5.1. Трендовые модели на основе кривых роста

Основная цель создания трендовых моделей экономической динамики — на их основе сделать прогноз о развитии изучаемого процесса на предстоящий промежуток времени. Прогнозирование на основе временого ряда экономических показателей относится к одномерным методам прогнозирования, базирующимся на экстраполяции, т.е.

Использование метода экстраполяции на основе кривых роста для прогнозирования базируется на двух предположениях: •

временной ряд экономического показателя действительно имеет тренд, т.е. преобладающую тенденцию; •

общие условия, определявшие развитие показателя в прошлом, останутся без существенных изменений в течение периода упреждения.

В настоящее время насчитывается большое количество типов кривых роста для экономических процессов. Чтобы правильно подобрать наилучшую кривую роста для моделирования и прогнозирования экономического явления, необходимо знать особенности каждого вида кривых. Наиболее часто в экономике используются полиномиальные, экспоненциальные и S-образные кривые роста. Простейшие полиномиальные кривые роста имеют вид:

yt = а0 + аг? (полином первой степени)

yt = а0 + a^t + a2t2 (полином второй степени)

а 9 о

yt = а0 + a^t + a2t + ast (полином третьей степени) и т.д.

Параметр а\ называют линейным приростом, параметр а2 — ускорением роста, параметр аз — изменением ускорения роста.

Для полинома первой степени характерен постоянный закон роста.

Если первые приросты рассчитать для полинома второй степени, то они будут иметь линейную зависимость от времени и ряд из первых приростов и2, U3,... на графике будет

представлен прямой линией. Вторые приросты u'2' = щ - ut_i

для полинома второй степени будут постоянны.

Для полинома третьей степени первые приросты будут полиномами второй степени, вторые приросты будут линейной функцией времени, а третьи приросты, рассчитываемые по

формуле Цр' = uffl - и\2\, будут постоянной величиной.

На основе сказанного можно отметить следующие свойства полиномиальных кривых роста: •

от полинома высокого порядка можно путем расчета последовательных разностей (приростов) перейти к полиному более низкого порядка; •

значения приростов для полиномов любого порядка не зависят от значений самой функции yt.

Таким образом, полиномиальные кривые роста можно использовать для аппроксимации (приближения) и прогнозирования экономических процессов, в которых последующее развитие не зависит от достигнутого уровня.

В отличие от использования полиномиальных кривых использование экспоненциальных кривых роста предполагает, что дальнейшее развитие зависит от достигнутого уровня, например, прирост зависит от значения функции. В экономике чаще всего применяются две разновидности экспоненциальных (показательных) кривых: простая экспонента и модифицированная экспонента.

Простая экспонента представляется в виде функции

Щ=АЪ\ (5.1)

где а и Ъ — положительные числа, при этом если Ь больше единицы, то функция возрастает с ростом времени ?, если Ъ меньше единицы — функция убывает.

Можно заметить, что ордината данной функции изменяется с постоянным темпом прироста. Если взять отношение прироста к самой ординате, оно будет постоянной величиной:

Щ УІ-1 =1 1

УІ УІ ъ'

Прологарифмируем выражение для данной функции по любому основанию:

1 °ЄУі = logo + flog ft.

Отсюда можно заметить, что логарифмы ординат простой экспоненты линейно зависят от времени.

Модифицированная экспонента имеет вид

yt = k + ab\ (5.2)

где постоянные величины: а меньше нуля, Ь положительна и меньше единицы, а константа k носит название асимптоты этой функции, т.е.

Если прологарифмировать первые приросты данной функции, то получится функция, линейно зависящая от времени, а если взять отношение двух последовательных приростов, то оно будет постоянной величиной:

Щ = Уі ~ УІ- 1 = ъ "t-i Уі-і-Уі-г

В экономике достаточно распространены процессы, которые сначала растут медленно, затем ускоряются, а затем снова замедляют свой рост, стремясь к какому-либо пределу. В качестве примера можно привести процесс ввода некоторого объекта в промышленную эксплуатацию, процесс изменения спроса на товары, обладающие способностью достигать некоторого уровня насыщения, и др. Для моделирования таких процессов используются так называемые S-образньіе кривые роста, среди которых выделяют кривую Гомперца и логистическую кривую.

