Метод Четверикова

= а Тд/2 = 1/2 .

либо восстанавливаются экстраполированием выравненного ряда, либо остаются в стороне при последующей стадии работ. Получаются предварительная оценка тренда

Yt = Щ

и отклонения эмпирического ряда от выравненного U

YJ, t = l,T или (4.24)

lij=Yij-Ylj, (і = 1, m; j = l,T0). 2. Для каждого года і вычисляется а;— среднеквадрати- ческое отклонение, на которое и делятся затем отдельные месячные (квартальные) отклонения соответствующего года: 1ч

1,ч

(4.25) где 1/2

т Ґ т

(4.26)

і=і \}=і J їо-1 3. Из «нормированных» таким путем отклонений вычисляется предварительная средняя сезонная волна:

т її/

v} = . (4.27)

' т 4.

Средняя предварительная сезонная волна умножается на среднеквадратическое отклонение каждого года и вычитается из эмпирического ряда:

tfj =Уг;-У/ст,. (4.28) 5.

Получающийся таким образом ряд, лишенный предварительной сезонной волны, вновь сглаживается скользящей средней (для месячных данных по пяти или семи точкам в зависимости от интенсивности мелких конъюнктурных колебаний и продолжительности более крупных). В результате

получается новая оценка тренда uf^ . 6.

Отклонения эмпирического ряда Yt от ряда ,полученного в п. 5

l\2) = Yt- ul2), (4.29)

вновь подвергаются аналогичной обработке по пп. 2 и 3 для выявления окончательной средней сезонной волны. 7.

Исключение окончательной сезонной волны производится после умножения средней сезонной ВОЛНЫ на ki j— коэффициент напряженности сезонной волны:

?<і2Ч

h-Ц. , (4.30)

'о

Т.4

; = 1

где ijp — выравненные значения ряда, Бу — случайная компонента:

Є .

і] ~ Hj j '

Описанный метод был разработан Четвериковым в 1928 г. и в отличие от разработанных ранее методов простой средней, метода Персонса и других позволял исключать влияние сезонных волн переменной структуры.

Метод Шискина—Эйзенпресса. В методике Шискина— Эйзенпресса, кроме скользящей средней (4.22), на втором и последующих этапах итерационной процедуры применяются более сложные пятнадцати- и двадцатиодноточечные скользящие Спенсера. Они имеют соответственно следующий вид:

-3У(_7 - 6У(_6 - 5У(_б + ЗУ(_4 + 21У(_3 + 46У(_2 + 67У(_Х + v _ +74У, + 67У<+1 + 46У<+2 + 21У(+3 + ЗУ(+4 - 5У(+5 - 6У,+6 - ЗУ(+7 .

14 " 320

(4.31)

" ЗУ4-9 - 5У4_8 - 5У,_7 - 2У[_6 + 6У,_5 + 18У(_4 + +ЗЗУ{_з + 47У(_2 + 57У(_! + 60У, + 57У(+1 + 47У(+2 + +ЗЗУ,+3 + 18У(+4 + 6У(+5 - 2У(+6 - 5У(+7 - 5Уі+8 - ЗУ(+9 - У(+10

у, _ _ .

Если рассматривается двадцатиодноточечная скользящая средняя (4.31), то затем мы должны были бы применить еще одно выравнивание по семи точкам:

ут_ у/'з + уг-2 + Уі-і + УІ'+ + УІ'+2 + у/;3

И в заключение

... Yt-2 + + 2Yt"'+ У/"і + У/;'2 yf = _ .

В результате мы должны будем получить выражение (4.31).

Чем вызвано применение скользящих средних Спенсера в методе Шискина—Эйзенпресса? Дело в том, что скользящая средняя с симметрично-равными весами вида (4.22) позволяет выделить лишь линейный тренд. Если же тренд на самом деле нелинеен, то сглаживание временного ряда, содержащего нелинейный тренд, дает искаженные его значения. Скользящая средняя Спенсера позволяет получать точные оценки тренда, выраженного полиномами до третьей степени включительно.

Рассмотрим теперь собственно метод Шискина—Эйзенпресса. 1.

Исходный ряд {Yt} выравнивается скользящей средней (4.22). Делается это, как и в методе Четверикова, с той целью, чтобы не исказить сезонную компоненту Vt. Если бы мы использовали скользящую среднюю с другим периодом скольжения, то это привело бы к изменению как амплитуды, так и формы сезонной волны. 2.

