Развитие модели Мертона. Другие виды структурных моделей.

Модель Мертона не предполагает, что дефолт компании может случиться до наступления срока платежа по обязательствам, также она не рассматривает возможности выплаты дивидендов по акциям, и структура долга считается однородной, то есть, нет субординации между обязательствами.

Далее мы продемонстрируем структурные модели, в которых преодолеваются некоторые предпосылки классической модели Мертона.

Блек и Кокс [Black, Cox, 1976] сделали модель Мертона более реалистичной, представив пороговое значение дефолта как переменную величину, а также рассмотрели возможность наступления дефолта до срока погашения долга. В данной модели пороговое значение долга было представлено как функция от времени, при этом дефолт компании мог произойти в результате неисполнения ковенант по облигациям или кредитам, в результате чего у кредитора могло возникнуть право предъявить долг компании досрочно.

Таким образом, принципиальное отличие при расчете стоимости CDS или любого другого актива состоит в том, что Мертон оценивает

простой опцион, а Блек Кокс - барьерный опцион, то есть опцион, который исполняется, как только цена базового актива достигает определенного уровня - барьера. Поскольку с помощью модели оценки опционов Блека-Шоулса также можно оценивать барьерные опционы, то методы оценки инструментов при подходе Мертона и Блека-Кокса в целом аналогичны. Но так как оценка барьерных опционов сложнее в принципе, то модели, использующие подход Блека-Кокса заметно сложнее математически. Значительно сложнее и калибровка данных моделей, поскольку стоимость барьерных опционов не монотонна относительно волатильности базового актива, поэтому задача калибровки имеет несколько решений.

Модель Блека-Кокса предполагает, что акционерам начисляются дивиденды по непрерывной ставке δ, пропорциональной стоимости компании. Таким образом, уравнение динамики стоимости компании можно представить в виде:

Риск процентных ставок не был учтен в модели Блека-Кокса, то есть процентные ставки принимаются постоянными.

Модель Блека-Кокса также позволяет учитывать субординацию долга компании, стоимость более низших траншей выводится из стоимости более высоких траншей, учитывая, что держатели низшего долга получат средства только после того, как весь объем долга получат держатели старших траншей. Если долг представить, как сумму младшего и старшего транша, то стоимость старшего транша должна рассчитываться из такой структуры капитала, как будто младшего транша и нет. А стоимость младшего страшна, будет рассматриваться как разность между стоимостью облигации, номиналом на весь размер долга компании за минусом стоимости старшего транша. Возможность учета субординации между траншами позволила применять модель для оценки таких инструментов секьюритизации, как CDO (с англ. collateralized debt obligation).

В модели Мертона и модели Блэк и Кокса подразумевалась неизменность процентных ставок. Васичек [Vasicek,1977] в своей работе представил модель динамики процентных ставок, то есть ставки не рассматривались как статичные.

Гески [Geske, 1977] смоделировал рисковые купонные облигации как опционы на стоимость фирмы, где дефолты могли произойти в даты выплаты купона, если компания неспособна по нему рассчитаться. Он дал разрешение модели в аналитическом виде для одноразовой выплаты купона.

Лонгстаф и Шварц [Longstaff, Schwartz, 1995] смогли реализовать в модели Мертона условие стохастических процентных ставок, предложенное Васичеком. При этом рассматривается взаимосвязь между изменением стоимости компании и безрисковой ставкой в модели Васичека. Более того, в модели Лонгстафа и Шварца ставка покрытия представлена как экзогенная величина, которая варьируется в зависимости от старшинства транша.

Халл, Нелькен и Уайт [Hull, Nelken and White, 1993] первые представили модель, связывающую наклон волатильности с кредитными спредами. Наклон волатильности - наблюдаемое на практике явление, когда подразумеваемая волатильность опционов зависит от страйк цены. Иначе говоря, это разница между волатильностью опционов, которые в данный момент «вне денег» (out-of-money) и которые в «деньгах» (in-the-money): наклон в о л ат ил ь н о ст и =

Наиболее интересны с точки зрения практического применения 2 структурные модели: KMV и CreditGrades.