Альтернативная формулировка

В анализе, данном в предыдущем разделе, использованы «двойные» ценовые переменные в качестве проверочных методов, открытых для правительства, и свойства функции косвенной полезности.

Поэтому возьмем в качестве контрольных (проверочных) переменных для правительства количества Хх,..., Хп и L с налоговыми ставками, полученными как функции контрольных переменных от условий максимизации индивидуальной полезности. С этим «первоначальным» подходом мы должны обеспечить удовлетворение условия бюджетного ограничения потребителя (см. работу Аткинсона и Стиглица [Atkinson and Stiglitz, 1972]. С этой целью мы используем условия максимизации индивидуальной полезности:

Ui = aqi і = 1,..., п

(12-31)

- UL = aw.

Из этого можно написать условие пребывания индивидуума на кривой предложения (производя замену в бюджетном ограничении и сокращая а)

U(Si, L) + X

У V

а условия первого порядка

и подставлем для Uk = а (1 + 4). Это дает

(1 + 4)[1-ц(Я‘-1)] = Х/а. Дополнительно есть также условие по отношению к Z,

Uk = X-pUk

Теперь определяем Н*¦-

Если мы определяем соответствующее выражение

Г1+? Чі*/.

при к - 1,..., п.

А/,А|

UL

и,

и сделаем подстановку UL~- aw,то получим

Х,-а

а

V.X, VUL

i+l

К

ft

(12-34)

(12-35)

(12-36)

(12-34')

(12-35')

(12-36')

Mi Ml А иgt;

UL = -Xw-p UL

к

НА-

и,

і \ —

Ц(1 -HL)

Сокращение (і между (12-36) и (12-36') дает[172]

1 + tk X 1 -IF

В то время как это уравнение в целом не дает формулы для оптимальной налоговой ставки (так как члены Н* зависят от ставок налогов), оно позволяет сделать несколько выводов об оптимальной структуре. Во-первых, результаты частичного равновесия могут рассматриваться как полярные случаи этой формулы. Предположим, с одной стороны, что (- If) стремится к бесконечности, что соответствует полной неэластичности предложения труда (— ULL —»°о); когда предел (12-37) — это единообразный налог на все товары по ставке (X - а) /а. Поскольку мы видели, что единообразная ставка налогов на все товары эквивалентна налогу только на труд, это соответствует обычному представлению о том, что фактор с полностью неэластичным предложением будет выдерживать все налоги. С другой стороны, если if стремится к нулю, мы имеем случай абсолютно эластичного предложения труда (постоянная предельная полезность дохода). Если дополнительно мы предположим, что ?4 = 0, для і Фj, то мы имеем условия, требуемые для действенности анализа частичного равновесия (эффекты дохода и независимый спрос отсутствуют). Поскольку[173]

то оптимальный налог

tk _Х-а ??_Х-01 1

(12-38)

177" Г"

как получено в разделе 12-1. Это показывает, что формула (12-37) может рассматриваться как «средневзвешенное» двух полярных систем налогообложения: единообразного налогообложения и налогов, пропорциональных If, где между двумя этими крайними случаями оптимальная система налогов зависит от if.

Во-вторых, формула (12-37) предполагает один случай, где Результаты могут быть особенно простыми, а именно случай, при котором функция полезности прямо аддитивна.

^кк^к

Но дифференцируя условия первого порядка для максимизации полезности, мы можем видеть, что это обратно пропорционально эластичности спроса по доходу для к\

и              da              ,, 1 Эа

“ЭЛ/ ?*ЭЛ/              ‘а ЭЛ/

или

т* 1 дХк _ - 1 Эа ХкВМ а ВМ'              (12-39)

Следовательно, мы имеем интересный результат, заключающийся в том, что, когда функция полезности прямо аддитивна, оптимальная налоговая ставка находится в обратной зависимости от эластичности спроса по доходу. Предметы первой необходимости должны облагаться ббльшими налогами, чем предметы роскоши. Это имеет важные последствия для проблемы противоречия между справедливостью и эффективностью, которая обсуждается ниже. Прямая аддитивность является ограничивающим допущением, однако оно менее ограничивающее, чем допущения, необходимые для эффективного анализа частичного равновесия (для FT ф О прямая аддитивность не подразумевает воздействий нулевых перекрестных цен). Более того, прямая аддитивность допускается во многих исследованиях по спросу, например, в линейной системе расходов, обсуждающейся ниже.

Наконец, первоначальный подход,принятый в этом разделе, использовался в работах Дитона [Deaton, 1979] для обсуждения условий, при которых оптимальная структура является

15 Предположим, что Uзаменено (?(?/); тогда G?-G' U(, Gy-G' Щ+ G" U? Ц. Это означает, что

(- G?kX?\ ^ (- UikXi) G‘

Uk

Gk

-I

і

но второй член исчезает (используя бюджетное ограничение), устанавливая, что it инвариантна.

единообразной. Он показал, что условия оптимального налогообложения идентичны для всех товаров, если есть ясное разграничение между товарами и досугом, т.е. где функция расхода может быть описана е [w,/(q, U), U\. В сочетании со слабым разграничением между товарами и досугом это предполагает единичные эластичности расходов [Сандмо (Sandmo, 1974а)] ,6.

