4. Экономико-математические методы (ЭММ) экономического анализа

Применение ЭММ повышает эффективность ЭА за счет расширения количества изучаемых факторов, нахождения оптимальных решений путем обработки альтернативных вариантов, более оперативного выявления и мобилизации имеющихся резервов, уменьшения длительности расчетов и др.

По мнению ряда авторов, в зависимости от целей анализа различают следующие экономико-математические модели: а) при детерминированных связях – логарифмирование, долевое участие, дифференцирование; б) в стохастических связях – корреляционно-регрессионный метод, линейное и динамическое программирование, теория массового обслуживания, теория графов и др.

К экономико-математическим в ряде случаев относят графические методы, которые, как отмечено выше, основаны на геометрическом изображении функциональной зависимости.

В математически формализованной системе графические методы успешно применяются при разработке и реализации сетевых методов планирования и управления (СПУ). Метод СПУ используется при осуществлении работ по строительству новых и реконструкции действующих предприятий, созданию новых организационных структур и др. При разработке графиков на базе СПУ требуется знать перечень всех возможных работ, их логическую связь и длительность выполнения, требуемые трудовые, материальные и финансовые затраты.

Основными элементами сетевого графика являются «события», «работы», «ожидание», «зависимость». События на графике обозначаются в виде кружка, поделенного на 4 сектора. В верхнем секторе указывается порядковый номер события (j), в нижнем – порядковый номер предшествующего события (i), в левом – общая продолжительность предшествующих работ, в правовом - величина резерва (запаса) времени. Каждые два события соединяются линиями со стрелками от i к j, над которыми может указываться продолжительность выполнения j –го события, а под линиями – необходимые затраты для его выполнения.

В процессе ЭА проверяется правильность составления сетевого графика и определения критического пути (на стадии проектных разработок), выявляется возможность оптимизации графика за счет сокращения сроков выполнения отдельных видов работ (путем параллельного их осуществления, механизации и автоматизации и др.) и минимизации трудовых, материальных и финансовых затрат.

В ходе реализации разработанного графика анализируются возможные задержки выполнения отдельных видов работ и изменения в связи с этим критического пути, а так же отклонения по использованию различных видов ресурсов. При наличии в сети более 200 событий расчеты, как правило, ведутся на ЭВМ. Решение оптимизационных вариантов при этом существенно облегчается применением пакета прикладных программ, приспособленных к составлению подобных графиков.

К числу графических относится и графо-математический метод (метод построения дерева решений. Процесс принятия решения в этом случае осуществляется в несколько этапов: 1) определение цели; 2) определение набора возможных действий (организационных, технических, технологических), с помощью которых может быть реализована поставленная задача; 3) оценка возможных исходов и их вероятностей (носят случайный характер) при реализации вариантов действий; 4) оценка математического ожидания возможного исхода (выполняется с помощью дерева решений) и наиболее эффективного варианта решения задачи.

При изучении стохастических связей, когда каждому значению факторного показателя соответствует несколько значений результативного показателя, применяется корреляционно-регрессионный анализ.

Корреляционный анализ решает задачу измерения тесноты связи между варьирующими переменными и оценки факторов, оказывающих наибольшее влияние на результирующий признак.

Регрессионный анализ предназначен для выбора форм связи, тип модели при определении расчетных значений зависимой переменной.

Теснота связи оценивается с помощью коэффициента корреляции (при линейной зависимости) – r, или корреляционного отношения (при нелинейной зависимости) – η. Величины этих показателей определяется так:

r =σ²_xy/σ_xσ_y; η = √(σ²_y - σ² _yx)/σ²_y

где - σ²_xy = Σ (x_i– )(y_i – ); σ_х = √Σ (x_i– )²/n ; σ_y = √ Σ(y_i – )/n ; σ²_y – среднеквадратическое отклонение эмпирических (фактических) значений y; σ² _yx – среднеквадратическое отклонение у от теоретических значений у_х.

Значения этих коэффициентов колеблются от 0 до 1.

