Геометрические методы анализа

1

Первое, что необходимо для анализа монополии, — это> кривые предельных и средних величин. Понятие средней и предельной величины может использоваться при рассмотрении издержек производства, полезности, дохода, производительности факторов и т.

производства (га—1) единиды. Средние издержки _г;пред- ставляютсобой сёвокупные издерЖкй продзйбдствр ^. еди- нидпродукции, делённые на га. Таким образом. е'с^ из- вестны средние издержки двухЛпослёдоватедьных знайе- ний выпуска продукции, то можно вычислить предельные издержки^[49]. " ... ■' ' \

или

B первом примере рассматривается рост издержек, а во втором — их снижение. Если удельные издержки постоянны, то предельные и средние ивдержки равны. Итак, ' ·>“ --> «і

B Случае, когда предельные издержки превосходят средние, последние должны возрастать. Действительно, если величина предельных издержек, добавляемая, скажем, к двенадцатой единице продукции, превосходит средние издержки производства одиннадцати единиц, то средние издержки производства двенадцати единиц будут выше средних издержек производства одиннадцати единиц.

Подобного рода взаимосвязи можно изобразить схематически с помощью кривых, описывающих изменение предельных и средних величин. Как принято, значения выпуска продукции откладываются по оси x, а удельные издержки (среДние и предельные) — по оси у. Мы убедились, что до тех пор, пока кривая предельных издержек лежит ниже кривой средних издержек, последняя должна понижаться; как только кривая предельных издержек оказывается выше кривой средних издержек, последняя начнет повышаться. Если кривая средних издержек сначала понижается, а затем повышается, то кривая предельных издержек будет пересекать кривую средних издержек в низшей точке последней. Происходит это потому, что кривая средних издержек может понижаться только тогда, когда кривая предельных издержек расположена ниже ее, а повышаться — только тогда, когда кривая предельных издержек лежит выше. Точно так же, если кривая средних издержек сначала повышается, а затем понижается, то кривая предельных издержек будет пересекать кривую средних издержек в наивысшей точке последней.

Обе кривые должны исходить из одной и той же точки на оси у, поскольку при бесконечно малом значении выпуска продукции средние и предельные издержки совпадают.

Как мы уже видели, предельные издержки можно исчислить, если известны средние издержки двух последовательных значений выпуска, иными словами, если известен наклон кривой, характеризующей средние издержки. Однако, чтобы на основании данных о предельных издержках рассчитать средние издержки, необходимо знать характер кривой предельных издержек вплоть до того значения выпуска, о котором идет речь. Совокупные издержки производства n единиц продукции можно определить, если исчислить издержки производства одной единицы продукции плюс дополнительные издержки производства второй единицы плюс дополнительные издержки производства третьей и последующих единиц, включая п-ю единицу продукции. Следовательно, совокупные издержки производства того или иного объема продукции выражаются площадью фигуры, ограниченной свѳрху кри- вой предельных издержек для всех значений выпуски

продукции вплоть до того значения, о котором идет речь. Разделив величину площади на n, мы может определить средние издержки.

Рис. 2

3 .. .

’ Теперь необходиііо исследовать взаимозависимостЕ кривых средних и предельных издержек с геометрической T AD в точке D, Предельная оценка QE (которая равна QD минус AS) — общая для всех кривых и для касательной, а кривые предельных эначений пересекаются в точке E.

Кроме того, можно убедиться в том, что если две кривые средних эначений не касаются одна другой, а пересекаются в произвольной точке D, то кривая предельных эначений, соответствующая менее эластичной из двух кривых средних значений, должна пересекать отрезок DQ ниже точки его пересечения с кривой предельных значений, соответствующей более эластичной кривой средних значений. Сами же кривые предельных значений должны пересекаться между собой слева от отрезка DQ.

5

Характер взаимосвязи между некоторой кривой средних значений и соответствующей кривой предельных значений зависит от эластичности^[50] первой из этих кривых. Когда кривая средних издержек повышается, предельные оценки должны быть положительны независимо от эластичности этой кривой, а когда кривая средних издержек понижается, но ее эластичность больше единицы (так что увеличение выпуска влечет за собой рост совокупных издержек), предельные оценки также должны быть положительны. Когда же эластичность кривой средних значений равна единице (так что при увеличении выпуска продукции совокупные издержки остаются неизменными), предельные издержки равны нулю, а если эластичность кривой средних издержек меньше единицы, соответствующие оценки для кривой предельных издержек будут отрицательными^[51].

Случай, когда кривые средних и предельных значений изображаются прямыми линиями, иллюстрирует рис. 8.

Рис. 8

Эластичность любой кривой средних значений в точке ее пересечения с осью у равна бесконечности; в этой точке дфивая средних значений совпадает с кривой предельных значений. Эластичность кривой средних значений в точке пересечения с остыо X равна нулю. Единице эластичность кривой средних· значений, изображаемой прямой линией, равняется в точке, делящей ее пополам. До прохождения кривой этой точки рна эластична, а предельные оцеНки положительны, после прохождения — неэластична, а предельные оценки отрицательны.