Пример системы линейных расходов

Одна из функций, широко применяемых в эмпирических работах по спросу, — это функция Стоуна—Джери, которая создает систему линейных расходов:

U(X,L) =

(12-40)

где ? а,= 1. Параметры у, соответствуют «обязательному» потреблению, a? — долевые параметры, а р измеряет легкость замещения между товарами и досугом [а = 1/(1 - р) эластичность замещения]. Из условий первого порядка для максимизации полезности и бюджетного ограничения мы получаем функции спроса и функцию предложения труда:

Z к = 1,..., п,

Як Хк = Як У к + ак wLo - X Ъ У і

(12-41а)

wL = ZwL0 + (1 - Z) Y q? y?,

і              (12-4lb)

где

Z=1              (1              -8)^(L0-ir

Up              (12-4ІС)

(т.е. Z — мера вклада «товаров» в общую полезность). Расходы на товар к состоят из обязательных расходов (qkyk) плюс доля akZ остающегося дохода, где последний определяется как «полный доход», wLq.

Для того чтобы применить формулу оптимального налогообложения (12-37), нам необходимо рассчитать и Н1. Это может быть оставлено как задание для читателя, чтобы показать, что

*mA~*

где

X. — V.

і Хі~Уі ZwLo-'Zqiy?

(последний шаг заменяет на U? и использует тот факт, что J Ui Х( = awL). Делая замену в условии (12-37) для ставок оптимального налога, получаем

tk _A-aA;/(^-Y*) + (l-P)[M4-?)]-p5 1 + tk X              1 + (1 - р) [L/(L0 - L)\              (12-42)

В применении этой формулы для того, чтобы сделать несколько показательных расчетов ставок оптимального налога, есть две трудности. Во-первых, нам требуются оценки как функций спроса потребительских товаров, так и функции предложения труда. Одновременное оценивание обоих факторов встречается относительно редко, и там, где эти попытки предпринимаются, например, в работах Эббота и Эшенфелтера [Abbott and Ashenfelter, 1976], они делались на основе прежних допущений о величине р (они установили р = 0). В свете этого приведенные ниже расчеты базируются на предположительных величинах р. Во-вторых, уравнение (12-42) не является точной формулой для tk, поскольку

х* Zyl L зависят от tk. Эти проблемы в свою очередь принимаются во внимание.

Сначала рассмотрим влияние р. Полезной отправной точкой является случай единичной эластичности замещения (о = 1, р = 0). Относительные ставки налогов на товары к и j будут тогда

4/(1 + 4) _ Хк/(Хк - уд + L/(Lq - L)

tj /(1 + 9 ~ % /(Xj - у) + L AL, - L)              (12-43)

Для того чтобы прояснить это, допустим, что у варьируется от 0

2

(предметы роскоши) до-*(товары первой необходимости) и что

L-^Lq. Это подразумевает ряд налогов, так что ставка налогов на

товары первой необходимости в два раза больше, чем на предметы роскоши. Для эластичностей замещения, меньших единицы (р lt; 0), величина выражения L /(?0 - L) стремится к росту, и этот эффект увеличивается третьим членом в числителе правой части (12-42).              Там,              где р gt; 0, мы будем ожидать, что поведение              будет

более              критически зависеть от его величины.              Более              того,

необходимо отметить чувствительность к точному определению взаимозаменяемости товаров и досуга. Если в (12-40) продукт П был заменен его логарифмом, тогда член - р? не появится в правой части (12-42). Это в свою очередь подразумевает, что по мере р -»1 (т.е. а -»°°), что является ограничивающим случаем совершенно эластичного предложения труда, соответствующие ставки налогов будут зависеть от отношения Хк АХк - у Л- Этот случай рассматривался Аткинсоном и Стиглицем [Atkinson and Stiglitz, 1972], где мы решали результирующие уравнения для 4, используя данные по Великобритании[174].

Приведенные выше рассчеты «с другой стороны конверта» дают некоторое понимание соображений, которые могут быть важными. Альтернативным подходом, ведущим к точным вычислениям, является тот, который базируется на алгоритмах, аналогичных обсуждавшимся в Лекции 6. Харрис и Маккиннон [Harris and MacKinnon, 1979], например, использовали параметры спроса a? и y?, оцененные для Канады, и постулировали значения L, и 5. Цены производителей фиксированы, труд рассматривается как не облагаемый налогом товар, и правительство имеет потребности в фиксированных поступлениях в единицах труда. Решение для условий первого порядка тогда вычисляется для различных значений а. Результаты показывают, например, область от 19,6 (транспорт) до 21,2% (продовольствие), когда о — 0,3, расширяющуюся от 18,9 до 26,5% при а = 1,1 и от 13,9 до 57,5% при о = 3,0. Для более высоких потребностей в поступлениях эта область даже еще шире.

Там, где непросто получить аналитические выводы, большой ценностью обладают цифровые результаты. В то же время было бы ошибкой ожидать от них слишком многого, не в последнюю очередь из-за ограничивающего определения линейной системы расходов. Главный момент в этих вычислениях ставок оптимальных налогов состоит в том, что они проливают свет на роль различных соображений, обнаруживающих себя в качестве чувствительных характеристик. В частности, это позволило нам проиллюстрировать роль предложения труда и тот факт, что результаты могут критически зависеть от определения. Из этого не следует, однако, что будет иметь место существенная потеря в обеспечении благосостояния, если функция определена неправильно (и, следовательно, выбрана субоптимальная налоговая политика). Поэтому и по другим причинам нам необходимо исследовать ситуацию вне оптимума, и это будет предметом обсуждения в следующем разделе.