7.6 Сравнительная статика решений в условиях неопределенности

В этом параграфе мы попытаемся ответить на следующие вопросы, относящиеся к сравнительной статике инвестиционного поведения

какие условия на предпочтения инвестора гарантируют рост вложений в рискованную часть портфеля при росте величины суммарных инвестиций;

какие условия на предпочтения двух инвесторов гарантирую большую величину вложений в рискованную часть портфеля одного из них при равных величинах суммарных инвестиций;

какие свойства двух лотерей гарантируют, что одну их них всегда предпочитает любой другой инвестор, предпочтения которого представляются функцией полезности Неймана - Моргенштерна???.

Ответ на первые два вопроса формулируется в терминах характеристик отношения к риску, к анализу которых мы переходим.

Рассмотрим лотерейный билет, которой приносит чистый выигрыш ?1 с вероятностью р и ?2 с вероятностью 1 - р.

Е(и(и + ?)) ^ и(и).

или

ри(и + ?1) + (1 - р)и(и + ?2) ^ и(и).

Обозначим множество всех таких лотерейных билетов (?1 ,?2) (которые потребитель согласен приобрести) через E(и).

Изобразим на плоскости (?1, ?2) множество E(и). Потребителю выгодно приобрести любой лотерейный билет, представленный точкой из I квадранта, и не выгодно приобретать любой лотерейный билет, представленный точкой из III квадранта. Выгодность приобретения билетов, представленных точками из II и IV квадрантов зависит, в частности, от отношения к риску рассматриваемого потребителя. Если элементарная функция полезности и(-) вогнута, то множество E(и) выпукло. (Докажите это.)

Для любой лотереи, лежащей на границе этого множества, выполняется:

ри(и + ?1) + (1 - р)и(и + ?2)= и(и). (E)

* ?2 ?i Рис.

Это уравнение задает зависимость ?2 = ?2(^1) в виде неявной функции. Стандартные свойства элементарной функции полезности и условие р < 1 гарантируют существование такой функции и ее дифференцируемость. Подставим ?2 = ?2(^1) в (E) и продифференцируем по ?1 в точке 0. Используя, тот факт, что ?2(0) = 0 получим

ри'(и) + (1 - рК(ш)?'2(0) = 0.

Это уравнение описывает касательную к E(и) в точке (0, 0). Эта касательная имеет наклон - . Поскольку выпуклое множество лежит выше своей касательной, то точки лежащие ниже этой касательной не принадлежат E(и). Таким образом, если ?2 будет меньше, чем - - ?1, то участник заведомо не примет участия в такой лотерее (какова бы ни была вероятность р).

Рассмотрим двух рискофобов. Пусть первый из них принимает лотереи, принадлежащие множеству E 1(и), а второй - множеству E2(и). Если E2(и) С E 1(и) (строгое включение), то естественно считать, что из этих двух рискофобов второй характеризуется большим неприятием риска, чем первый.

Рис. 7.8. Сравнение отношений к риску двух потребителей

Если ни одно из включений E2 (и) С E1 (и) и E 1(и) С E2 (и) не выполнено, то мы не можем проранжировать рассматриваемых участников, используя данное правило.

Заметим, что линейная аппроксимация этих множеств (полуплоскость, задаваемая касательной в нуле) одна и та же и не отражает различие в отношениях к риску. Поэтому следует рассмотреть "аппроксимацию второго порядка".

В предположении, что элементарная функция полезности дважды непрерывно дифференцируема, продифференцируем соотношение (E) по ?1 дважды в точке 0. Получаем

ри"(и) + (1 - р) [и"(и)(?/2(0))2 + и'(и)?/2/(0)1 = 0.

С учетом того, что ?2(0) = - У-^, получим

?2' (0) = -

Jlfn\ - и''(и) Р

и'(и) (1 - р)2

Мы убедились, что уравнения границ множеств E 1(и) и E2(и) в первом приближении всегда совпадают, а во втором приближении могут различаться. При этом, если ?2'(0) у первого меньше, чем у второго, то в окрестности нуля E2(и) содержится в E 1(и).