Рассчитываются остаточные значения:

lt=Yt-Yi,

или Вычисляются средние значения остаточного ряда в целом по ряду Г и по месяцам (кварталам) lj: h =

т. То

(4.35) 3. Находится предварительная оценка средней сезонной волны

(4.36)

и строится новый ряд, относительно свободный от сезонной компоненты (4.37)

Т/\ = У. . - ТЛ1 Ч 1Ч У1 ? 4. К ряду Uij применяется сглаживание скользящей средней Спенсера:

=^[5]2[7][-1,0,1,2,1,0,-1]^. (4.38) 5.

Находится улучшенная оценка сезонной компоненты:

Uii) i-l

vf

т

L. Пример 1. Применим метод Четверикова для выделения компонент временного ряда, приведенного в табл. 4.6.

1. Проведем выравнивание эмпирического ряда {У(}с использованием центрированной скользящей средней с периодом сглаживания То?

Полученную предварительную оценку тренда У/ = U't вычитаем из исходного эмпирического ряда

і

(4.39) или 2. Вычисляем для каждого года і (по строке) среднеквад- ратическое отклонение СТ; величины lij, используя для этого формулу

Значения величин ст*:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1,22 1,29 1,60 1,54 2,00 1,63 1,38 1,83 1,82 1,69 1,67 1,90 При вычислении Сті во внимание принимались только шесть последних уровней первого года: Т0 = 7,12, а при вычислении Стіз — первые шесть уровней тринадцатого года:

Т0 = 1,6.

Делим отдельные значения каждого месяца из табл. 4.6 на отклонения соответствующего года. В результате получаем табл. 4.7, в которой

3. Последняя строка табл. 4.7 представляет собой значения предварительной средней сезонной волны, вычисленной по формуле:

т Таблица 4.7. Нормированный остаточный ряд L = ~

Год Месяц 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 1,19 1,31 0,84 0,43 -0,79 -0,65 2 -1,48 -1,85 -0,49 0,03 0,36 0,85 1,09 1,31 0,54 0,73 -0,31 -0,67 3 -1,38 -1,69 -0,19 -0,04 0,78 0,81 1,25 1,23 0,36 0,50 -0,78 -0,94 4 -2,04 -1,18 -0,25 0,27 0,75 0,93 1,07 1,08 0,70 0,64 0,01 -0,84 5 -1,48 -2,07 -0,67 -0,11 0,85 1,03 0,98 0,91 0,39 0,24 -0,32 -0,54 6 -1,42 -1,85 -0,42 0,07 0,98 1,13 1,05 0,85 0,51 0,24 -0,43 -0,90 7 -1,43 -1,74 -0,81 0,25 1,07 1,04 0,74 1,21 0,92 0,44 -0,25 -0,24 8 -1,96 -2,62 -0,70 0,05 0,73 0,98 0,83 0,95 0,85 0,27 -0,33 -0,31 9 -1,76 -1,65 -0,37 0,06 0,69 0,95 1Д4 1,08 0,40 0,36 -0,32 -0,90 10 -1,53 -1,99 -0,31 0,30 0,89 0,75 1,09 0,97 0,49 0,42 -0,22 -0,79 11 -1,30 -1,86 -0,68 -0,11 0,75 0,88 0,96 1,18 0,83 0,41 -0,77 -0,50 12 -1,41 -2,02 -0,01 0,03 1,16 0,75 0,84 1,09 0,89 0,17 -0,26 -0,55 13 -0,66 -0,67 -0,10 -0,01 0,29 0,25 П -1,49 -1,68 -0,42 0,07 0,78 0,86 1,02 1,10 0,64 0,40 -0,40 -0,65 Таблица 4.8.

Месяц Год 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 10,21 10,34 10,42 10,28 9,83 10,34 2 10,42 10,28 10,47 10,61 10,23 10,87 11,06 11,31 11,01 11,67 11,49 11,47 3 11,78 11,69 12,11 11,62 11,80 11,71 12,11 11,98 11,39 12,05 11,22 11,49 4 11,13 12,77 12,29 12,38 12,08 12,31 12,31 12,13 12,12 12,34 12,63 11,75 5 12,13 11,38 11,71 11,87 12,40 12,67 12,37 12,25 12,28 12,59 13,20 13,35 6 13,31 12,98 13,31 13,39 13,76 13,93 13,58 13,23 13,47 13,47 13,74 13,41 7 13,92 13,79 13,39 14,24 14,46 14,42 13,81 14,31 14,58 14,28 14,48 14,90 8 13,57 14,62 14,08 14,65 14,65 15,03 14,54 14,71 15,48 14,95 15,40 15,94 9 14,90 15,54 15,60 15,52 15,43 15,75 15,83 15,62 15,23 15,64 15,92 15,35 10 15,73 15,30 16,04 16,28 16,12 15,81 16,17 15,90 15,89 16,17 16,46 15,96 11 16,57 16,00 15,96 16,18 16,48 16,63 16,61 16,87 17,18 17,03 16,54 17,56 12 17,56 16,85 18,39 17,61 18,49 17,65 17,50 17,86 18,36 17,47 18,17 18,11 13 22,56 23,64 19,83 17,71 15,49 13,94 4. Предварительную среднюю сезонную волну Vj умножаем на среднеквадратическое отклонение каждого года ст* и вычитаем из исходного эмпирического ряда:

ulj^Yy-Vfa,.

