12-2. ПРОБЛЕМА НАЛОГООБЛОЖЕНИЯ РАМСЕЯ

Начальный абзац статьи Рамсея заслуживает того, чтобы процитировать его полностью, поскольку он вносит ясность в проблему, поставленную перед ним Пигу, а также означает рамки ответа на нее:

Проблема, которую я хочу предложить к рассмотрению, заключается в следующем: данные поступления должены быть получены с помощью пропорциональных налогов на некоторые или всевозможные виды доходов, налогов на различные доходы, полученные, возможно, по различным ставкам; как эти ставки должны регулироваться, чтобы убывающая полезность могла быть минимальной? Я предлагаю полностью пренебречь вопросами распределения и соображениями, возникающими из-за различий в предельной полезности денег для разных людей; и я буду иметь дело только с чисто конкурентной системой без внешней торговли.

Исследование здесь отличается в определенных аспектах от рамсеевского, и мы смягчаем допущения о распределении (раздел 12-5) и допускаем присутствие внешних факторов (Лекция 14). Однако в этом разделе мы упростили детализирование настолько, насколько это было возможно.

Модель

Поскольку нашей первоначальной целью является фокусирование внимания на соображениях эффективности, предполагается, что все потребители одинаковы и имеют дело с идентичными ставками налогов и что цель правительства состоит в максимизации благосостояния «репрезентативного» индивидуума.

Структура проблемы такова, что правительство, максимизирует индивидуальные функции спроса и предложения, которые, в свою очередь основаны на решении проблемы ограниченной максимизации. Репрезентативный потребитель поставляет L единиц труда (где L измеряется долей рабочего дня) и потребляет X? товара / (/ = 1,..., п). Предположительно он максимизирует U (X, L) при условии бюджетного ограничения

Необходимо заметить, что предполагается отсутствие налога на заработную плату, но если не существует других источников дохода для потребителя, то это не ведет к ущербу для обобщений. Предположим, что на заработную плату установлен налог т. Тогда «ограниченность» бюджета потребителя становится

^q,X,-w(l-x)L

(12-8')

(суммирование идет от 1 до п, пока не указано иное). До тех пор пока потребитель заинтересован, это будет эквивалентно ситуации, где нет налога на заработную плату и q? растет до q/(l - т), т.е. для налоговой ставки становится

г              =I±u

'“1-х              1-х'              (12-9)

Доход правительства в последнем случае равен

X,

1 -т

(12-10)

1'Д=Х

'Ч+хЛ

что можно сопоставить с ситуацией налога на заработную плату:

X а,+х*/=х a+jr-j X а+о-*;=

'х+Х,Л

1-Х

=1

X,,

(12-11)

где мы сделали замену для wL из (12-8'). Правительственные поступления также незатронуты. Следовательно, налог на заработную плату в этой модели эквивалентен единообразному налогу на все товары. Это зависит от отсутствия других источников дохода (таких, как доход от прибыли) и от того, что мы не можем обложить налогом потенциал потребителя (т.е., досуг)[167].

Цель правительства в этом случае — максимизировать индивидуальное благосостояние при условии ограниченности

дохода и индивидуальных условий максимизации выгоды. Следуя Даймонду и Миррлизу [Diamond and Mirrlees, 1971], удобно рассмотреть проблему с точки зрения функции косвенной полезности V(q, w). Составление Лагранжана

V(q, w) + X

I a

(12-12)

дает условия первого порядка для ставки налога tk

(12-13)

f.V

Э qt

х +у t — ‘ + ‘*чк

Обозначая через a предельную полезность дохода для потребителя и используя свойства функции косвенной полезности (Э V/dqk = -aXk),

dX? (X- а)

(12-14)

1=-~)Гх*при *=1gt;• ’ ”•

Эти уравнения могут быть преобразованы с использованием соотношения Слуцкого

дХ( п v дХ,

—— - Silc - Хк —гг для всех і, к К * дМ

(12-15)

где Sjk — производная кривой компенсированного спроса и дХі/дМ означает эффект дохода, оцененный при М— 0. Делая замену, мы получаем

(12-16)

X ^ik ~

Xk при k = 1,..., п

Используя симметрию членов уравнения Слуцкого (S^ = Sk?) и вводя в для коэффициента Хк в (12-16),[168] имеем

(12-17)

? lt;,5*, = -ел; при к=\,

Формулой (12-17) мы обязаны Самюэльсону (1951), который дал следующую интерпретацию: левая часть отражает изменения в спросе товара к, которые возникают, если потребитель получит компенсацию и останется в том же месте кривой безразличия, а производные кривых компенсированного спроса будут постоянны. На самом деле, последнее условие невозможно удовлетворить для всех товаров, но ля небольших налогов почти верно то, что оптимальная налоговая структура ведет к равному пропорциональному движению вдоль кривой компенсированного спроса для всех товаров (поскольку 0 не зависит от к)1. В этой формуле важное значение компенсированных производных находится в согласии с интуицией: эффект дохода будет проявляться при любой форме налогообложения, а искажение возникает от эффекта замещения.

^ X ** *^w h - ~ 9 *0-

Т /              (12-18)

Можно показать, что левая часть имеет отрицательное значение (применяя отрицательную полунеопределенность матрицы Слуцкого), так что 0 имеет такое же значение, как и доход правительства.

Дальнейшая интерпретация может быть дана для 0 исследованием эффекта, позволяющего правительству взимать единовременный налог Т. Тогда по Лагранжу

V(q, 7) +А

T+J't.X'-S,

(12-19)

ч              /

Из этого мы можем видеть, что, используя определение 0,

эг=-а+х

= 0 А

(12-20)

(поскольку Э V/В T=-clvlBX?/BT=-BX?/BM).

