Структурные модели или модели оценки CDS на основе стоимости фирмы

В 1973 году в статье «Оценка опционов и корпоративных обязательств» американские ученые Ф.Блек и М. Шоулс [Black F., Scholes M., 1973] предложили принципиально новый подход к оценке стоимости опционов, основанном на стоимости компании.

Структурные модели, они же модели стоимости фирмы или модели на основе стоимости акций, являются расширенными версиями изначальной модели BSM.

Структурные модели могут использоваться для:

— оценки риска дефолта корпоративных облигаций;

— прогноза изменения рейтинга;

— прогнозирования изменений кредитных спредов;

— оценки чувствительности кредитных спредов облигаций к изменению цены акций;

— оптимизации структуры капитала с целью максимизации стоимости компании.

Данные модели также могут использоваться для оценки стоимости кредитных деривативов, в частности CDS.

Структурные модели оценки ставят перед собой достаточно фундаментальные цели: получить взаимосвязь стоимости акций и долговых инструментов, выпущенных компанией, иначе говоря, найти зависимость между акционерным капиталом и долгом компании.

Известно, что держатели долговых инструментов имеют первоочередное право на получение инвестированных в компанию средств, а только потом свои средства получают акционеры. Таким образом, капитализация - остаточная стоимость компании, или то, что остается после выплаты долговых обязательств. Следовательно, теоретически капитализация может быть отрицательной величиной, если стоимость активов меньше долговых обязательств (это и есть момент дефолта).

чувствительный к кредитному качеству, инструмент можно представить как опцион на стоимость компании.

Модель Мертона

Модель Мертона предполагает, что стоимость активов компании изменяется согласно геометрическому Броуновскому движению (с англ. geometrical Brownian motion) или иначе модели Самуэльсона:

где: μ - дрифт цены или ожидаемая доходность;

G_a- волатильность активов компании;

dz - винеровский процесс.

Кроме того в модели Мертона структура капитала значительно упрощена: пассивы состоят их акционерного капитала и дисконтной облигации номинала K, равному совокупным долговым обязательствам компании.

Как было сказано выше, акционерный капитал можно представить в виде опциона колл на активы компании, таким образом, справедливо следующее равенство:

Из стохастического дифференциального уравнения (далее - СДУ)

2.2 и граничных условий для опциона колл 2.3 на основании леммы Ито можно вывести следующее дифференциальное уравнение частных производных (далее ДУЧП):

Решением этого ДУЧП относительно S_tявляется стоимость опциона колл на активы компании с ценой исполнения K или стоимость акционерного капитала компании:

N - кумулятивное стандартное нормальное распределение;

σ_λ- волатильность стоимости активов;

r - безрисковая процентная ставка.

Формула (2.5) является знаменитой формулой Блека-Шоулса для оценки опционов. Ее вывод различными способами широко представлен в финансовой литературе.

В формуле (2.5) волатильность стоимости активов σявляется эмпирически не наблюдаемой, поскольку активы компании не являются торгуемым инструментом, в отличие от акционерного или долгового капитала.

На основании того, что стоимость акционерного капитала является производной от стоимости фирмы Джонс, Мэсон и Розенфельд [Jones P., Mason S. and Rosenfeld E., 1984], используя лемму Ито, вывели следующее соотношение, связывающее волатильность акций и стоимости компании:

где: z_s- волатильность акционерного капитала компании

L_f- финансовый рычаг компании, равный:

Из корпоративных финансов известно соотношение:

Подставляя выражение (2.5) в выражение (2.8), получим:

Функция нормального распределения является симметричной функцией, поэтому для нее справедливо соотношения 1-F(t)=F(-t), таким образом, выражение 2.9 перепишем в виде:

Таким образом, выражение 2.10 связывает стоимость активов компании и стоимость его долговых обязательств.

С другой стороны, текущая стоимость дисконтной облигации равна:

где: r_risk- доходность рисковой облигации;

r - безрисковая доходность;

у - кредитный спред облигации.

Приравнивая равенства 2.10 и 2.11, получим:

Значение у по модели Мертона обусловлено только кредитным риском компании относительно безрисковой облигации, поэтому эквивалентно стоимости кредитного дефолтного свопа для долгового обязательства данного срока.

Далее будет представлена реализация модели Мертона для оценки кредитного риска крупнейших российских компаний.