Гипотеза Бернулли

До этого момента мы рассматривали теорию полезности как средство прогнозирования потребительского выбора, осуществляемого среди некоторого количества "известных перспектив", или по крайней мере прогнозирования того, как потребители оценивают наборы "известных перспектив”.

Все попытки определить функцию полезности на основе наблюдения за реакцией индивидов на вероятностные ситуации восходят к статье Бернулли о Санкт-Петербургском парадоксе (1738 г.). Суть парадокса в следующем: монета бросается до тех пор, пока она не ляжет лицевой стороной вверх; если это произойдет при первом броске, А платит В 1 долл.; при втором — 2 долл.; при третьем — 4 долл. и т.д., т. е. А всякий раз уплачивает 2" ~1 долл. зал-ый бросок, при котором монета ложится лицевой стороной вверх. Какую плату захочет уплатить В за право играть в такую игру, если это "честная игра"? "Честной игрой" считается такая игра, в которой от игрока на каждой стадии игры никогда не требуют заплатить больше, чем общее математическое ожидание успеха, т.е. страховую стоимость (actuarial value of gamble). Ожидаемый выигрыш или ожидаемая потеря дохода от "честного пари", следовательно, всегда равны нулю. Математическое ожидание успеха при первом бросании монеты равно р • 1 долл. = (|) • 1 долл. = 0,50 долл.; при втором бросании оно равно ф ф • 2 долл. = 0,50 долл.; при п-м бросании оно составит ф" • 2я “1 долл. = (2)" “1 • 2* “1 долл. =

2"1 долл. = 0,50 долл. Поскольку общее ожидание Е представляет собой сумму ожиданий на каждой стадии игры, то? = 0,50 долл.

Одним из решений этого парадокса может быть определение верхней границы выигрыша. Однако Бернулли предложил другое решение. Он утверждал, что люди руководствуются не "математическим ожиданием", а "моральным ожиданием" успеха, при котором вероятность взвешивается по полезности дохода. К тому же предельная полезность дохода с каждым приростом последнего снижается. При снижающейся предельной полезности денежного дохода люди будут настаивать на увеличивающих-

ся выплатах, с тем чтобы компенсировать риск данной потерн: никто не станет платить долл. за шанс выиграть 2 долл. с вероятностью 50%. Бернулли иллюстрировал свое доказательство графически (см. рис. 9-1).

Богатство индивида в самом начале составляет АВ, а шанс выиграть ВР равен 50%. Общая полезность выигрыша и потеря полезности, связанная с платой за право участвовать в игре, измеряются вдоль оси ординат. Если бы sBS была прямой линией, индивид платил бы суммурВ, в точности равную ожидаемому выигрышу ВР. Поскольку кривая полезности дохода вогнута книзу, рВ представляет собой самую большую сумму, которую придется уплатить за 50%-й шанс выиграть ВР, причем в этой точке полезность выигрыша РО равна потере полезности от платы за игруро. Далее Бернулли предположил, что кривая является логарифмической. Бели гН представляет собой полезность бесконечно малой величины выигрыша PD для индивида, имеющего сумму денег АР, то, как полагает Бернулли, гН прямо пропорционально PD и обратно пропорционально АР. То есть допустим, что Р — это величина "имущества* индивида; a dP — приращение этого имущества; тоща ... ,dP dU k .

du = к—или — *s —, где к — постоянная величина.

Предположим вместе с Бернулли, что с — величина "имущества", необходимая для существования, тогда общая полезность, получаемая от дохода Р, может быть представлена определенным интегралом:

fk — = к (logP - log с) = к log^,

где с — постоянная интегрирования.

"Гипотеза Бернулли" утверждает, что dU, т.е. предельная полезность дохода, снижается тем же темпом (в %), каким увеличивается доход независимо от величины к. График предельной полезности дохода принимает, таким образом, форму равнобочной гиперболы, а это означает, что увеличение дохода на 10% ведет к снижению на 10% его предельной полезности независимо от его уровня. Но, как мы увидим далее, это всего лишь один представитель семейства возможных графиков предельной полезности дохода.