В результате получаем ряд, лишенный предварительной сезонной волны (табл. 4.8). 5.

Временной ряд, лишенный предварительной сезонной волны, сглаживаем с использованием простой скользящей средней с интервалом сглаживания, равным пяти, и

получаем новую оценку тренда U^ (табл. 4.9). 6.

Вычисляем отклонения ряда U^ от исходного эмпирического ряда Yij'.

,(2) _ у гг(2)

Hj - Iij uij •

Полученные отклонения подвергаем обработке в соответствии с пп. 2 и 3 для выявления новых значений сезонной волны. Получаем следующие значения: t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 VV) J -1,54 -1,81 -0,43 0,08 0,82 0,93 1,01 1,09 0,63 0,41 -0,40 -0,72 При сравнении значений коэффициентов сезонной волны, полученных на первой и второй итерациях, т. е. значений Vj^H , нетрудно заметить, что они незначительно

отличаются друг от друга.

7. Производим вычисление коэффициента напряженности сезонной волны в следующем порядке: по формуле

єij = - фактически получаем значения случайной

компоненты, которые для нашего примера приведены в табл. 4.10. С использованием соотношения Таблица 4.9. Новая оценка тренда С//.2) Год Месяц 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 1 10,22 10,24 10,26 10,23 2 10,27 10,42 10,40 10,49 10,65 10,82 10,90 11,18 11,31 11,39 11,48 11,62 3 11,71 11,73 11,80 11,79 11,87 11,84 11,80 11,85 11,75 11,63 11,46 11,73 4 11,78 12,02 12,13 12,37 12,27 12,24 12,19 12,24 12,31 12,19 12,19 12,05 5 11,92 11,79 11,90 12,01 12,20 12,31 12,39 12,43 12,54 12,73 12,95 13,09 6 13,23 13,27 13,35 13,43 13,59 13,58 13,59 13,54 13,50 13,46 13,60 13,67 7 13,65 13,75 13,96 14,06 14,06 14,25 14,32 14,28 14,29 14,51 14,36 14,37 8 14,33 14,36 14,31 14,61 14,59 14,72 14,88 14,94 15,02 15,30 15,33 15,35 9 15,48 15,50 15,40 15,57 15,63 15,63 15,57 15,61 15,65 15,55 15,57 15,59 10 15,67 15,74 15,89 15,91 16,08 16,06 15,98 15,99 16,12 16,08 16,21 16,23 11 16,19 16,13 16,24 16,25 16,37 16,55 16,75 16,86 16,85 17,04 17,17 17,11 12 17,38 17,59 17,78 17,80 17,93 17,82 17,97 17,77 17,87 17,99 18,93 19,99 13 20,46 20,37 19,85 18,12 Таблица 4.10. Вычисление значений случайной компоненты ztj = I™ - F/2)

Год Месяц 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 -0,23 -0,50 -0,04 0,13 -0,23 0,23 0,47 0,46 -0,10 0,39 -0,11 -0,27 3 -0,77 -0,92 0,07 -0,14 0,36 0,32 0,93 0,80 0,03 0,65 -0,48 -0,56 4 -1,4 -0,02 -0,06 0,04 0,13 0,46 0,68 0,49 0,17 0,36 -0,22 -0,58 5 -1,23 -1,96 -0,60 -0,08 0,94 1,15 1,01 .0,93 0,39 0,25 0,15 -0,32 6 -0,81 -1,22 -0,29 -0,05 0,62 0,82 0,64 0,39 0,38 0,25 -0,11 -0,60 7 -0,25 -0,47 -0,72 0,20 0,66 0,43 -0,11 0,46 0,54 -0,09 -0,03 0,35 8 -1,95 -1,00 -0,57 0,09 0,67 0,95 0,52 0,69 1,00 -0,03 0,26 0Д2 9 -1,75 -1,21 -0,13 0 0,40 0,76 1,11 0,92 0,11 0,41 0,02 -0,70 10 -0,92 -1,47 -0,13 0,41 0,54 0,27 0,90 0,68 0,22 0,36 -0,03 -0,65 11 -0,57 -1,13 0,56 -0,03 0,59 0,59 0,55 0,76 0,77 0,25 -0,90 0,08 12 -1,13 -2,12 0,24 -0,14 1,22 0,53 0,46 1,09 1,08 -0,17 -1,12 -2,40 т0 )=і

h і

определяем величины коэффициента напряженности Кі для каждого года, кроме первого и последнего. Для первого и последнего годов значение коэффициента напряженности не вычисляются, так как после повторного сглаживания в них осталось лишь по четыре наблюдения, и их использование искажает при расчетах средние характеристики всего ряда.

