12.2.1 Модификация классических моделей равновесия: равновесия с неотличимыми благами

Рассмотрим квазилинейную экономику с тремя благами, в которой имеется один репрезентативный потребитель с функцией полезности v(xi,x2) + z и один репрезентативный производитель с функцией издержек c(yi, y2).

v(aix, a2x) - px ^ max,

где x = xi + x2 - это суммарный объем потребления двух неотличимых благ, причем xi = aix и x2 = a2x. При дифференцируемости функции v( ) дифференциальная характеристика внутреннего решения задачи потребителя имеет вид

dv dv

ai- + a2~- = p.

dxi dx2

Задача производителя обычная, только цены на два блага одинаковы (pi = p2 = p):

p(yi + У2) - c(yh У2) ^ ^g* .

При дифференцируемости функции издержек дифференциальная характеристика внутреннего решения задачи производителя имеет вид

dc dc

= P и = p.

dyi dy2

Равновесие в данной модели - это такая цена p, доли a.i, a2, объемы потребления xi, xc2 и объемы производства yi, yj2, которые удовлетворяют следующим условиям:

Объемы потребления xi и x2 являются решением задачи потребителя при цене p и долях a1 и a2.

Объемы производства yi, y2 являются решением задачи производителя при цене p.

Рынки сбалансированы, т. е. xi = yi и x2 = У2.

Доли ai и oi2 являются долями продаж соответствующих благ на рынке, т. е. xi = ai(xi + x2) и x2 = a2(xi + x2).

Как известно, дифференциальная характеристика внутреннего Парето-оптимума имеет

вид

dv дс dv дс dxi dyi dx2 ду2- Таким образом, для Парето-оптимальности внутреннего равновесия требуется выполнение условий

dv дс dv дс dxi dyi dx2 dy2- Ясно, что в общем случае нельзя ожидать выполнения этого условия.

В частности, предположим, что v(xi,x2) = V(xi + ^x2), где функция V(o) имеет положительную производную. Здесь единица 2-го блага заменяет для этого потребителя в единиц 1-го. При этом

д^ = V' и = eV'. dxi dx2

Если в > 1, то равенство dv/dxi = dv/dx2 не может быть выполнено.

Покажем, что в равновесии недопроизводится "более ценное" второе благо. Для этого мы укажем Парето-улучшение в дифференциалах для состояния равновесия. Пусть производство и потребление 2-го блага меняется на величину dx2 = dy2 > 0, и суммарное производство двух благ не меняется, т. е. dxi = dyi = -dx2. При этом в первом приближении издержки производства не меняются:

дс дс

dc = - dyi + - dy2 = pdyi + pdy2 = 0. dyi dy2

Таким образом, затраты 3-го блага в производстве не меняются. Поэтому потребление 3-го блага не меняются (dz = 0).

Изменение полезности тогда составляет величину

dv dv

du = -- dxi + -- dx2 + dz = V'(-dx2) + eV'dx2 = (в - 1)V'dx2 > 0. dxi dx2