13.1.2 Сравнительная статика

Сравнительная статика - это изучение поведения оптимального решения или равновесия при изменении экзогенных параметров. Мы рассмотрим здесь сравнительную статику равновесия при монополии.

Теорема 129:

Пусть ci(-) и c2(-) - функции издержек такие, что разность c2(y) - ci(y) возрастает на [0, то), и пусть yM ^ 0 дает максимум прибыли монополии при издержках ci(-), а yM ^ 0 - при издержках c2(-). Тогда yM ^ yM.

Пусть, кроме того, pp(-), ci(-) и c2(-) - дифференцируемые функции, причем c[(y) < c'2(y) при всех y ^ 0. Тогда либо yM = yM = 0, либо yM > yM . J

Доказательство: По условиям максимальности прибыли в обеих сравниваемых точках yM и yM имеем:

p(yM)yM - ci(yM) > p(yM)yM - ci(yM), p(yM)yM - c2(yM) > p(yM)yM - c2(yM).

Отсюда следует, что

c2(yM) - ci(yM) > c2(yM) - ci(yM).

Из возрастания функции c2(y) - ci(y) получаем требуемое соотношение: yM ^ yM .

Вторая часть утверждения (с учетом доказанной первой части) следует из сравнения дифференциальных характеристик выпусков yM и yM при yM = yM > 0. (Читателю предлагается провести соответствующие рассуждения самостоятельно.) ?

Доказанное утверждение можно проиллюстрировать с помощью рисунка, на котором кривая предельных издержек смещается вверх (MCi ^ MC2, см. Рис. 13.5).

Для частного случая постоянных предельных издержек вышеприведенная теорема может быть получена непосредственным использованием условий первого и второго порядка.

Условие первого порядка для случая постоянных предельных издержек (c'(y) = c) имеет следующий вид:

yMp'(yM)+ p(yM) = c.

Рис. 13.5. Влияние роста предельных издержек на выпуск монополии

Оно задает в виде неявной функции зависимость объема производства, выбираемого монополистом, от величины предельных издержек yM = y(c). В предположении существования производных обратной функции спроса p(y) и функции y(c), продифференцируем по c тождество

y(c)p'(y(c)) + p(y(c)) = c.

Получим соотношение

2p'(y(c))y'(c) + y(c)p"(y(c))y/(c) = 1,

или

y'(c) = 1

2p'(y(c))+ y(c)p"(y(c))'

В знаменателе дроби стоит вторая производная прибыли, которая (по условиям второго порядка) неположительна.

dP = p'(y(c))y,(c) = 2 + y(c)p"(y(c))/p'(y(c)) >

Это соотношение показывает, что равновесная цена растет при росте издержек.

Приведенные соотношения можно применять для анализа влияния на монопольное равновесие изменения в величине издержек (шоков со стороны предложения). В качестве примера такого изменения можно рассмотреть введение налога с продаж. Так, при линейной функции спроса и постоянных средних издержках введение налога с единицы продукции при ставке t приводит к росту цены на t/2. В случае же функции спроса с постоянной эластичностью е < 0 (т. е., y(p) = ap) введение такого налога приводит к росту цены на величину 11е|/(1 + |е|). (Справедливость этих утверждений проверьте самостоятельно.)

Приведенные свойства позволяют провести анализ потерь благосостояния, связанных с монопольной организацией рынка, что является основной задачей нашего анализа несовершенных рынков.