7.2. Задачи экономического анализа, решаемые на основе регрессионных эконометрических моделей

Основу математического аппарата для рассматриваемых моделей составляют такие разделы математической статистики, как корреляционный и регрессионный анализ.

В табл. 7.1 представлены статистические данные о расходах на питание, душевом доходе и размере семьи для девяти групп семей. Требуется проанализировать зависимость величины расходов на питание от величины душевого дохода и размера семьи.

В соответствии с этим первый показатель будет результативным признаком, который обозначим у, а два других будут факторными признаками, или просто факторами, и мы их обозначим соответственно Xi и х2.

Таблица 7.1. Номер группы Расход на питание (у) Душевой доход Размер семей (х2) 1 433 628 1,5 2 616 1577 2,1 3 900 2659 2,7 4 1113 3701 3,2 5 1305 4796 3,4 6 1488 5926 3,6 7 1645 7281 3,7 8 1914 9350 4,0 9 2411 18807 3,7 Рассмотрим сначала однофакторную линейную модель зависимости расходов на питание (у) от величины душевого дохода семей (лг^).

у = а0+а1х1, (7.1)

параметры которой aj и flj находятся в результате решения системы нормальных уравнений, которая в свою очередь формируется, как уже отмечалось в гл. 5, на основе метода наименьших квадратов. Система нормальных уравнений для рассматриваемого случая аналогична системе (5.5) и имеет вид:

+Gxi)ai = НУ

(2>i)ao +(2>i)ai і»

где суммирование проводится по всем п группам. Используя данные табл. 7.1, получим систему уравнений:

J9a0 + 54725^ =11825 [54725^ + 540789321 = 98049159,

решением которой являются значения а0 = 549,68; а^ = =0,1257. Таким образом, модель имеет вид:

(7.3).

у = 549,68 + 0,1257^.

Уравнение (7.3) называется уравнением регрессии, коэффициент а і — коэффициентом регрессии. Направление связи между у иі] определяет знак коэффициента регрессии а\\ в нашем случае данная связь является прямой. Теснота этой связи определяется коэффициентом корреляции (парным): (7.4) где Sy — средняя квадратическая ошибка выборки у из табл. 7.1: у — средняя арифметическая значений у,

S- — средняя квадратическая ошибка уравнения (7.3) для

Ухі

числа степеней свободы п - 2: где у — соответствующее значение расходов на питание, вычисленное по модели (7.3).

В этих формулах, как и ранее, суммирование ведется по всем группам от 1 до п.

Чем ближе значение коэффициента корреляции к единице, тем теснее корреляционная связь. В нашем примере

SI = 454070, S? = 63846, следовательно,

у

Полученное значение свидетельствует, что связь между расходами на питание и душевым доходом очень тесная.

п

Величина г*х называется коэффициентом детерминации

и показывает долю изменения (вариации) результативного признака под действием факторного признака. В нашем

о

случае г. = 0,859; это означает, что фактором душевого

Ух і

дохода можно объяснить почти 86% изменения расходов на питание.

Коэффициенты регрессии (в рассматриваемом случае это коэффициент а\) нельзя использовать для непосредственной оценки влияния факторов на результативный признак из-за различия единиц измерения исследуемых показателей.

Коэффициент эластичности для рассматриваемой модели парной регрессии рассчитывается по формуле:

(7.5)

* 1 У

Он показывает, на сколько процентов изменяется результативный признак у при изменении факторного признака на один процент.

В нашем примере коэффициент регрессии а\ равен 0,1257, а средние арифметические ^ и у равны соответственно 6080,6 и 1313,9. Поэтому коэффициент эластичности расходов на питание в зависимости от душевого дохода будет равен

= 0,1257- 6080,6 yXl 1313,9

Это означает, что при увеличении душевого дохода на 1% расходы на питание увеличатся на 0,58%.

Бета-коэффициент в нашем случае задается формулой:

a1Sx

Pi* = "V4 <7-6>

ьу

где SZi и Sy — средние квадратические ошибки выборки величин Xi и у из табл. 7.1 соответственно.

Величина Sy уже была рассчитана ранее и равна 454070, поэтому величина Sy равна 673,8; аналогичные расчеты дают значение величины SX], равное 4242,0. Бета-коэффициент показывает, на какую часть величины своего среднего квадратического отклонения изменится в среднем значение результативного признака при изменении факторного признака на величину его среднеквадратического отклонения.

В нашем случае получаем следующее значение бета-коэффициента:

= 0,1257- 4242,0 ^ 673,8

т.е. увеличение душевого дохода на величину среднеквадратического отклонения этого показателя приведет к увеличению среднего значения расходов на питание на 0,79 среднеквадратического отклонения этих расходов.

Рассмотрим теперь двухфакторную линейную модель зависимости расходов на питание (у) от величины душевого дохода семей (xi) и размера семей (х2). Как уже отмечено выше, множественный (многофакторный) корреляционно- регрессионный анализ решает три задачи: определяет форму связи результативного признака с факторными, выявляет тесноту этой связи и устанавливает влияние отдельных факторов. В нашем случае эта модель имеет вид:

у = а0 + а^ + а2х2. (7.7)

Параметры модели ад, а\, и а2 находятся путем решения системы нормальных уравнений:

пао + (Z*i)ai + (Е*г)а2 =

(Е*г)ао +(Ехіхг)аі +(Е*2)а2 =^УХ2-

Используя данные табл.