Значения коэффициента напряженности сезонной волны: t 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Kt 3,02 2,47 2,44 2,09 2,48 2,48 2,41 2,10 2,34 2,08 1,79 8. Используя коэффициент напряженности Kit вычисляем окончательные значения сезонной компоненты временного

ряда (табл. 4.11): Vy = vf2) ? Kt. J

Перейдем к рассмотрению статистических методов оценки уровня сезонности. До сих пор мы в основном использовали аддитивное представление модели сезонного временного ряда (4.19). Однако не менее разумной, как считают многие специалисты, является и мультипликативная модель:

Уц = Uijlj + єІ/> (4.40)

где Utj — «годовая» составляющая (тренд);

Ij — постоянная пропорциональности для /-го месяца

(квартала), не меняющаяся от года к году.

Поскольку постоянная пропорциональности безразмерная и не меняется от года к году, то ее можно использовать для определения уровня сезонности во временном ряду. Таблица 4.11. Сезонная компонента временного ряда Vi; = v/2) • Kt. I 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -4,65 -5,47 -1,30 0,24 2,48 2,81 3,05 3,29 1,90 1,24 -1,21 -2,17 -3,80 -4,47 -1,01 0,20 2,03 2,30 2,49 2,69 1,56 1,01 -0,99 -1,78 -3,76 -4,42 -1,04 0,20 2,00 2,27 2,46 2,66 1,52 1,00 -0,96 -1,76 -3,22 -3,78 -0,90 0,17 1,71 1,94 2,11 2,28 1,25 0,86 -0,84 -1,50 -3,82 -4,49 -1,07 0,20 2,03 2,31 2,50 2,70 1,56 1,02 -0,99 -1,78 -3,82 -4,49 -1,07 0,20 2,03 2,31 2,51 2,70 1,56 1,02 -0,99 -1,79 3,71 -4,36 -1,04 0,19 1,98 2,24 2,43 2,63 1,52 0,99 -0,96 -1,74 -3,23 -3,80 -0,90 0,17 1,72 1,95 2,12 2,29 1,32 0,86 -0,84 -1,51 -3,60 -4,24 -1,01 0,19 1,92 2,18 2,36 2,55 1,47 0,96 -0,94 -1,68 -3,20 -3,76 -0,89 0,17 1,71 1,93 2,10 2,27 1,31 0,85 -0,83 -1,50 -2,76 -3,24 -0,77 0,14 1,47 1,66 1,81 1,95 1,13 0,73 -0,72 -1,29 Приближенные оценки коэффициентов пропорциональности могут быть получены следующим образом

, (4.41)

т

где

тп

7=1

Если известны значения тренда C/i; и сезонной компоненты Vjj В аддитивной модели, ТО Itj можно оценить и более точно:

U и + Vii Y,, Іи = 1, 4 (4.43)

1 Щ щ

Последнее говорит о возможности оценки уровня сезонности независимо от того, какая рассматривается модель: (4.19) или (4.40). Оценки Ij по формуле (4.41) иногда называют еще индексами сезонности.

Чаще, однако, рассматривают не просто ряд из относительных величин Ij, а ряд процентов:

т

Ъ'ч

Ij=— 100%. (4.44)

т

Из (4.44) с учетом (4.43) можно заключить, что индексы сезонности Ij характеризуют степень отклонения уровня сезонного временного ряда от ряда средних (тренда) или, иначе говоря, степень колеблемости относительно 100%, так как если Ytj — Uij, то Ij =100% .

1и = и Yt - (4.42)

к. Пример 2. Найдем оценки уровня сезонности временного ряда, представленного в табл. 4.6, через индексы сезонности, проводя расчет /у по формуле (4.43). Для этого воспользуемся табл. 4.9, 4.11, в которых приведены значения тренда ufP и сезонной компоненты Vij. В результате получим

табл. 4.12, состоящую из коэффициентов 1ц.

В предпоследней строке табл. 4.12 приведены суммы по столбцам, в последней строке — индексы сезонности Ij.