При расчете парной корреляции вначале производится отбор наиболее важных (существенных) факторов, влияющих на результативный показатель. Эти факторы помещаются в таблицу, в которой факторные признаки ранжируются в порядке возрастания или убывания. Далее данные из таблицы наносятся на плоскость координат – строится корреляционное поле. По форме поля или путем визуального анализа ранжированного ряда производится обоснование формы связи. При нелинейной связи вначале определяется теоретическое значение функции у_х, для чего решается уравнение регрессии, описывающее связь между изучаемыми показателями. Затем рассчитывается корреляционное отношение.

Выбор уравнения регрессии осуществляется, как правило, перебором решений с использованием метода наименьших квадратов или на основе ошибки аппроксимации, величина которой не должна превышать 20%.

В рамках множественной корреляции находятся уравнение регрессии, которые бывают линейными, степенными и логарифмическими. В линейных моделях коэффициенты при неизвестных называются коэффициентами регрессии, а в степенных и логарифмических – коэффициентами эластичности. Первые показывают, насколько единиц изменяется функция с изменением соответствующего фактора на одну единицу при неизменных значениях остальных. Вторые – отражают, на сколько процентов изменяется функция с изменением каждого аргумента на 1 % при неизменных значениях остальных.

Значимость факторов, включаемых в корреляционную модель, оценивается по критерию Стьюдента, а адекватность уравнения регрессии - с помощью критерия Фишера, средней ошибкой аппроксимации, коэффициентов корреляции и детерминации.

При разработке корреляционной модели не рекомендуется включать взаимосвязанные факторы (если коэффициент парной корреляции между ними больше 0,85), а также факторы, связь которых с результативным показателем носит функциональный характер.

Решение задач корреляционно-регрессионного анализа осуществляется, как правило, с помощью ЭВМ на базе пакетов соответствующих прикладных программ.

Метод линейного программирования применяется в случаях, когда зависимости между факторами линейные и характер их не меняется со временем. Этот метод предполагает наличие нескольких альтернативных вариантов решения задачи, из числа которых и определяется лучший (оптимальный). В общем виде математическая модель оптимизационной задачи выглядит следующим образом:

Целевая функция Z = Σх_i у_i max (min)

при ограничениях f_i(x) ≤ ≥ b_i; i = ; х ≥0, у ≥0

Решение задач линейного программирования осуществляется с помощью симплексного метода (с использованием, как правило, пакета прикладных программ). При этом реализуются следующие этапы:

v составление математической модели;

v присвоение элементам модели определенных имен;

v составление матричной модели с поименованными элементами;

v ввод исходных данных в ЭВМ и (при необходимости) их корректировка;

v решение задачи;

v экономический анализ полученного решения.

С помощью этого метода решаются задачи оптимального раскроя, оптимизации смесей сырья, оптимальной загрузки оборудования, транспортная задача и др.

Отметим, что в современных ППП для решения задач линейного программирования предусмотрены так называемые режимы расчета интервалов устойчивости. В пределах этих интервалов любые изменения для ограниченных ресурсов и переменных величин не изменяют структуру оптимального плана, что позволяет предприятиям проводить рациональную политику в части использования ресурсов.

Метод динамического программирования (ДП) применяется, когда целевая функция или система ограничений характеризуются нелинейными зависимостями, а изучаемые процессы развиваются во времени. Метод состоит в том, что вместо поиска оптимального решения для всей задачи, расчет ведется пошагово по отдельным элементам (этапам) исходной задачи. При этом выбор оптимального решения на каждом шаге должен производится с учетом благоприятного использования этого решения при оптимизации на последующем шаге.

Выбор решения при ДП осуществляется на основе так называемого принцип оптимальности Беллмана. Суть его выражается в следующем: оптимальная стратегия обладает теми свойством, что, каковы бы не были первоначальное состояние и решение, принятое в начальный момент, последующие решения должны вести к улучшению ситуации относительно состояния, являющегося результатом первоначального решения. Оптимальное решение, найденное при условии, что предыдущий шаг закончился определенным образом, называют условно-оптимальным решением.