B общем случае легко убедиться; насколько тесно расстояние по вертикали между кривыми средних и предельных значений связано с эластичностью первой кривой. Чем больше в той или йной точке эластичность кривой средних значений, тем ближе находится к ней кривая предельных значений.

Так, из рис. 6, приведенного выше, видно, что· чем больше эластичность кривой в данной точке Z>, тем меньше будет наклон касательной AD, тем короче будет отдовании предедьного исреднего дохода (см. с. 95—96). Криваясред- пих иадержек, эластичность котОрой равна единцце, теоретически вполне-возможна. Если бы производство минйыальновозможного количества дополнительной продукции — единицы цродукции — при бесконечно большом выпуске не требовало роста издержек, кривая средних издержек имела бы вид гиперболы, асимптотцми Которой являются оси у и X, а соответствующая кривая прѳдельных издержек совпала бы с осями у и x.

резок ^Вйтем ближе одна кдругой будут располагаться io4im E и 29; Если кривая средних значений характери^ зуется абсолютной эластичностью,, она окажется парал* лельной оси X, кривая предельных значений срвпадет с ней, а издержки производства будут постоянными. Дополнительные издержки производства добавочной единиц» продукции в каждой точке кривой будут тогда равны средним издержкам производства продукции в этой и любой другой точке.

Определение зависимости между средней оценкой, предельной оценкой и эластичностью кривой средних издержек может, разумеется, быть болеѳ· строгим.

Pue. 9

Используя полученную формулу (см. рис. 9), можно вычислить соотношение предельной и средней оренок при условии, чт0 известна эластичность кривой средних значений. Так, найример, если кривая средних значерий представляет собой гиперболу с асимптотами на осях x и у и эластичностр ее равна единице для любых j значений выпуска, то предельная оценка равна нулю для;всех значений выпуска, а самакривая предельных значений совпадает с осями X и у. B случае, когда эластичность кривой среднцх значений равна бесконечности, —- прини- \ ^ε

мает значение, равное единице, а средние и предельные оценки одинаковы. \

Эластичность повышающейся кривой, считается отрицательной^[52]. Для такой кривой предельная оценка превосходит среднюю оценкул . i\

6 ;

Теперь мы должны рассмотреть взаимосвязь кривых предельных и средних значений для некоторых специальных случаев. Такое рассмотрениѳ представляется полезным, поскольку оно помогает уяснить общий сМысл подобных взаймосвязей, \ кроме того, пригодится нам в процессе последующего аЦализа. Например, если средние издержки остаются до некоторого значения выпуска продукции иа графике постояцными, а затем начирают постепенно увеличивйтЬся, то ;кривая предельных цздержек также начнет постепенн'о ютклоцяться от кривой средних издержек (см. рис. 10). B случае, когда кривая средних значений начинает повышаться резко, т. e. наблюдается

Puc. 1ϋ

Рис. 11

Рис. 18

ее излом (kink) ’, кривая предельных значений будет co- держать разрыв (см. рис. 11).

Точно такой жѳ излом может характеризовать понижающуюся кривую средних значений. Например, если ^[53]

t

наклон кривой* средних значений, понижавшейсядо какой-то точки равномерно, неожиданно резко изменяется (подобно тому как это изображено на рис. 12), то кривая предельных значений будет повышаться «скачкообразно», а затем примет свой обычный вид.

Если наклон кривой средних значений резко возраста- ет (см. рис. 13), то кривая предельных значений будет «скачкообразно» убывать.

Нарушение непрерывности' кривой средних значений может рассматриваться как крайний случай ее движения, когда ее наклон резко изменяется; при небольших изменениях выпуска продукции. B этом случае соответствующая кривая предельных значений· без всяких разрывов резко возрастает или убывает.

7 ^ ...................

Между кривыми средних^: и предельных значений может существовать иного рода взаимосвязь, который мы пока не касались. Предельные издержки могут быть постоянными, в то время как средние убывают. Такое^: встречается, если издержки распадаются на два элемента: затраты, непосредственно зависящие от объема производства, и фиксированные расходы, совершенно не свяванные с количеством выпускаемой продукции. Сказанное можно наглядно проиллюстрировать на известном примере с пресс-формой и медалями. Предположим, что пресс-форма стоит 100 ф. ст., а процесс изготовления с ее помощью медали — 1 ф. ст. Тогда предельные и средние издержки можно изобразить следующим образом:

* Под наклоном кривой в некоторой точке вдесь и далее понимается наклон касательной, проведенной в данной точке. — · Прим. ред. ' ,

г - 80

B приведенном примере предельные издержкі производства неизменны, а средние убывают по мере/того, как расширяется выпуск. Кривая средних издержек представляет собой гиперболу с перпендикулярными асимптотами. Площадь фигуры, образованной в положительном; ортантѳ осями координат и гиперболой, равняется величине постоянных издержек (здесь это 100 ф. ст.). Кривая предельных издержек представляет собой прямую линию, параллельную оси x, и является асимптотой по отношению к кривой средних издержек'.