9 а0 + 54725^ + 27,9а2 =11825 54725а0 + 540789321а2 + 194341,8а2 = 98049159 27,9а0 + 194341,8а! + 92,1а2 = 40391,7.

Решая эту систему (например, методом Гаусса), получим: ао=18,63; а^О.0985; а2=224,6, так что модель (7.7) имеет вид:

у = 18,63 + 0,0985*! + 224,6х2.

Для определения тесноты связи предварительно вычисляются парные коэффициенты корреляции гух^, гХЛ. Например,

где черта над символами означает среднюю арифметическую, a Sy и SXj — средние квадратические ошибки соответствующих выборок из табл. 7.1:

*. раж. s„ -

Аналогичный вид имеют формулы для гух^ и .

После этого вычисляют коэффициент множественной корреляции II

(7.10)

2 , 2 ^ п _ Гух 1 Гух2 ух\ 'ухо Гхгх2 который колеблется в пределах от 0 до 1; чем ближе он к 1, тем в большей степени учтены факторы, влияющие на результативней признак.

В нашем примере расчеты дают следующее значение коэффициента множественной корреляции: іїрж ж = 0,983, что

выше значения коэффициента корреляции в случае одно- факторной модели. Таким образом, степень тесноты связи расходов на питание с факторами душевого дохода и размера семей является очень высокой.

Величина Д? называется совокупным коэффициентом

Ух\хг

детерминации и показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторных признаков.

О

В нашем примере Rг = 0,966; это означает, что совместное

УХ\Х2

влияние душевого дохода и размера семей объясняет почти 97% изменения расходов на питание.

Задача анализа тесноты связи между результативным и одним из факторных признаков при неизменных значениях других факторов решается в многофакторных моделях при помощи частных коэффициентов корреляции. Так, частный коэффициент корреляции между результативным признаком у и факторным признаком хj при неизменном значении факторного признака х2 рассчитывается по формуле

_ Гу*1 ~ГУ*2Г*1*2 /(Т 1 1 \

гу*і(*2) ~ і ; ; '

/(1-гД2)(1-гх%г)

где используются парные коэффициенты корреляции, рассчитываемые по формулам, аналогичным (7.9).

Аналогичная формула имеет место для частного коэффициента корреляции Гух2(хі) между результативным признаком

у и факторным признаком х2 при неизменном значении факторного признака Xl.

Для рассматриваемого примера частные коэффициенты корреляции расходов на питание от душевого дохода и размера семей составляют

Гуьы = 0,927; гІХ2(Хі) = 0,849,

т.е. теснота связи между расходами на питание и одним из исследуемых факторов при неизменном значении другого является весьма значительной.

Если частные коэффициенты корреляции возвести в квадрат, то получим частные коэффициенты детерминации, показывающие долю вариации результативного признака под действием одного из факторов при неизменном значении другого фактора. В нашей задаче

= ?,<*,) = 0,721,

следовательно, влиянием душевого дохода при неизменном размере семьи объясняется почти 86% изменения расходов на питание, а изменение размера семьи при неизменном душевом доходе объясняет более 72% изменения расходов на питание.

Влияние отдельных факторов в многофакторных моделях может быть охарактеризовано с помощью частных коэффициентов эластичности, которые в случае линейной двухфакторной модели (7.7) рассчитываются по формулам:

Эу* ЭУ*(7-12)

Черта над символом, как и ранее, означает среднюю арифметическую. Частные коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов изменится результативный признак, если значение одного из факторных признаков изменится на 1 %, а значение другого факторного признака останется неизменным.

В рассматриваемом примере а\ = 0,0985; а2 = 224,6; у =

= 1313,9; хг = 6080,6; х2 — 3,1, следовательно, по формулам (7.12) получим:

0,0985 6080,6 224,6 • 3,1 Э,~1Г (Г л = = 0,45о; а,-.г (г Л = = 0,530.

У*Л*2) 1313,9 "Xj(jc,) 1313,9

Это означает, что при увеличении душевого дохода на один процент и неизменном размере семьи расходы на питание увеличатся на 0,456%, а увеличение (условное) на 1% размера семьи при неизменном душевом доходе приведет к возрастанию расходов на питание на 0,530%.

Определенные выводы о влиянии отдельных факторов на результативный признак в случае линейной модели множественной регрессии можно сделать на основе расчета частных бета-коэффициентов, которые для двухфакторной модели (6.7) задаются формулами: alSXl

(7.13)

yx2(xi) С by Частные бета-коэффициенты показывают, на какую долю своего среднеквадратического отклонения изменится в среднем результативный признак при изменении одного из факторных признаков на величину его среднеквадратического отклонения и неизменном значении остальных факторов.

В рассматриваемой задаче aj=0,0985; 02=224,6; 5^=673,8; Sx =4242,0; SXo =0,79, так что расчеты по формулам (7.13)

дают следующие значения частных бета-коэффициентов: = 0,26.

0.62; р $Хг(Хі)

224,6 • 0,79 673,8

0,0985 • 4242,0 673,8

Это означает, что при неизменном составе семей увеличение на величину среднеквадратического отклонения размера душевого дохода приведет к увеличению среднего значения расходов на питание на 0,62 их среднеквадратического отклонения, а при неизменном душевом доходе увеличение размера семей на величину его среднеквадратического отклонения приведет к возрастанию расходов на питание лишь на 0,26 их среднеквадратического отклонения.