Кривая Гомперца имеет аналитическое выражение

Уі = kab', (5.3)

где а, Ь — положительные параметры, причем Ъ меньше единицы; параметр k — асимптота функции.

В кривой Гомперца выделяются четыре участка: на первом — прирост функции незначителен, на втором — прирост увеличивается, на третьем участке прирост примерно постоянен, на четвертом — происходит замедление темпов прироста и функция неограниченно приближается к значению k. В результате конфигурация кривой напоминает латинскую букву S.

Логарифм данной функции является экспоненциальной кривой; логарифм отношения первого прироста к самой ординате функции — линейная функция времени.

На основании кривой Гомперца описывается, например, динамика показателей уровня жизни; модификации этой кривой используются в демографии для моделирования показателей смертности и т. д.

Логистическая кривая, или кривая Перла—Рида — возрастающая функция, наиболее часто выражаемая в виде

у*= <5-4>

1 + ае ы

другие виды этой кривой:

Уі = т\ УІ =

1 + аЬ~1 1 1 + \0а~ы

В этих выражениях а и b — положительные параметры; k — предельное значение функции при бесконечном возрастании времени.

Если взять производную данной функции, то можно увидеть, что скорость возрастания логистической кривой в каждый момент времени пропорциональна достигнутому уровню функции и разности между предельным значением k и достигнутым уровнем. Логарифм отношения первого прироста функции к квадрату ее значения (ординаты) есть линейная функция от времени.

Конфигурация графика логистической кривой близка графику кривой Гомперца, но в отличие от последней логистическая кривая имеет точку симметрии, совпадающую с точкой перегиба.

Рассмотрим проблему предварительного выбора вида кривой роста для конкретного временного ряда.

Для выбора вида полиномиальной кривой роста наиболее распространенным методом является метод конечных разностей (метод Тинтнера). Этот метод может быть использован для предварительного выбора полиномиальной кривой, если, во-первых, уровни временного ряда состоят только из двух компонент: тренд и случайная компонента, и во-вторых, тренд является достаточно гладким, чтобы его можно было аппроксимировать полиномом некоторой степени.

На первом этапе этого метода вычисляются разности (приросты) до k-ro порядка включительно:

и, = У, - Уi-i'> "!2) = 1!

ujk) = и?'» - uf'-».

Для аппроксимации экономических процессов обычно вычисляют конечные разности до четвертого порядка.

Затем для исходного ряда и для каждого разностного ряда вычисляются дисперсии по следующим формулам: для исходного ряда

5>? --- 5>«

2 1=1 п М = 1

=

п- 1

для разностного ряда k-то порядка (k = 1, 2,...)

і КГ

а\ = ' к ; С2к—биномиальный коэффициент,

(n - k)C2k

Производится сравнение отклонений каждой последующей дисперсии от предыдущей, т.е. вычисляются величины

2 2 - 1

и если для какого-либо k эта величина не превосходит некоторой наперед заданной положительной величины, т.е. дисперсии одного порядка, то степень аппроксимирующего полинома должна быть равна k — 1.

Более универсальным методом предварительного выбора кривых роста, позволяющим выбрать кривую из широкого класса кривых роста, является метод характеристик прироста. Он основан на использовании отдельных характерных свойств кривых, рассмотренных выше. При этом методе исходный временной ряд предварительно сглаживается методом простой скользящей средней. Например, для интервала сглаживания тп = 3 сглаженные уровни рассчитываются по формуле

— УІ-і + УІ + 1

УІ - § '

причем чтобы не потерять первый и последний уровни, их сглаживают по формулам

77 5Уі + 2У2 - Уз Уі = 5 .