' ^ Рис. Ii

Подобные кривые можно использовать при анализе краткосрочных издержек, когда накладные расходы постоянны, а основные меняются. Если при соответствующих значениях выпуска продукции основные расходы в среднем постоянны, то взаимосвязь предельных и средних издержек будет такой, как описано выше в приведенной диаграмме.

8

Теперь необходимо вернуться к кривым более простого вида. B разделе 3 мы выяснили, что, если кривая средних значений представлена прямой линией, перпендикуляр, опущенный из некоторой ее точки на ось у, делится кривой предельных значений пополам. Аналогичную зависимость можно выявить и для случая, когда кривые предельных и средних значений нелинейны. ^[54]

Рис. 15

Если понижающаяся кривая средних значений вогнута *, перпендикуляр, опущенный из некоторой ее точки на ось у, пересекается кривой предельных значений слева от середины.

Проведем касательную к кривой средних значений в точке P. Тогда прямая, корреспондирующая^{[55] [56]} с касательной, пересечет кривую предельных значений в точке С, абсцисса которой равна абсциссе точки P, а ордината меньше.

Проведем, далее, отрезок ВС, параллельный осн x и пересекающий ось у в точке B, кривую предельных значений — в точке С, касательную — в точке N, а кривую средних значений — в точке D. Тогда BC=CN^[57].

Поскольку кривая средних значений вогнута, абсцисса точки D должна быть больше абсциссы точки N.

Следовательно, CD>CN,

но CN=BC.

Следовательно,

Если кривая средних значений повышается, касательная будет лежать справа от нее, поэтому Если кривая средних значений понижается, но она выпукла, тоа если она повышается, но выпукла,Соотношение BC и BD зависит от накло

на и кривизны кривой средних значений'.

¹ Если кривизна данной кривой невелика, то приблизительную оценку такого соотношения можно получить следующим образом.

Следовательно,

можно считать величиной поправки на вогнутость (adjusted

concavity) кривой средних значений. Я привнательна г-ну P. Ф. Кану за это доказательство.

Пусть прямая, корреспондирующая с кривой средних значений в точке D, пересекает BD в точке L, так что BL**LD. Если y-f(x)~ уравнение кривой средних значепий, то наклон корреспондирую-

Puc. J5A

щей прямой равен 2f(x) (см. с. 70). Уравнение для кривой предельных значений будет иметь вид: y=f(x)+f'(x), а наклон этой кривой составит 2f'(x)+xj"(x).

Если f"(x) достаточно мало, то кривую предельных значений

Последующее изложение в основном будет посвящено пересечению различных пар кривых предельных значений и пар кривых средних значений. Приведенные выше доказательства помогаютвыявить взаимосвязь подобным образом перёсекающихся кривыхгКЬгда объектом исследования была линейная зависгімость, мы обнаружили, что если две кривые средних значенийпёр'есекаготся в одной точке, то точка пересечения двух, соответствующих кривых предельных значений находится посередине между осью у и точкой пересечения кривых срѳднйх значений, причем обе точкц пересечения. одинаково удалены от оси ж І. -Кщда іке .кридые изображают нелинейную зависи- мо^тъ, это в общем неверно, как и будѳт показано ниже. B каждом конкретном случае отношение отрезков BC и BD будет определяться поправкой на вогнутость кривых.

Пусть две понижающиеея кривые средних значений A_i и A_i лересекаются в точке D. Проведем BD_t параллельную оси x, Пусть

Рис. 16

MOHSHO приблизительно считать прямой линией, проходящей черѳэ точки C и E. Следовательно, .

зать^[58], что'ёслй---ѣыпУкла#^:;кртвая'средних значеній понижается; і воґнутая;_%іривая средних значений пйвыша»- ется, то точка пересечения -соответствующих кривых прё- дельных значений должна находиться от оси у на расстояний, которое больше половины расстояния от кее до> точки пересечения кривых средних значений; одНайо pac- стояниедо оси X мйжётбыть как болвше, так и мгёньшё- соответствующего расстояния от точки пересечении кргі- вых средних и&дёржёк: Таким o6pa80ii; судитьотом;.

какова взаимозависимость между парами одноименных: кривых всевозможных видов, можно на основании пред?- посылок, принятых в разделе 8.

10

Теперь следует рассмотреть вопросы,’ связанйЫе еЬ> сдвйгами кривых.В основном/мь^соередоточим вниманир· на том, как изменяется положение кривых средних зна,- чений. Эти сдвиги могут быть оамыми разными. Кривая средних значений при данном 'выпуске может перемес

титься вверх, не меняя наклона. Тогда при данном значении выпуска касательные, проведенные в соответствующие атому выпуску точки кривой средних значений до