Теперь предположим, что правительству было позволено немного увеличить (на di) единовременной налог (отодвигаясь от

оптимума, описанного выше), где налоги на товары регулируются таким образом, что сохраняется ограничение для поступлений. Тогда dJ/dT=B /ВТ (т.к. Э /Btk = 0 для всех к, согласно первоначальным условиям первого порядка) и, поскольку ограничение для поступлений растет, d = dV= X 0 dT. Благосостояние продолжает увеличиваться, и измеряет выгоду, выраженную с точки зрения дохода, которую можно переключить от (оптимальной) системы косвенных налогов к единовременному обложению.

На этом этапе мы можем отметить последствия ослабления допущения о фиксированных ценах производителя. Предположим, что производство имеет место при постоянной норме прибыли при росте масштабов производства, как у Даймонда и Миррлиза [Diamond and Mirrlees, 1971]. Ограничение правительственных поступлений доходов заменяется производственным ограничениям:

(12-21)

wL = F(Xl,...,X/) + R0

где w фиксированное (труд вновь становится numeraire), а правая часть уравнения представляет потребности частного сектора в труде F(X) и правительственный доход Rq, выраженный в категориях труда. Условия второго порядка становятся

dZ _ ^ г» дХ/

~ 'эqk

' /

BV

\

(12-22)

Поскольку норма отдачи от масштаба постоянна, то нет чистого дохода от прибыли, так что дифференцирование бюджетного ограничения потребителя дает

(12-23)

Максимизация прибыли в частном секторе предполагает F?=рь где Pi означает цены производителя8, из чего таким образом следует, что

(отмечая, что q? - р, = t). Следовательно, мы возвращаемся назад при условии (12-13). Поэтому форма условий первого порядка не испытывает воздействия в случае постоянной отдачи от масштаба

(непостоянные отдачи обсуждаются в Лекции 15); с другой стороны, цены производителя в целом меняются с изменениями налоговых ставок.

До сих пор анализ основывался на условиях первого порядка, и мы должны отметить, что их необходимость утверждалась, но не была продемонстрирована. Этот момент детально обсуждается Даймондом и Миррлизом [Diamond and Mirrlees, 1971, раздел X], которые установили ограничительное условие, так использование множителей Лагранжа действительно обосновано и приведенные ранее формулы необходимы для достижения оптимальности. Они также приводят полезную дисскусию по вопросу о единообразии. Существуют две проблемы. Во-первых, детализация налоговых ставок не может единообразно определять поведение системы. Во- вторых, может существовать более чем одного решения в отношении условий первого порядка:

если единовременные трансферты исключены в качестве реально осуществимой политики, то эта проблема может возникнуть, даже когда производственное множество является выпуклым. Нет причин, по которым функции спроса должны иметь любое из свойств выпуклости, которые гарантируют, что условия первого порядка допускают глобальную максимизацию [Diamond and Mirrlees, 1971, с.276].

Можно придумать примеры, где более чем одно значение tk удовлетворяет условиям первого порядка[169]. Более того, весьма возможно, что имеются два товара у и ? с идентичными условиями спроса, приводящим к идентичным условиям первого порядка, где глобальный оптимум подразумевает асимметричное решение (tj ф tk). По этой причине необходимо быть внимательным при составлении заключений об однородности налогов, следующей из первостепенных условий первого порядка. Тот явный факт, что условия для tjHtk идентичны по форме, не означает, что они равны. (Есть также важные предположения для горизонтального^ равенства, принимаемые в расчет позднее.)

Пример

Для иллюстрации результатов рассмотрим случай с двумя товарами и трудом, а также неотрицательной потребностью в поступлениях. Тогда условия (12-17) становятся

/, ?п +12 а;2=- в хх

/і »У2] + t2 S22 = — 0 Х2.

решая, получаем

— (Ф/S) (*Sj2 X2 — S22 Xx) t2 - (0/A) (»Sjj Xx - А1,, Л^).

где S- A\, S22 - A]2 и является положительным, исходя из свойств матрицы Слуцкого. Определяя эластичности компенсированного спроса и принимая р, = 1

(12-25)

мы имеем

Є,2              ?22

(12-26)

l-'l

чє21 е11^

Введем обозначения, где товар 0 является досугом (т.е. минус О досуг). Из свойств уравнения Слуцкого, мы знаем, что: [170]

(12-27)

Х^=0’

gt;0

где q0 - w. Из чего следует

Е10 + еМ + Є,2-0

(12-28)

^0 + ^1 + h2 - О Отсюда, произведя замену в (12-26),

- (?„ + Є22) - Єю

1 + Ґ, 1 + t2

(12-29)

(Є11 + Гі) ?20_

Из этого следует, что е10 gt; е20 подразумевает tx lt; t2 (e?? является отрицательной). При оптимуме,товар с большей перекрестной эластичностью компенсированного спроса при цене рабочей силы (досуга) имеет более низкую налоговую ставку [171]. Это главное в результате, достигнутом Корлеттом и Хейгом [Corlectt and Hague, 1953], Мвдом [Meade, 1955, с. 30], Харбергером [Haiberger, 1964] и др.; он состоит в том, что мы должны облагать большим налогом те товары, которые являются дополнителями для досуга.

Упражнение 12-1. Установите оптимальную налоговую структуру, где функции полезности имеют форму Кобба—Дугласа

п

log X? +A log (1 -I), ы              (12-30а)

где А + ? Щ и п = 2.

Упражнение 12-2. На примере функции полезности

л}-**

и J"1/е'              (12-ЗОЬ)

покажите, что доходные члены уравнения (дХ,/дМ) и члены перекрестной цены равны нулю. Установите оптимальную налоговую структуру, где е, являются (позитивными) константами.