Таким образом, в 1-м, 2-м, 3-м и 11-м, 12-м месяцах уровень временного ряда меньше значений тренда, а в 4-м — 10-м этот уровень больше значений тренда.

Таким образом, в изучаемом экономическом явлении (объем перевозок морским транспортом) явно присутствует сезонная составляющая с пиком в летние месяцы. Количественную характеристику этой сезонности дает сезонная волна в виде совокупности индексов сезонности, представленных в последней строке табл. 4.12. Если отметить полученные значения Tj(%) на координатной плоскости, то можно получить графическое изображение исследуемой сезонной волны (рис. 4.3), которая достаточно адекватно воспроизводит фактическое изменение процесса в течение года, отображенное на рис. 4.2. ^ Таблица 4.12.

Год Месяц 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 0,55 0,48 1,88 1,02 1,23 1,26 1,28 1,29 1Д7 1,11 0,89 0,81 3 0,68 0,62 0,91 1,02 1,17 1,19 1,21 1,23 1,13 1,09 0,19 0,85 4 0,68 0,63 0,91 1,02 1,16 1,19 1,20 1,22 1,12 1,08 0,92 0,85 5 0,73 0,68 0,92 1,01 1,14 1,16 1,17 1,18 1,10 1,07 0,94 0,89 6 0,71 0,66 0,92 1,01 1Д5 1Д7 1,18 1,20 1,12 1,08 0,93 0,87 7 0,72 0,67 0,92 1,01 1,14 1,16 1,18 1,19 1,10 1,07 0,93 0,88 8 0,74 0,70 0,93 1,01 1,14 1,15 1,16 1,18 1,10 1,06 0,94 0,89 9 0,79 0,75 0,94 1,01 1Д1 1,12 1,14 1,05 1,08 1,06 0,95 0,90 10 0,77 0,73 0,94 1,01 1,12 1,14 1,15 1,16 1,09 1,06 0,94 0,90 11 0,80 0,77 0,95 1,01 1,10 1,12 1,13 1,13 1,08 1,05 0,95 0,91 12 0,84 0,82 0,96 1,01 1,08 1,09 1,10 1,11 1,06 1,04 0,96 0,94 І'о 8,01 7,51 10,18 11,14 12,54 12,75 12,90 13,04 12,15 11,77 10,26 9,69 72,80 68,30 92,50 101,3 114,0 115,9 117,3 118,5 110,5 107,0 93,3 88,1 Вопросы и задания 1.

Дайте определение временного экономического ряда и характеристику его структурно образующих элементов. 2.

Что такое аномальный уровень временного ряда? Какие методы обнаружения и устранения аномальных уровней вы знаете? 3.

Перечислите основные этапы изученных методов определения наличия тренда. 4.

Поясните суть методов механического сглаживания временных рядов. Дайте сравнительную характеристику этих методов. 5.

Назовите основные показатели экономической динамики, рассчитываемые на основе временных рядов. 6.

В чем сущность явления автокорреляции во временных рядах? Что такое временной лаг? 7.

Дайте характеристику явления сезонности в экономических процессах. Какие методы выявления и фильтрации сезонной компоненты временного ряда вы знаете? 8.

Поясните суть статистических методов анализа сезонности. Что такое сезонная волна?

Упражнения

1. В таблице приведены годовые данные о трудоемкости производства 1 т цемента (нормо-смен). Текущий номер года (і) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Трудоемкость 1 т цемента (у,) 7,9 8,3 7,5 6,9 7,2 6,5 5,8 4,9 5,1 4,4 Определить наличие тренда во временном ряду:

а) методом проверки разности средних уровней;

б) методом Фостера—Стьюарта (табличные значения статистик Стьюдента и Фишера принять равными ta — 2,23;

Fa = 3,07; другие необходимые табличные данные приведены в табл. 4.5). 2.

Сгладить временной ряд, приведенный в упр. 1, методом простой скользящей средней. Результаты показать на графике. 3.

Сгладить временной ряд, приведенный в упр. 1, методом экспоненциального сглаживания, приняв параметр а экспоненциального сглаживания равным: а) 0,1; б) 0,3. Отразить результаты сглаживания на графике. Визуально определить, какое из этих значений а наиболее соответствует экономическому процессу, заданному временным рядом. 4.

Для показателя, заданного временным рядом в упр. 1, определить:

а) средний абсолютный прирост;

б) средние темпы роста и прироста;

в) средний уровень ряда;

г) среднеквадратическое отклонение и дисперсию. 5.

Для временного ряда в упр. 1 рассчитать несколько первых коэффициентов автокорреляции по формуле (4.18') и построить график автокорреляционной функции. Найти величину временного лага.