15.3.3 Задачи

^ 639. Рассматривается стандартная задача выбора оптимального контракта с двумя неизвестными типами работников (производная издержек одного всюду выше производной другого); предлагается два объема работы и два соответствующих уровня оплаты.

Определите характеристики контракта по найму этих двух типов работников (оптимальный уровень усилий, обусловленное контрактом вознаграждение для каждого типа работников).

^ 643. В модели найма со скрытой информацией с двумя типами работников предположим, что издержки усилий работника 1-го типа равны с1(ж) - ж2, работника 2-го типа - с1(ж) - аж2, причем доли работников обоих типов одинаковы.

Определите характеристики оптимального контракта. ^ 644. В модели найма со скрытой информацией с двумя типами работников предположим, что издержки усилий работника 1-го типа равны с1(ж) - ж2, работника 2-го типа - с1(ж) - 2ж2.

Определите характеристики оптимального контракта в зависимости от доли работников первого типа.

^ 645.

Определите характеристики оптимального контракта в зависимости от резервной полезности работников 1-го типа, в предположении, что резервная полезность работников 2-го типа равна нулю.

^ 646. Заказчик нанимает подрядчика для производства некоторого блага. Ценность каждой единицы этого блага для заказчика равна 8. Подрядчик с вероятностью 1 /3 может оказаться имеющим функцию полезности U1 = д/12 + w - Q, и с вероятностью 2/3 - имеющим функцию полезности U2 = у/5 + w - Q, где w - величина денежного дохода подрядчика, а Q - это стоимость произведенных благ. Резервный уровень полезности подрядчика любого типа равен uo = 1.

Найдите оптимальный контракт вида {(Q1 ,w1), (Q2,w2)} в условиях асимметричной информации (заказчик не различает подрядчиков).

^ 647. В модели найма со скрытой информацией с n типами работников (9 = 1,...,n) покажите, что если ре = n, и ее (ж) = 9е(ж), где е(ж) - возрастающая выпуклая функция, то ограничение монотонности усилий несущественно, т. е. задача определения оптимального контракта распадается на n независимых задач.

^ 648. Пусть в модели найма со скрытой информацией ее (ж) = 9ж, функция дохода у(ж) такова, что предельный доход положителен и убывает. Предположим, что решение задачи поиска оптимальных пакетов (же, wi^) является внутренним, причем все типы работников подписывают контракт.

Покажите, что если имеется два типа работников, 91 и 92, причем 91 <92, то уровни усилий удовлетворяют соотношениям

у'(ж2) = 92 + ^ (91 - 92), P2

а

у'(ж2)= 91.

Покажите, что если имеется три типа работников, 91, 92 и 9з, причем 92 - 91 = 9з - 92 > 0 , то ограничение монотонности усилий является существенным тогда и только тогда, когда р2 < р1р3. Вычислите оптимальные пакеты для случая, когда р2 < р1р3 и р2 ^ р1р3.

Покажите, что если имеются n типов работников, причем

9i - 9i-1 = 9i+1 - 9i > 0,

то достаточным условием несущественности ограничения монотонности усилий является неубывание отношения

P1 + + Pi-1

Pi '

Покажите, что это достаточное условие, вообще говоря, не является необходимым.

у'(ж) ^ то при ж ^ 0;

у'(ж)ж ^ 0 при ж ^ 0,

и существуют работники двух типов, издержки усилий которых линейны (ее (ж) = 9ж). Докажите, что наниматель наймет работников обоих типов, т. е. же > 0 V9.

^ 650. Рассмотрим ситуацию ценовой дискриминации следующего типа Единственный производитель и продавец частного блага, производство которого характеризуется постоянными издержками. сталкивается с двумя типами покупателей этого блага, оценками которых имеют вид

ге(ж) - в^ж, в - 1, 2.

Покупатели двух типов встречаются с вероятностями Р и 1 - Р соответственно. Проинтерпретируйте эту модель как модель найма и найдите оптимальный контракт. Проделайте то же самое для трех типов покупателей.

^ 651. В модели найма со скрытой информацией с двумя типами работников предположим, что издержки усилий работника 1-го типа равны с1(ж) - 0,5ж2, работника 2-го типа - с1(ж) - ж2. Пусть контракт ищется среди линейных по усилиям схем (базовая заработная плата плюс премия за усилия, пропорциональная величине усилий).

Определите характеристики оптимального контракта в зависимости от доли работников первого типа. Сравните с оптимальным пакетным контрактом.

^ 652. На рынке страховых услуг имеются два типа страхователей - с низкой Р^ или высокой Ря вероятностью наступления страхового случая. Страховой случай заключается в потере актива ценностью K рублей. Во всех других аспектах они одинаковы - каждый исходно обладает богатством и (включая рассматриваемый актив) и его предпочтения характеризуются функцией ожидаемой полезности с элементарной функцией и(ж) - 1п(ж), где ж - богатство.

На рынке страховых услуг имеется только одна нейтральная к риску страховая компания, предлагающая контракт в виде набора пакетов. (Для упрощения анализа можно считать, что контракт непосредственно задает богатство страхователя, а не платежи, т. е. пакет имеет вид (ж1,ж2), где ж1 - богатство, если страховой случай не наступил, а ж2 - если страховой случай наступил).

Сформулируйте задачу страховой компании и проинтерпретируйте ее как задачу нанимателя в модели найма.

(Б) Каким окажется выбранный страховой контракт в случае симметричной информации, т. е. в условиях, когда страховая компания знает тип страхователя? Проиллюстрируйте анализ на графике.

Каким окажется выбранный страховой контракт в случае асимметричной информации, т. е. в условиях, когда страховая знает только распределение вероятностей типов страхователя? Проиллюстрируйте анализ на графике.