Определение 59:

Мерой неприятия риска Эрроу - Пратта называется величина

и''(ж)

Р(ж) = угт-.

и' (ж)

При определенных условиях эту меру неприятия риска можно рассматривать и как глобальную меру неприятия риска. В терминах меры Эрроу - Пратта из двух участников можно считать, что тот участник характеризуется большим неприятием риска, у которого мера Эр- роу - Пратта всегда больше.

Предложенный Эрроу и Праттом подход - не единственный способ измерить отношение к риску. Выше мы ввели вознаграждение за риск, которую тоже можно рассматривать как меру отношения к риску. Напомним, что величина Дж(ж) называется вознаграждением за риск для данного потребительского набора ж, если Е ж - Дж(ж) является безрисковым эквивалентом ж:

Е и(ж) = и(Е ж - Дж(ж)).

Также напомним, что для любого рискофоба вознаграждение за риск - величина неотрицательная. Естественно считать, что в терминах вознаграждения за риск из двух участников тот характеризуется большим неприятием риска, у которого вознаграждение за риск всегда больше.

Можно предложить еще один способ ранжирования рискофобов по их отношению к риску - "степень вогнутости" элементарной функцией полезности. Можно считать, что и(-) "более вогнута", чем г(-), если существует строго вогнутая строго возрастающая функция G(-) такая, что и(ж) = С(г(ж)) Vж, тогда участник с элементарной функцией полезности и(-) характеризуется большим неприятием риска.

Оказывается, что все эти способы ранжирования эквивалентны, о чем свидетельствует следующее утверждение.

Теорема 93 ((Теорема Пратта)):

Рассмотрим двух потребителей, предпочтения которых характеризуются дважды непрерывно дифференцируемыми элементарными функциями полезности и^-) и U2(-), такими что и^ж) > 0 и и"(ж) ^ 0 Vж, i = 1, 2.

Следующие три условия эквивалентны:

р1 (ж) ^ Р2(ж) Vж, где pi(?) - мера неприятия риска Эрроу- Пратта, соответствующая Ui(?).

Существует вогнутая возрастающая функция G(-) такая, что и1(ж) = С(и2(ж)) Vж.

Для всех случайных переменных ж с ненулевой дисперсией (Уэг(ж) = 0) выполнено Дж1(ж) ^ Дж2(ж). J

Доказательство: (i) ^ (ii)

Имеется функция G(-), такая что

u1(x) = С(и2(ж)).

(При доказательстве утверждения в направлении (i) ^ (ii) можем определить G(-) на области значений функции U2(?) следующим образом:

С(ж) = u1(u-1(x)).

Поскольку U2(?) строго монотонна, то она обратима.)

Заметим, что функция G(-) является дважды непрерывно дифференцируемой и возрастающей.

u1(x) = С'("2(ж))"2(ж), "'/(ж) = G"(u2(x))u/2 (ж) + G'(u2(x))u'2/(x).

Заметим, что из первого равенства следует, что С'(и2(ж)) > 0. Поделив вторую производную на первую, получим

С"(И2(ж))

-Р1(ж) = -Р2(ж) + сыЖУ.

Поскольку С'(и2(ж)) > 0, то р1(ж) ^ р2(ж) эквивалентно С (y) ^ 0 Vy = и2(ж), то есть функция G(-) вогнута в своей области определения тогда и только тогда, когда pZ(x) ^ Р2(ж)

для всех ж. (ii) ^ (iii)

Если функции ?"!(o) и "2(') связаны между собой соотношением и1(ж) = G(u2(x)) Vx, то для произвольной случайной величины Ж по определению вознаграждения за риск имеют место равенства

u1(E Ж - Аж1(Ж)) = E и1(Ж) = E С(и2(Ж)), u1(E Ж - АЖ2(Ж)) = G(u2(E Ж - АЖ2(Ж))) = G(E и2(Ж)).