- ~Уп-2 + 2Уп-1 + 5Уп ^ " 6

Затем вычисляются первые средние приросты вторые средние приросты

17(2) _ Uf+І - Щ-1 2

а также ряд производных величин, связанных с вычисленными средними приростами и сглаженными уровнями ряда:

Щ _ щ її,

r~i log ut; log ; log-|-.

yt Уі yf

В соответствии с характером изменения средних приростов и производных показателей выбирается вид кривой роста для исходного временного ряда, при этом используется табл. 5.1.

На практике при предварительном выборе отбирают обычно две-три кривые роста для дальнейшего исследования и построения трендовой модели данного временного ряда.

Рассмотрим методы определения параметров отобранных кривых роста. Параметры полиномиальных кривых оцениваются, как правило, методом наименьших квадратов, суть которого заключается в том, чтобы сумма квадратов отклонений фактических уровней ряда от соответствующих выравненных по кривой роста значений была наименьшей. Этот метод приводит к системе так называемых нормальных уравнении для определения неизвестных ных кривых.

параметров отобран- Таблица 5.1 Показатель Характер изменения Вид показателя во времени кривои роста Полином первого порядка(прямая)

Первый средний прирост ut То же

Второй средний

—(2) прирост Uf

Примерно одинаковы Изменяются линейно

Изменяются линейно

Полином второго порядка (парабола) Полином третьего порядка (кубическая парабола) Примерно одинаковы Изменяются линейно

Уі

\ogut

Простая экспонента

Модифицированная экспонента і ut loge-

Уі і "t Уі

Изменяются линейно

Изменяются линейно Кривая Гомперца

Логистическая кривая Для полинома первой степени

ух = а0 + axt система нормальных уравнений имеет вид:

\а0п + а^і = 2><

і (5.5)

где знак суммирования распространяется на все моменты наблюдения (все уровни) исходного временного ряда. Аналогичная система для полинома второй степени

yt =а0+ axt + a2t2

имеет вид

а0П + aiX* + а2^2 = ЦУ"

•a^t + a^t2+а2^і3 (5-6)

a^t2 + a^t3 + а2 =?i/(*2. Для полинома третьей степени

2 3

yt = Oq + a-\t + a2t + a3t

система нормальных уравнений записывается следующим образом:

aoX' + aiX'2 + + a3Z<4 = floZ + <*іЕ і3 + a2X і4 + a3? ts = X У,**' «о! + «іЕ'4 + a2X і5 + a3? fe = І уА

Параметры экспоненциальных и S-образных кривых находятся более сложными методами. Для простой экспоненты

yt = аЪ*

предварительно логарифмируют выражение по некоторому основанию (например, десятичному или натуральному):

log yt = log а + t log b,

т.е. для логарифма функции получают линейное выражение, а затем для неизвестных параметров log а и log b составляют на основе метода наименьших квадратов систему нормальных уравнений, аналогичную системе для полинома первой степени. Решая эту систему, находят логарифмы параметров, а затем и сами параметры модели.

При определении параметров кривых роста, имеющих асимптоты (модифицированная экспонента, кривая Гомперца, логистическая кривая), различают два случая. Если значение асимптоты k известно заранее, то путем несложной модификации формулы и последующего логарифмирования определение параметров сводят к решению системы нормальных уравнений, неизвестными которой являются логарифмы параметров кривой.

Если значение асимптоты заранее неизвестно, то для нахождения параметров указанных выше кривых роста используются приближенные методы: метод трех точек, метод трех сумм и др.

Таким образом, при моделировании экономической динамики, заданной временным рядом, путем сглаживания исходного ряда, определения наличия тренда, отбора одной или нескольких кривых роста и определения их параметров в случае наличия тренда получают одну или несколько трендовых моделей для исходного временного ряда. Встает вопрос, насколько эти модели близки к экономической реальности, отраженной во временном ряду, насколько обосйовано применение этих моделей для анализа и прогнозирования изучаемого экономического явления. Этот вопрос рассматривается в следующем параграфе.