, причем имеется опре­деленная вероятность возврата на предшествующую позицию, то такие игры являются стохастическими. Если в многошаговой игре допускается делать ходы непрерывно и подчинять поведе-

ние игроков некоторым условиям, описываемым дифференци­альными уравнениями, то такие игры называются дифференци­альными.

По характеру взаимоотношений игры бывают бескоали­ционные, коалиционные и кооперативные. Бескоалиционными на­зываются игры, в которых игроки не имеют права вступать в со­глашения, образовать коалиции. В коалиционной игре, наоборот, игроки могут вступать в соглашения и образовать коалиции. В кооперативной игре коалиции определены заранее.

По характеру выигрышей бывают: игры с нулевой суммой и игры с ненулевой суммой. Игры с нулевой суммой бывают то­гда, когда сумма выигрышей всех игроков в каждой игре равна нулю, т.е. общий капитал всех игроков не меняется, а перерас­пределяется между игроками в зависимости от исходов. Чаще всего такие игры называют антагонистическими, ибо цели игро­ков прямо противоположны.

Примером игры с ненулевой суммой могут быть торговые взаимоотношения между странами. В результате все страны мо­гут быть в выигрыше. Кроме того, всякая игра, за участие в кото­рой надо платить, является игрой с ненулевой суммой. В принци­пе любую игру с ненулевой суммой можно свести к игре с нуле­вой суммой (необходимо ввести одного фиктивного игрока, по­лучающего сумму выигрыша, дополняющего до нуля).

По характеру неопределенности игровой ситуации, в ко­торой требуется принимать решения, разделяют игры: комбина­торные, случайные и стратегические. Комбинаторные игры - число исходов, стратегий, факторов конечное не очень большое. Можно построить модель игры, выработать правила. Однако чис­ленное решение невозможно из-за большой размерности задачи. В случайных играх выбор исходов не зависит от поведения игро­

ка. В стратегических играх один участник находится в состоянии неопределенности относительно поведения других участников игры.

По виду функций выигрыша игры делятся: на матричные, биматричные, непрерывные, выпуклые, сепарабельные. Матрич­ная игра - это конечная игра двух игроков с нулевой суммой, в которой задаются выигрыши первого игрока в виде матрицы (строки матрицы - номер стратегии первого игрока, номер столб­ца - стратегии второго игрока). Для игр с нулевой суммой выиг­рыш второго игрока равен проигрышу первого. Любая матричная игра имеет решение и может быть реализована методами линей­ного программирования. Матричные игры еще называют играми в нормальной форме.

Биматричная игра - это конечная игра двух игроков с не­нулевой суммой, в которой есть матрицы выигрышей (проигры­шей) отдельно для каждого участника. Для таких игр также раз­работаны теории оптимального поведения игроков.

Непрерывной считается игра, в которой функция выигры­шей является непрерывной в зависимости от стратегий. Если функция выигрышей является выпуклой, то игра называется вы­пуклой. Если функция выигрышей может быть представлена в виде суммы произведений функции одного аргумента, то такая игра называется сепарабельной (раздельной).

В сельском хозяйстве наиболее часто встречающийся на практике случай это, когда имеется конечное число вариантов выбора решений B∣,...., B_m (причем каждому варианту' соответст­вует некоторый результат r_i. i=l,....m) и необходимо найти вари­ант с наибольшим значением результата, т.е. целью выбора слу­жит max r_i. В качестве η может служить прибыль, валовой доход, некоторая характеристика устойчивости сельскохозяйственного

производства и другие. Противоположную ситуацию с оценкой затрат или потерь можно исследовать путем минимизации оценки или введения отрицательных величин полезности.

Таким образом» выбор оптимального варианта производит­ся с помощью критерия

Выбор оптимального варианта не является, вообще говоря, однозначным, поскольку max η. может достигаться сразу в не­скольких вариантах выбора.

В рассмотренном случае каждому варианту решения соот­ветствует единственное (внешнее) состояние, т.е. однозначно оп­ределяется единственный результат. Этот случай является доста­точно простым и весьма частым. В более сложных случаях каж­дому допустимому варианту принятия решения Bi , вследствие различных внешних условий Y,, j=l, ...» n., соответствуют раз­личные результаты r_ij решений.

Такие внешние условия, факторы риска Yj были в основ­ном перечислены выше. Итак, семейство решений описывается матрицей

Λ = k∣,,............................... _m (3.2)

’ ' j=∣.................................. "

Чтобы перейти к однозначному и наиболее выгодному ва­рианту решения, вводятся оценочные (целевые) функции. При этом матрица решений ∣(r_ij)∣ сводится к одному столбцу. При этом существуют несколько классических критериев выбора решений. Эти критерии нами были разделены на две группы:

1) критерии выбора решения в условиях неопределенности;

2) критерии выбора решения в условиях риска. К первой группе критериев относятся:

1. Минимаксный критерий (MM){501 -Z∏∏√

Z__ = max r_in; r_in = min r_ii,

mm

то есть

I I

^β_u = ‰ ^eβ^