Из монотонности U1 (?) следует, что Аж1(Ж) ^ Аж2(Ж) тогда и только тогда, когда U1(E Ж - Аж1(Ж)) ^ u1(EЖ - АЖ2(Ж)) , т. е. тогда и только тогда, когда E С(и2(Ж)) ^ G(E и2(Ж)).

Если функция G(-) вогнута, то по неравенству Йенсена E С(и2(Ж)) ^ G(E и2(Ж)), и поэтому Аж1(Ж) ^ АЖ2(Ж) .

Наоборот, если Аж1(Ж) ^ Аж2(Ж), то выполнено неравенство E С(-"2(Ж)) ^ G(E и2(Ж)), а это свойство эквивалентно вогнутости функции G(-). (Проверьте, что обычное определение вогнутой функции является частным случаем неравенства Йенсена.) ?

Введенная мера Эрроу- Пратта называется абсолютной мерой Эрроу- Пратта. Кроме того, рассматривают относительную меру Эрроу-Пратта, которая определяется по формуле:

и"(ж)ж

и'(ж)

Относительная мера Эрроу- Пратта является эластичностью предельной полезности (по доходу).

Меры Эрроу- Пратта являются полезными инструментами анализа поведения инвестора в условиях риска, так как в их терминах получаются ответы на стандартные вопросы сравнительной статики: как изменяется структура инвестиционного портфеля при изменении размера инвестиций, доходностей активов и т. д. А к проблемам сравнительной статики сводятся

многие проблемы прикладной экономики: характер спроса на деньги в портфельной теории формирования спроса на деньги, влияние налогообложения и т. д.

В терминах (абсолютной) меры Эрроу- Пратта можно охарактеризовать спрос на рискованный актив как функцию величины инвестиций в рассматриваемый портфель из двух активов.

U = Е и(иг0 + z(f - r0)) ^ max.

Мы предполагаем, что решение z(u) существует VU G R+ и что Е Г > Г0, т. е. что решение внутреннее (z(u) > 0).

Теорема 94:

Если мера Эрроу- Пратта р(ж) убывает, то рискованный актив является нормальным благом, т. е. z'(u) > 0. J

Доказательство: Условие оптимальности портфеля имеет вид

Е[и'(ж)(г - Г0)] = 0,

где ж = ur0 + z(u)(f - r0).

Продифференцируем его по и:

Е[и''(ж)(г - Г0)(Г0 + z'(u)(f - Г0))] = 0,

По свойствам оператора математического ожидания

r0 Е[и''(ж)(г - r0)] = -z'(u) Е[и''(ж)(г - r0)2],

откуда

u Е[и''(ж)(г - Г0)]

z'(u) = - r0-

Е[и''(ж)(г - r0)2]'

Ясно, что знаменатель здесь меньше нуля, так как в силу вогнутости функции полезности и''(ж) < 0. Покажем, что числитель больше нуля.

Рассмотрим случайную величину г - Г0: она принимает как положительные, так и отрицательные значения. Рассмотрим случай г = r > Г0 .В силу убывания функции p(-) при z > 0

p(ur0 + z(r - Г0)) < p(u),

По определению меры Эрроу- Пратта

и''(иг0 + z(r - r0))

< p(u),

u'(ur0 + z(r - r0))

Умножив это неравенство на знаменатель и на -(r - Г0), получаем:

и''(иг0 + z(r - r0)) > -p(u)u'(ur0 + z(r - r0)),

Легко видеть, что при г = r < Г0 это неравенство тоже верно. Это означает, что верно соотношение

Е u''(ur0 + z(u)(r - r0)) > -p(u) Е u'(ur0 + z(u)(r - r0)).

Следовательно, z'(u) > 0. Другими словами, рискованный актив является нормальным благом. ?

Отметим, однако, что это свойство не выполняется для случая двух и более рискованных активов.